劉 恒，孫亞坤

（南京信息工程大學 電子與信息工程學院，江蘇 南京 210044）

0 引言

對于微機電系統(tǒng)中靜電驅動的微構件，在電場力作用下，微結構發(fā)生變形，結構的變形又導致了電場力的改變，從而形成了結構?靜電場耦合問題。微機電系統(tǒng)的設計水平和產(chǎn)品的可靠性與正確分析和求解靜電力驅動的微結構變形、臨界（pull in）電壓等參數(shù)有關。對于機電耦合問題，一般采用懸臂梁或雙端固支梁結構作為研究對象。將結構簡化為“彈簧?質(zhì)量”模型是耦合分析的一種，但是對于建立的方程，由于邊界條件和器件的結構過于復雜而往往難以獲得精確的解析解。因此機電耦合問題的建模和分析過程中更多的是借助于數(shù)值計算軟件進行多能量場耦合分析，然后確定優(yōu)化結果，例如有限差分法（FD）、邊界元法（BEM）、有限元法（FEM）等。其中有限元法和邊界元法能夠獲得較為精確的物理級分析計算結果，利用綜合法可以獲得結構在每個能量域內(nèi)行為的精確描述，但對于結構設計來說，這種計算方法效率低，過程復雜，且不適合系統(tǒng)級的分析計算，不能同時考慮電路和結構器件的設計，實現(xiàn)上述分析需要減少系統(tǒng)模型參數(shù)，即集總模型或降階模型。集總參數(shù)模型是強耦合模型，具有求解收斂速度快的優(yōu)點，應用范圍非常廣。本文以雙端固支梁為研究對象，建立其結構?靜電耦合方程，推導出臨界驅動電壓的近似解。利用有限元分析軟件進行仿真，驗證了解析解的有效性，并提出一種基于集總參數(shù)模型求解臨界電壓的方法，仿真結果與有限元分析相近，但大大減少了計算時間，并且有利于快速地分析與設計機械結構和驅動電路。

1 靜電驅動的雙端固支梁建模

雙端固支微梁系統(tǒng)結構模型如圖1 所示。

圖1 靜電驅動下的雙端固支梁模型

在電壓的作用下，固支梁由于靜電力的作用產(chǎn)生變形，靜電力為：

式中：，分別為電極的寬度和梁的長度；為電極和梁的初始間距；為梁的寬度，電極寬度大于梁的寬度；為介電常數(shù)；為加在電極和梁上的電壓；為靜電力。在梁的中點處縱向位移最大，滿足如下條件：

當電極的寬度遠小于梁的長度時，式（1）近似化簡為：

根據(jù)式（4）、式（6），結合邊界條件可得：

得到：

該解析過程由于在式（8）中采用了近似減少極板間距的方法，解析結果必然小于實際精確的臨界電壓。

當式（1）中的()接近y時，靜電力為：

相應的臨界電壓為：

式（13）是臨界電壓的上限，當較小時，式（10）和式（13）非常接近。

2 有限元方法和集總參數(shù)模型的應用

本文采用混合有限元方法結合邊界元方法來求解雙端固支微梁在靜電力左右下的結構?靜電耦合問題。將能量場分為力場和靜電場，用不同的控制方程來描述力場和電場中的能量。在進行離散化時，兩個能量場中的節(jié)點定義獨立的節(jié)點自由度，根據(jù)力的邊界條件和位移協(xié)調(diào)邊界條件將它們結合起來。在結構表面的電場分布采用邊界元方法，而結構的變形則采用有限元法。這樣做一方面可有效地利用FEM 易于求解結構變形的優(yōu)點，另一方面可以很容易用BEM 調(diào)整電場的構型，直接得到需要的結構邊界電場，節(jié)省大量的計算資源。

雙端固支梁結構參數(shù)的選取來自文獻[13]，如表1所示。在Coventor 軟件下基于計算機虛擬微加工工藝建立梁和電極的實體模型，如圖2 所示。在分析中，固定梁的兩個側面均為導體。在電極上所加電壓為0 V，在梁上加正向電壓。

表1 結構幾何尺寸

圖2 有限元分析的實體模型

臨界下拉電壓分析參數(shù)設置為：驅動電壓掃描范圍為20～50 V，收斂電壓容許差值為0.5 V。利用軟件自帶的耦合場分析器，得到的迭代過程如圖3 所示。臨界下拉電壓為42.187 5 V。電極長度和梁長度相等，等于1，解析計算結果為35.368 2 V，文獻[13]計算的結果為39.5 V。

圖3 臨界電壓有限元分析過程

圖4 不同驅動電壓下梁的縱向位移

基于有限元和邊界元的數(shù)值計算仿真方法雖然可以較精確地得到耦合的臨界下拉電壓，但需要的時間較長，本文為了減少計算機運行時間，單元網(wǎng)格劃分得比較粗糙。這就是本文的有限元分析結果與文獻[13]結果不一致的原因。對于不同的梁和電極結構幾何參數(shù)，要不斷的重新設計二維版圖尺寸，然后相應的三維模型實體才可以得到調(diào)整。分析、設計效率非常低，特別是復雜微機電系統(tǒng)。鑒于此，本文利用集總參數(shù)模型來分析固支梁的下拉臨界電壓。其中虛擬的工藝文件中固支梁為結構層，厚度為3 μm，電極層厚度也為3 μm，中間犧牲層厚度為1 μm，尺寸與表1 相一致。梁中點處沿軸方向的位移通過自由度轉換模塊以數(shù)值的方式表示，模塊是基于MAST 語言的宏模型。梁和電極的幾何尺寸參數(shù)通過全局變量來設置，改變?nèi)肿兞康闹稻妥詣痈淖兌S版圖，結合虛擬的工藝就可以得到三維實體結構，分析、設計效率得到提高。整個分析用的集總參數(shù)模型如圖5 所示，模型包括電極梁（Electrode beam）、臨界電壓源（Pull?in Resource）、錨點（Anchor）、全局變量（Coventor）等宏模型，梁兩端的錨點固定在圓片的底座上。對應的二維版圖如圖6 所示。改變?nèi)謪?shù)就可以方便快捷地得到不同尺寸的版圖。

圖5 基于集總參數(shù)臨界電壓分析模型

圖6 基于集總參數(shù)分析模型對應版圖

對集總參數(shù)模型進行時域分析，在Saber 仿真中，接近臨界下拉電壓時出現(xiàn)奇點，仿真停止。驅動電壓和縱向位移數(shù)據(jù)經(jīng)Matlab/Simulink 中SaberSimulinkCosim 接口得到驅動電壓和梁在軸的曲線，如圖7 所示。

圖7 基于集總參數(shù)模型的臨界下拉電壓

從圖7 可知，臨界下拉電壓為44.531 2 V，在接近臨界下拉電壓時，曲線變化幅度趨于無窮，仿真產(chǎn)生奇點。仿真結果與文獻[13]介紹的結果有一定誤差，但仿真過程不需要重復劃分網(wǎng)格，可以進行后續(xù)外圍電路分析，提高了微機電系統(tǒng)的設計效率。

3 結論

對于復雜的微構件的結構?靜電耦合場分析，一般很難建立耦合動力學方程；即使建立了方程也很難得到精確的解析解?；谟邢拊瓦吔缭挠嬎銠C軟件仿真雖然能獲得較精確的數(shù)值解，但是需要不斷地劃分單元網(wǎng)格，重復計算，效率非常低?；贛AST 語言的集總參數(shù)模型的力電耦合分析方法不需要劃分網(wǎng)格，能較快速地求解耦合問題。本文以雙端固支微梁為例，利用三種不同方法分析結構?靜電耦合場，為求解復雜微機電系統(tǒng)中多能量場耦合問題提供依據(jù)，從而提高設計產(chǎn)品的可靠性。