劉顯鵬

（葫蘆島市建昌縣頭道營(yíng)子鄉(xiāng)小學(xué)中心校）

數(shù)學(xué)作業(yè)是課堂教學(xué)的延續(xù)，是教學(xué)過(guò)程中不可缺少的環(huán)節(jié)，是促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、鞏固所學(xué)知識(shí)、內(nèi)化思想方法、發(fā)展創(chuàng)新思維、提高問(wèn)題解決能力、培養(yǎng)高階思維的重要載體?！半p減”背景下，校內(nèi)減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)，應(yīng)首抓作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量。反思以往的教學(xué)，很多教師普遍重視作業(yè)對(duì)知識(shí)技能的鞏固與強(qiáng)化的功能，小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)多采用“拿來(lái)主義”，從教材中選擇幾道與例題聯(lián)系緊密的習(xí)題作為作業(yè)內(nèi)容，且這些題多屬于“知道”級(jí)別的認(rèn)知類型。這樣的作業(yè)設(shè)計(jì)缺少對(duì)學(xué)習(xí)水平較低或較高層面學(xué)生的關(guān)注，很容易讓學(xué)生陷入一種疲于應(yīng)付且毫無(wú)成就感的作業(yè)完成狀態(tài)，會(huì)導(dǎo)致作業(yè)興趣的逐漸喪失。事實(shí)上，教師可以基于教材習(xí)題開發(fā)設(shè)計(jì)作業(yè)，挖掘習(xí)題中有價(jià)值的因素，科學(xué)設(shè)計(jì)難度適中的問(wèn)題，最大限度地拓展學(xué)生的減負(fù)空間，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)作業(yè)的“減負(fù)增效”。

一、剖析習(xí)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)思維的深刻性

作業(yè)的本質(zhì)是學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)化的過(guò)程，教師應(yīng)該明確，讓學(xué)生完成作業(yè)并不是為了完成任務(wù)，而是理解知識(shí)，掌握知識(shí)的本質(zhì)特征。通過(guò)剖析問(wèn)題的本質(zhì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，培養(yǎng)思維的深刻性。

如人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)“練習(xí)八”中的第14 題：把下面的等式改寫成比例3×40=8×15。

通常情況下，教師會(huì)讓學(xué)生先獨(dú)立完成，全班匯報(bào)寫出比例式，匯總后得到8 個(gè)比例式“15∶3=40∶8，8∶3=40∶15，8∶40=3∶15，15∶40=3∶8，3∶8=15∶40，40∶8=15∶3，40∶15=8∶3，3∶15=8∶40”。這樣處理，教學(xué)過(guò)程雖然很流暢，但訓(xùn)練目標(biāo)過(guò)于單一，學(xué)生對(duì)等積式與比例式之間的聯(lián)系感受不深。怎樣解決這個(gè)問(wèn)題呢？深入思考后，我做了這樣的設(shè)計(jì)：在習(xí)題后面添加適當(dāng)?shù)乃伎甲穯?wèn)，訓(xùn)練學(xué)生分析問(wèn)題的全面性和推理的嚴(yán)密性。先把等式3×40=8×15 改寫成比例，再完成后面的習(xí)題：

（1）改寫的依據(jù)是（ ）；

（2）改寫的方法是先確定兩個(gè)（ ），得到（ ）個(gè)比例式，再確定兩個(gè)（ ），又得到（ ）個(gè)比例式；

（3）任何一個(gè)等積式都可以改寫為（ ）個(gè)比例式。

把等積式改寫為比例式，是比例基本性質(zhì)的逆向應(yīng)用。事實(shí)證明，添加3 個(gè)問(wèn)題后，原來(lái)很簡(jiǎn)單的一道習(xí)題呈現(xiàn)了其獨(dú)特的思考價(jià)值和魅力，激發(fā)思考，啟迪思維，發(fā)展?jié)撃堋?/p>

問(wèn)題（1）要求學(xué)生對(duì)改寫依據(jù)進(jìn)行陳述，鞏固了比例的基本性質(zhì)“在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積”。

問(wèn)題（2）對(duì)改寫方法的強(qiáng)調(diào)，有效溝通了等積式與比例式之間的聯(lián)系，學(xué)生可以把等式兩邊的兩個(gè)乘數(shù)分別看成比例的內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)。如果用3和40做內(nèi)項(xiàng)，得到四個(gè)比例，再用8 和15 做內(nèi)項(xiàng)，又得到4個(gè)比例；也可以先用3 和40 做外項(xiàng)寫4 個(gè)比例，再用8和15做外項(xiàng)寫4個(gè)比例。通過(guò)這樣的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生初步養(yǎng)成樂(lè)于思考、言必有據(jù)的良好品質(zhì)。

問(wèn)題（3）總結(jié)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)等積式都可以改寫為8 個(gè)比例式”這一具有普遍性的結(jié)論，拓展并完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì)既培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，又發(fā)展了思維能力，還使“知識(shí)本質(zhì)”得到了充分揭示。追本溯源實(shí)現(xiàn)了新舊知識(shí)點(diǎn)的勾連，達(dá)到了“整體理解、長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展”的目標(biāo)。

二、理解習(xí)題中的算理，培養(yǎng)思維的條理性

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，作業(yè)的設(shè)計(jì)要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，為他們提供分析和應(yīng)用知識(shí)的機(jī)會(huì)。小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于計(jì)算的內(nèi)容很多，如多位數(shù)加減法、多位數(shù)乘除法、小數(shù)乘除法、分?jǐn)?shù)乘除法等。在實(shí)際教學(xué)中，很多教師對(duì)計(jì)算非常重視，通過(guò)訓(xùn)練強(qiáng)化計(jì)算技能，但學(xué)生計(jì)算的正確率依然不如人意。究其原因，在于很多學(xué)生只會(huì)死記硬背算法，而不理解算理，只知其然不知其所以然，即教學(xué)缺少數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練和思想方法的指導(dǎo)。這就要求數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計(jì)一定要基于學(xué)科素養(yǎng)進(jìn)行，在理解算理、掌握算法、形成類比與轉(zhuǎn)化的思想中，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性。

如人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)“練習(xí)十一”中的第3題：

下面的計(jì)算正確嗎？把錯(cuò)誤的改正過(guò)來(lái)。

學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)際演算，都會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩題中的錯(cuò)誤并順利改正。如果此題進(jìn)行到這里算完成任務(wù)，這道習(xí)題的價(jià)值就大打折扣了。教師應(yīng)該乘勝追擊，設(shè)問(wèn)析理，引發(fā)學(xué)生深度思考：

下面的計(jì)算正確嗎？把錯(cuò)誤的改正過(guò)來(lái)，并完成后面的填空題。

（1）我發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤的原因有（ ）；

（2）通過(guò)計(jì)算，我發(fā)現(xiàn)：兩位數(shù)乘兩位數(shù)，積可能是（ ）位數(shù)，還可能是（ ）位數(shù)；如（ ）×（ ）=（ ），它的積就是（ ）位數(shù)；而（ ）×（ ）=（ ），它的積是（ ）位數(shù)。

判斷正誤并改正是學(xué)情診斷常用的題型，基于這類習(xí)題強(qiáng)化對(duì)算理和算法的訓(xùn)練及思維能力的培養(yǎng)，一線教師一定要加以重視并付諸于實(shí)踐。

問(wèn)題（1）引導(dǎo)學(xué)生分析計(jì)算錯(cuò)誤的原因，思維的閘門隨即打開。他們發(fā)現(xiàn)第一個(gè)算式是口訣運(yùn)用有誤，2×4 應(yīng)該等于8，題中卻等于6，明顯是口算不熟練、不認(rèn)真所致。平時(shí)要加強(qiáng)口算，以口算促筆算；第二個(gè)算式錯(cuò)在第二部分積的末位沒(méi)有寫在十位上。表面上看，是積的對(duì)位出現(xiàn)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是算理不清，缺乏對(duì)學(xué)科本質(zhì)的理解：十位上的2 表示2 個(gè)十，59與2個(gè)十相乘，得到了118個(gè)十，乘得的積的末尾應(yīng)該和十位對(duì)齊。這樣的問(wèn)題剖析過(guò)程會(huì)給學(xué)生思維打上難以磨滅的烙印，他們慢慢就會(huì)學(xué)著用抽象和推理的方法理解算理，學(xué)會(huì)說(shuō)理，慢慢就學(xué)會(huì)思考。這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì)，有效培養(yǎng)了思維的嚴(yán)密性。

問(wèn)題（2）意在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并掌握“兩位數(shù)乘兩位數(shù)，積可能是三位數(shù)，還可能是四位數(shù)”這一規(guī)律。留白式問(wèn)題給學(xué)生明確的思考方向，他們得出結(jié)論后，通過(guò)舉例加以說(shuō)明驗(yàn)證，體會(huì)規(guī)律的普遍性，形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。

三、掌握習(xí)題的知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的敏捷性

作業(yè)設(shè)計(jì)要突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。通過(guò)設(shè)問(wèn)，使學(xué)生掌握學(xué)科知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)，在大腦中形成合理的“知識(shí)組塊”，培養(yǎng)思維的敏捷性。

如人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“練習(xí)十八”中的第2題：

這是“簡(jiǎn)易方程”單元復(fù)習(xí)中的典型習(xí)題。習(xí)慣上，我們都是通過(guò)此類習(xí)題鞏固解簡(jiǎn)易方程的方法和步驟。其實(shí)，因其處于單元復(fù)習(xí)的關(guān)鍵位置，我們?cè)谠O(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)，完全可以把它作為培養(yǎng)學(xué)生模型思想的訓(xùn)練題：

觀察下面的方程，嘗試完成后面的問(wèn)題。

（1）選擇上面方程中的一個(gè)，如____________，看到這個(gè)算式，你能想到什么？寫出你的想法；

（2）請(qǐng)畫出一個(gè)與你所選擇的算式相匹配的線段圖；

（3）你能試著創(chuàng)編一個(gè)與你所選擇的算式相契合的數(shù)學(xué)故事嗎？試一試。

按照課程標(biāo)準(zhǔn)要求，本單元中，學(xué)生要能用等式的基本性質(zhì)解簡(jiǎn)易方程，初步學(xué)會(huì)列方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，獲得數(shù)學(xué)建模的初步體驗(yàn)。作為單元復(fù)習(xí)課的作業(yè)設(shè)計(jì)，其出發(fā)點(diǎn)應(yīng)把知識(shí)、技能、思想的提升有機(jī)融為一體，適應(yīng)不同層次學(xué)生的需要，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主動(dòng)者和問(wèn)題的探索者。

問(wèn)題（1）讓學(xué)生自主選擇其中一個(gè)算式并寫出自己的想法，他們第一反應(yīng)就是“解方程”，這正是教材設(shè)計(jì)的基本要求，體現(xiàn)了作業(yè)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)性，這里不再贅述。

問(wèn)題（2）請(qǐng)學(xué)生畫出與所選算式相匹配的線段圖，這是數(shù)形結(jié)合的具體應(yīng)用；根據(jù)所選方程的異同，他們的思維被充分調(diào)動(dòng)起來(lái)，有用一條線段表示總量與部分量關(guān)系的，有用兩條線段或三條線段表示不同數(shù)量之間關(guān)系的，還有的采用了畫示意圖的方法。

從學(xué)生作業(yè)完成情況看，所有的學(xué)生都選擇了適合自己的切入點(diǎn)進(jìn)行思考，學(xué)困生所選方程基本集中在本訓(xùn)練題中的前面4 個(gè)小題，而學(xué)力較強(qiáng)的學(xué)生，則挑戰(zhàn)后面4 小題的比較多。他們所畫的線段圖不一定很規(guī)范，但他們的思維活躍且在完成的過(guò)程中不斷修正自己的想法，努力使結(jié)果完美呈現(xiàn)的過(guò)程是可圈可點(diǎn)的。

問(wèn)題（3）讓學(xué)生試著創(chuàng)編一個(gè)與所選擇的算式相契合的數(shù)學(xué)故事，就是將數(shù)學(xué)模型回歸到生活模型，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

如42x+25x=134 這個(gè)方程，學(xué)生利用“路程=速度×?xí)r間”這一關(guān)系式，創(chuàng)編了“相遇問(wèn)題”：

爸爸騎電動(dòng)自行車每小時(shí)行駛42 千米，叔叔騎山地自行車每小時(shí)行駛25 千米。兩人同時(shí)從相距134千米的甲乙兩地相對(duì)而行，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間相遇？

還是這個(gè)方程，有學(xué)生利用“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”，創(chuàng)編了“購(gòu)物問(wèn)題”：

一個(gè)少兒籃球的價(jià)格是42 元，一個(gè)少兒排球的價(jià)格是25 元。學(xué)校社團(tuán)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)同樣數(shù)量的籃球和排球，134元可以買幾個(gè)籃球和幾個(gè)排球？

方程13（x+5）=169，學(xué)生創(chuàng)編了如下數(shù)學(xué)故事：

學(xué)校社團(tuán)有體操隊(duì)、合唱隊(duì)和武術(shù)隊(duì)，已知武術(shù)隊(duì)有隊(duì)員169 人，是合唱隊(duì)人數(shù)的13 倍，合唱隊(duì)比體操隊(duì)多5人。體操隊(duì)有多少人？

精而優(yōu)的作業(yè)設(shè)計(jì)，不僅有助于加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，而且有助于激發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題的興趣，較好地培養(yǎng)了學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造意識(shí)。

四、變換習(xí)題的設(shè)計(jì)方式，培養(yǎng)思維的靈活性

設(shè)計(jì)內(nèi)容豐富、形式新穎的作業(yè)，能為學(xué)生提供廣闊的思考空間。選擇典型習(xí)題，進(jìn)行變式作業(yè)設(shè)計(jì)，以問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的發(fā)散式思維和立體思考，可以有效培養(yǎng)思維的靈活性。

如人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)“練習(xí)九”中的第1題：

某電視機(jī)廠去年全年生產(chǎn)電視機(jī)108 萬(wàn)臺(tái)，其中上半年產(chǎn)量是下半年這個(gè)電視機(jī)廠去年上半年和下半年的產(chǎn)量分別是多少萬(wàn)臺(tái)？

練后的批改中我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的正確率較高。但通過(guò)該練習(xí)，學(xué)生對(duì)所學(xué)新知是否達(dá)到了真正意義上的理解呢？作業(yè)對(duì)啟迪學(xué)生思維、帶給學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”方面的作用是否得到了較好發(fā)揮呢？答案是否定的。于是，我把這道題進(jìn)行了改編，意在激發(fā)他們的學(xué)習(xí)潛能，鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新與實(shí)踐。

（2）根據(jù)你修改后的條件，這個(gè)問(wèn)題有幾種解決方法？試著寫一寫；

（3）解決問(wèn)題遵循的基本數(shù)量關(guān)系是（ ）。

求兩個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題，教材提供的基本解決方法是列方程解答。而在實(shí)際教學(xué)中，很多學(xué)生更喜歡用算數(shù)方法解。那怎么溝通新知與學(xué)生已有知識(shí)間的聯(lián)系呢？在學(xué)生已經(jīng)掌握基本的方程解法基礎(chǔ)上，我設(shè)計(jì)了這三個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題（2）關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，有效實(shí)施有差異的教學(xué)，使每個(gè)學(xué)生都能得到充分的發(fā)展。學(xué)生根據(jù)自己修改后的條件，自己動(dòng)腦解決問(wèn)題。這正是對(duì)學(xué)生個(gè)性的充分尊重。

問(wèn)題（3）由學(xué)生自行歸納解決問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系。應(yīng)用題的各種解法都離不開基本的數(shù)量關(guān)系和正確的思維方法。如果沒(méi)有“一題一解”的知識(shí)基礎(chǔ)，“一題多解”則成了無(wú)源之水。不管采取哪種解題方法，都要正確判定誰(shuí)是標(biāo)準(zhǔn)量，圍繞“標(biāo)準(zhǔn)量×分率=比較量”這一基本關(guān)系式展開。這樣，就幫助學(xué)生很好地做到了“理解學(xué)習(xí)”，切實(shí)避免了機(jī)械學(xué)習(xí)。

基于教材習(xí)題，積極探索并實(shí)施多樣化的作業(yè)設(shè)計(jì)，提升作業(yè)的思維含量，能給學(xué)生創(chuàng)造廣闊的思維空間，促使他們?cè)谥R(shí)的汲取、方法的獲得、技能的提升、情感的體驗(yàn)等諸方面積極主動(dòng)、生動(dòng)活潑地發(fā)展，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面提升。