曾子元，李云桓

(中國(guó)人民解放軍海軍裝備部駐廣州地區(qū)局軍事代表局駐貴陽(yáng)地區(qū)軍事代表室，貴陽(yáng) 550009)

0 引 言

四旋翼飛行器從其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析，是一種具有較強(qiáng)耦合性的非線(xiàn)性系統(tǒng)[1]，其受外界干擾影響的因素較多。但由于其具有良好的機(jī)動(dòng)能力，在多種任務(wù)環(huán)境中都可以以較低的成本完成飛行任務(wù)，其控制律設(shè)計(jì)成為了一項(xiàng)研究熱點(diǎn)[2]。

在設(shè)計(jì)四旋翼飛行控制器的方法中主要有兩個(gè)大類(lèi)[3]，一類(lèi)是線(xiàn)性控制方法，另一類(lèi)是非線(xiàn)性控制方法。除此之外，隨著智能算法的研究熱度上升，一些自學(xué)習(xí)的控制方法如利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以及模糊控制等方法在該領(lǐng)域也得到了相關(guān)的應(yīng)用[4]。

在線(xiàn)性控制方法中，PID控制器[5]以其低成本、易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，較多地應(yīng)用于工程實(shí)踐中。本文同樣采用了比例控制器表征狀態(tài)變量的理想變化率。但由于PID控制器控制參數(shù)整定繁瑣，不具備批量移植的能力，造成了其對(duì)不同四旋翼模型的魯棒性較差[6]。線(xiàn)性二次型調(diào)節(jié)控制器易于通過(guò)兼顧飛行性能指標(biāo)的方式，調(diào)整飛行系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)，因此在四旋翼飛行控制問(wèn)題中，也有著較為廣泛的應(yīng)用。

在非線(xiàn)性控制方法[7]中，對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，反步法通過(guò)逆向構(gòu)造推導(dǎo)李雅普諾夫函數(shù)，確保系統(tǒng)穩(wěn)定性，在四旋翼飛行器的軌跡控制中得到了廣泛關(guān)注?；？刂芠8]也是一種魯棒性較強(qiáng)的控制方法，但對(duì)于實(shí)際的四旋翼飛行控制系統(tǒng)，滑?？刂破鞯亩墩褫^難抑制，因此會(huì)對(duì)系統(tǒng)表現(xiàn)的性能產(chǎn)生影響。

本文采用非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)逆方法結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器[9]設(shè)計(jì)四旋翼飛行控制系統(tǒng)[10]。該方法較好地克服了干擾和參數(shù)攝動(dòng)問(wèn)題，同時(shí)系統(tǒng)控制輸入也被限定在合理的范圍內(nèi)，供實(shí)際系統(tǒng)參考。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 四旋翼動(dòng)力學(xué)模型的建立

對(duì)如圖1所示的四旋翼飛行器建模[11-12]，設(shè)機(jī)體坐標(biāo)系為Oxbybzb，地面坐標(biāo)系為Oxyz，則兩個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系如下式：

(1)

式中：ψ為偏航角；θ為俯仰角；φ為滾轉(zhuǎn)角。

圖1 四旋翼飛行器示意圖

由四旋翼飛行器的受力分析[13]可知，若轉(zhuǎn)速為Ω，圖1中的旋翼i將會(huì)產(chǎn)生如下的升力：

Ti=KTΩ2i=1，2，3，4

(2)

選取向量作為系統(tǒng)輸入，將升力進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換：

(3)

式中：U1表示施加在四旋翼飛行器上的總升力；U2、U3分別表示滾轉(zhuǎn)力矩和俯仰力矩的虛擬控制量；U4是偏航力矩的虛擬控制量。

四旋翼飛行器主要受到重力和四個(gè)旋翼提供的升力影響。重力在地面坐標(biāo)系中如下式：

(4)

設(shè)四個(gè)旋翼的合升力為F，其在機(jī)體坐標(biāo)系中如下式：

(5)

由式(1)兩坐標(biāo)系的關(guān)系可得升力在地面坐標(biāo)系中如下式：

(6)

由此可得在地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變化如下式：

(7)

四旋翼飛行器相對(duì)于地面坐標(biāo)系的角速度如下式：

(8)

式中，p、q、r與姿態(tài)角變化率的關(guān)系如下式：

(9)

式(7)、式(8)和式(9)組成的非線(xiàn)性系統(tǒng)即為四旋翼的動(dòng)力學(xué)模型。

1.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器基礎(chǔ)

擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器是一種基于系統(tǒng)模型以及控制輸入、估計(jì)干擾及攝動(dòng)量的控制方法[14]，在設(shè)計(jì)控制律的應(yīng)用中體現(xiàn)出良好的魯棒性。

對(duì)于常見(jiàn)的二階系統(tǒng)，其表達(dá)式如下式：

(10)

若對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散化，可得如下的離散狀態(tài)方程組：

(11)

對(duì)于如上的離散系統(tǒng)，可采用如下的擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器：

(12)

式中：z1、z2分別為對(duì)于原系統(tǒng)狀態(tài)量和狀態(tài)量一階導(dǎo)數(shù)的觀(guān)測(cè)值；z3為擴(kuò)張狀態(tài)，用于觀(guān)測(cè)原系統(tǒng)中的其他變量；函數(shù)fal可表示：

(13)

1.3 非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)逆法

采用非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)逆法[15]設(shè)計(jì)控制器，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 動(dòng)態(tài)逆控制原理

由此可知，采用非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)逆法需要得知受控對(duì)象的準(zhǔn)確模型，四旋翼的動(dòng)力學(xué)模型已經(jīng)給出。此外，需要對(duì)系統(tǒng)的未知干擾項(xiàng)和參數(shù)攝動(dòng)進(jìn)行處理，擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器被證明在這一問(wèn)題中非常有效。

2 基于非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)逆和擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器的復(fù)合控制器設(shè)計(jì)

四旋翼無(wú)人機(jī)作為一個(gè)較為復(fù)雜的非線(xiàn)性系統(tǒng)，系統(tǒng)的參數(shù)攝動(dòng)多來(lái)自于系統(tǒng)的氣動(dòng)參數(shù)變化，同時(shí)由于耦合等因素帶來(lái)的不匹配不穩(wěn)定性也是控制的難點(diǎn)。本文采用非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)逆和擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器方法聯(lián)合設(shè)計(jì)姿態(tài)回路的控制律。

按照被控變量對(duì)控制輸入量響應(yīng)快慢的特點(diǎn)，對(duì)它們進(jìn)行分組控制，因此系統(tǒng)可以被分為多個(gè)回路，如圖3所示。

圖3 復(fù)合控制器原理框圖

由上節(jié)的系統(tǒng)模型，角速度p，q，r的響應(yīng)速度最快，姿態(tài)角ψ，θ，φ響應(yīng)速度次之，質(zhì)心位置在地面坐標(biāo)系的坐標(biāo)x，y，z響應(yīng)速度最慢，故姿態(tài)控制系統(tǒng)可以作為獨(dú)立的內(nèi)外兩回路結(jié)構(gòu)，針對(duì)各回路的子系統(tǒng)，下面將逐一分析。

2.1 角速度回路控制律設(shè)計(jì)

在前面推導(dǎo)的角速度模型，將內(nèi)回路系統(tǒng)寫(xiě)作：

(14)

式中：狀態(tài)變量x=[x1,x2,x3]T=[p,q,r]T，控制量u=[u2,u3,u4]T，d(t)為電磁等因素導(dǎo)致的不匹配不確定性干擾。

該系統(tǒng)的干擾主要來(lái)自于兩個(gè)方面：一是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的參數(shù)攝動(dòng)；二是控制量在施加到實(shí)際系統(tǒng)中，因電路中存在電磁干擾而對(duì)系統(tǒng)施加的額外擾動(dòng)輸入。

加入如下的一階擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器：

(15)

擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器分別對(duì)三個(gè)方向的角速度進(jìn)行估計(jì)觀(guān)測(cè)，同時(shí)對(duì)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)和擾動(dòng)輸入進(jìn)行觀(guān)測(cè)。

根據(jù)動(dòng)態(tài)逆控制器的有關(guān)規(guī)律得出如下控制律：

(16)

三個(gè)角速度通道完全獨(dú)立，可對(duì)某一通道進(jìn)行論證。將控制律式(16)代入角速度系統(tǒng)式(14)：

(17)

由擴(kuò)張干擾觀(guān)測(cè)器性質(zhì)可得，當(dāng)參數(shù)增益足夠大時(shí)，觀(guān)測(cè)誤差有上界，即：

(18)

因此可用一個(gè)有界變量ξi=f(xi)+d(t)-z2i+k(xi-z1i)代換，|ξi|的上界滿(mǎn)足：

|ξi|≤k|x-z1i|+|f(x)+d-z2i|≤

kΔ1+Δ2=Δ

(19)

式中：k為正數(shù)。

設(shè)ei=xi-xci，有：

(20)

式(20)為跟蹤誤差系統(tǒng)的微分方程。

由線(xiàn)性系統(tǒng)理論可知，當(dāng)擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器誤差足夠小時(shí)，必存在一個(gè)足夠大的k值使跟蹤誤差一致穩(wěn)定，證畢。

2.2 角度回路控制律設(shè)計(jì)

設(shè)定姿態(tài)角指令為[φc,θc,ψc]，內(nèi)環(huán)角速度指令為[pc,qc,rc]，設(shè)定如下比例控制律作為姿態(tài)角控制律：

(21)

由四旋翼動(dòng)力學(xué)模型，可得內(nèi)環(huán)角速度指令[pc,qc,rc]與姿態(tài)角變化率的關(guān)系如下：

(22)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 姿態(tài)控制對(duì)比仿真

首先對(duì)于施加參數(shù)攝動(dòng)的四旋翼系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證姿態(tài)角的控制和保持作用；接著，以滾轉(zhuǎn)角變化為例，對(duì)比了未使用擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器的情況下，系統(tǒng)受到擾動(dòng)輸入后的響應(yīng)。

其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的參數(shù)攝動(dòng)如表1所示，估計(jì)值即代表擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器中采用的參數(shù)值，真實(shí)值為四旋翼模型中采用的參數(shù)值。

表1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)攝動(dòng)表

設(shè)定滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角分別保持在1°、1°、-1°，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，經(jīng)過(guò)約0.5 s后，滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角均達(dá)到預(yù)定角度。

圖4 四旋翼無(wú)人機(jī)姿態(tài)仿真圖

下面實(shí)驗(yàn)在系統(tǒng)穩(wěn)定后，加入如圖5所示的有色噪聲作為擾動(dòng)輸入，觀(guān)察姿態(tài)輸出的變化。

圖5 擾動(dòng)Simulink仿真圖

加入擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器前后的角速度p如圖6所示。

圖6 擾動(dòng)加入后角速度p仿真圖

在2 s處加入有色噪聲后，有擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)逆控制器很快抑制了干擾，基本保持角速度恒為0，也即姿態(tài)不發(fā)生改變。

3.2 航跡控制器仿真

通過(guò)在姿態(tài)回路與角速度控制回路外增加四旋翼位置控制回路，使四旋翼模型可以根據(jù)位置指令，通過(guò)傳統(tǒng)的PID控制器，調(diào)節(jié)、控制姿態(tài)和角速度，并通過(guò)虛擬控制量中的總升力，使四旋翼模型產(chǎn)生質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。

設(shè)定X方向位移6 m，Y方向位移10 m，Z方向位移-10 m，可以得到如圖7所示的響應(yīng)曲線(xiàn)。系統(tǒng)在高度上的響應(yīng)速度較慢，是由于飛行器在做與重力方向相反的位移。

圖7 四旋翼飛行器航跡仿真結(jié)果圖

該仿真結(jié)果間接說(shuō)明了姿態(tài)控制系統(tǒng)的良好性能，可以在航跡控制中發(fā)揮良好的內(nèi)回路控制作用。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文采用非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)逆法結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)了一套四旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)，具有良好的控制精度和魯棒性，解決了四旋翼無(wú)人機(jī)的參數(shù)攝動(dòng)、耦合、干擾和非線(xiàn)性等因素帶來(lái)的控制問(wèn)題。本文經(jīng)過(guò)建立并分析四旋翼動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)內(nèi)外回路控制律，以及仿真驗(yàn)證，充分說(shuō)明了該方法的有效性。