邱孝龍

（西安石油大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710065）

0 引 言

日常生活中，圖像信號(hào)已經(jīng)成為信息的主要載體。因此，對(duì)圖像進(jìn)行處理的技術(shù)受到廣大學(xué)者的關(guān)注，也被廣泛地應(yīng)用于超分辨成像[1]、醫(yī)學(xué)成像[2]等領(lǐng)域。傳統(tǒng)的信號(hào)采樣方法需滿足香農(nóng)采樣定律[3]。該定律要求采樣頻率必須大于信號(hào)最高帶寬頻率的兩倍才能有效重構(gòu)信號(hào)，這給高頻信號(hào)的采集和傳輸帶來一定麻煩。為了解決上述問題，DONOHO[4]提出了壓縮感知理論，并指出在低于奈奎斯特采樣定理要求的采樣頻率去獲取信號(hào)，也能有效地重構(gòu)信號(hào)。該理論一經(jīng)提出，便被廣泛地應(yīng)用于模式識(shí)別[5]、鬼成像計(jì)算[6]等領(lǐng)域。由于傳統(tǒng)恢復(fù)方法需要較大的矩陣來進(jìn)行采樣和重構(gòu)，這對(duì)計(jì)算資源造成了嚴(yán)重的消耗。為了解決大尺度圖像的實(shí)時(shí)傳輸和重構(gòu)問題，2007年，GAN L提出了分塊壓縮感知（Block Compressed Sensing，BCS）[7]，該方法對(duì)每一個(gè)圖像塊進(jìn)行采樣，大大降低計(jì)算復(fù)雜度。2009年，MUN等人對(duì)原始圖像信號(hào)進(jìn)行分塊處理，結(jié)合平滑投影Landweber的方法，提出了BCS_SPL方法[8]。該方法以較小的測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量，并有效地重構(gòu)原始信號(hào)。

由于信號(hào)在采集過程中會(huì)受到噪聲污染的問題，因此一些經(jīng)典的去噪方法被提出，如非局部中值濾波[9]、魯棒主成分分析（RPCA）[10]以及BM3D[11]等。其中，BM3D是一種經(jīng)典的去噪方法，可以有效地保存圖像中的細(xì)節(jié)信息。針對(duì)傳統(tǒng)分塊壓縮感知方法存在的抗噪能力差的問題，本文結(jié)合BCS_SPL方法和BM3D去噪方法的聯(lián)合重構(gòu)模型，運(yùn)用交替方向乘子法（Alternating Direction Multiplier Method，ADMM）來重構(gòu)含有噪聲的圖像信號(hào)，提出了基于ADMM的分塊壓縮感知圖像重構(gòu)方法。

1 基本原理

1.1 壓縮感知理論模型

壓縮感知理論指出，當(dāng)原始信號(hào)具有稀疏性，可以對(duì)該信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)采樣，然后運(yùn)用重構(gòu)算法從較少的測(cè)量值中重構(gòu)信號(hào)，其具體模型如下所示：

式中：x∈RN是原始信號(hào)，y∈Rm是通過觀測(cè)矩陣Φ得到的觀測(cè)信號(hào)。如果Φ滿足且 0＜δk＜1，則稱Φ滿足 RIP 條件[12]，此時(shí)原始信號(hào)可以通過最小化l0范數(shù)的方法來求解原始信號(hào)，具體表達(dá)式為

式中：||||表示非零元素的個(gè)數(shù)，精確恢復(fù)k階稀疏信號(hào)，需要滿足

1.2 分塊壓縮感知理論模型

分塊CS理論是通過將圖像進(jìn)行分割處理，得到大小為B×B的不重疊圖像塊，然后選取一個(gè)觀測(cè)矩陣將高維信號(hào)映射到一個(gè)低維空間進(jìn)行觀測(cè)，通過重構(gòu)算法來求解原始信號(hào)。對(duì)于N維原始信號(hào)其中第j個(gè)子圖像塊可以被表示為x[j]，同時(shí)運(yùn)用長度的索引集Γ={l1,l2,…,ln}，其中l(wèi)j=B×B，關(guān)于分塊壓縮感知的模型可以被表達(dá)為

式中：ΦB是 觀 測(cè)矩陣，y[j]=ΦBx[j]，1≤j≤n，特別地，當(dāng)n=1的時(shí)候，該模型可以表示壓縮感知模型。

此處給出一個(gè)定義：對(duì)于一個(gè)給定的k階稀疏的原始信號(hào)x∈RN，當(dāng)存在一個(gè)參數(shù)0＜δk＜1滿足且 0＜δk＜1，就說ΦB滿足k階的分塊RIP條件[13]。對(duì)于整張圖像的測(cè)量矩陣Φ而言，可以用塊對(duì)角矩陣表示：

2 相關(guān)工作

2.1 平滑投影Landweber（SPL）重構(gòu)方法

平滑投影Landweber（SPL）法是一種有效的重構(gòu)原始信號(hào)的方法。其首先對(duì)需要重構(gòu)的圖像x(0)進(jìn)行初始化，最終的結(jié)果可由下面式子進(jìn)行運(yùn)算：

式中：γ是ΦTΦ的最大特征值，λ是用于控制收斂的常數(shù)，A是關(guān)于轉(zhuǎn)換系數(shù)的常數(shù)。從式（6）可以看出，初值的預(yù)估往往決定重構(gòu)質(zhì)量的好壞，因此本文采用x(0)=ΦTy作為初始值。

2.2 BM3D去噪方法

BM3D是一種經(jīng)典的去噪方法。該方法的實(shí)現(xiàn)過程主要分為基礎(chǔ)估計(jì)和最終估計(jì)兩個(gè)部分。這兩個(gè)部分都有圖像塊分割、三維協(xié)同濾波及聚集這三個(gè)步驟。兩者的不同之處在于三維協(xié)同濾波。其中，基礎(chǔ)估計(jì)的三維協(xié)同濾波是硬閾值濾波，最終估計(jì)的三維協(xié)同濾波是維納濾波。此外，對(duì)比基礎(chǔ)估計(jì)，最終估計(jì)可以還原更多的細(xì)節(jié)信息。

設(shè)原始信號(hào)為x，y是觀測(cè)信號(hào)，η是均值為0，方差為σ2的高斯噪聲，其采樣過程如下所示：

首先將圖像分成大小為B×B的大小，尋找塊x[j]與塊x[j′]之間的相似性進(jìn)行匹配，選取歐式距離閾值作為匹配標(biāo)準(zhǔn)，含噪聲塊之間的歐式距離可以表示為

式中：B2是估計(jì)階段的圖像塊大小，x[j]和x[j′]是計(jì)算距離的圖像塊，是l2范數(shù)。由于噪聲比較大或者圖像塊較小的時(shí)候會(huì)導(dǎo)致誤差較大，從而導(dǎo)致分組錯(cuò)誤，因此需要加一個(gè)前置的硬閾值濾波對(duì)圖像塊進(jìn)行處理，此時(shí)歐式距離為

式中：γ′(Tht-2D(·))是前置硬閾值濾波操作，通過設(shè)定歐式距離閾值τht把相似的塊聚集在一起，則每個(gè)相似 塊 組 的 集 合 為Sht={x[j],x[j′]∈x|d(x[j],x[j′])≤τht}。然后對(duì)聚集而成的相似塊組進(jìn)行三維矩陣的線性變換，通過硬閾值濾波或者維納濾波來減少噪聲，最后通過三維逆變換得到矩陣中圖像塊的估計(jì)值。由于在圖像分塊的的過程中，當(dāng)步長小于分塊大小時(shí)會(huì)出現(xiàn)像素塊的重疊部分，因此對(duì)于某個(gè)像素可能會(huì)存在多個(gè)估計(jì)，需要進(jìn)行加權(quán)平均。

2.3 基于ADMM的分塊壓縮感知像重構(gòu)方法

本文所提算法將圖像分成大小均勻的子塊，采用維納濾波進(jìn)行平滑處理，降低圖像的塊效應(yīng)。然后將BCS_SPL求解方法與BM3D去噪模型相結(jié)合，利用ADMM方法來重構(gòu)圖像。該算法具體實(shí)現(xiàn)步驟如下。

接下來，本文將要在大尺度圖像分塊重構(gòu)的過程中引入ADMM-BM3D模型，從而實(shí)現(xiàn)含噪聲圖像的有效重構(gòu)。

處理帶有噪聲的圖像信號(hào)，首先要對(duì)信號(hào)進(jìn)行分塊處理，其次對(duì)信號(hào)平滑投影，并利用ADMMBM3D模型進(jìn)行去噪，最后利用求解算法進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。下一節(jié)將通過實(shí)驗(yàn)與其他算法進(jìn)行比較，證明所提算法在重構(gòu)效果方面優(yōu)于其余算法，且具有相對(duì)較高的PSNR值，滿足信號(hào)恢復(fù)的基本要求。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)和仿真環(huán)境

對(duì)于本文所提算法，仿真在Matlab2015a編程環(huán)境下進(jìn)行，硬件配置為Intel-i5- 10300H （CPU）處理器，32 GB內(nèi)存和Windows 10操作系統(tǒng)。

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，本文選擇采樣率分別為0.1，0.15，0.2，0.25，0.3的時(shí)候進(jìn)行仿真，并采用客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)峰值信噪比（Peak Signal to Noise Rario，PSNR）來評(píng)價(jià)各算法的重構(gòu)質(zhì)量。對(duì)于原始圖像x∈RN，其重構(gòu)圖像為x^，PSNR可以被定義為

式中：MSE代表原始圖像和重構(gòu)圖像之間的均方誤差。當(dāng)PSNR增加，表示重構(gòu)質(zhì)量越好。

3.2 仿真結(jié)果與分析

在實(shí)驗(yàn)仿真中，如果選擇較大的分塊尺寸，算法運(yùn)行時(shí)間就越長。相反，當(dāng)分塊尺寸變小時(shí)，運(yùn)行的時(shí)間越短，但存在明顯的塊效應(yīng)。因此，本文從整體上考慮，選擇了16×16的塊大小來進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并設(shè)置均值為0，方差為0.15的高斯噪聲對(duì)信號(hào)進(jìn)行污染。當(dāng)采用率為0.3時(shí)，將傳統(tǒng)OMP[14]算法、IRSL[15]算法、BCS_SPL[8]算法與本文所提算法進(jìn)行對(duì)比。

從圖1的重構(gòu)效果可以看出，當(dāng)采樣率為0.3，面對(duì)噪聲數(shù)據(jù)時(shí)，傳統(tǒng)的OMP算法和IRSL算法重構(gòu)效果不佳，無法克服噪聲對(duì)重構(gòu)圖像的影響。當(dāng)使用BCS_SPL算法時(shí)，其在圖像分塊的同時(shí)引入維納濾波，在一定程度上起到了抑制噪聲的作用，相比于經(jīng)典的重構(gòu)算法，具有一定的效果提升。本文所提出的基于ADMM的重構(gòu)方法，在重構(gòu)的過程中引入BM3D降噪處理技術(shù)，能夠在很大程度上重構(gòu)原始信號(hào)，且具有相對(duì)較高的峰值信噪比。

圖1 各算法重構(gòu)效果對(duì)比圖

圖2所示為取不同采樣率時(shí)，各算法重構(gòu)Lena圖像的PSNR走勢(shì)圖?？梢钥闯?，隨著采樣率的提高，PSNR在不斷增大，對(duì)比前文所提的經(jīng)典算法，本文算法的PSNR值提升較多明顯，說明本文算法具有更好的重構(gòu)精度。

圖2 對(duì)比Lena圖像在不同算法下的PSNR值

為了更具體地評(píng)價(jià)算法的有效性，探究不同采樣率對(duì)重構(gòu)效果的影響，本文統(tǒng)計(jì)了Lena圖像在不同算法下的PSNR值，如表1所示。可以看出，當(dāng)采樣率從0.10增大到0.30的時(shí)候，本文所提算法重構(gòu)圖像的PSNR值高于經(jīng)典的OMP算法、IRSL算法和BCS_SPL算法。其中比OMP算法提高約8 dB，比IRLS算法提高約6 dB，比BCS_SPL算法提高約3 dB。

表1 Lena圖像在不同算法下的PSNR值

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于ADMM的分塊壓縮感知圖像重構(gòu)算法，首先將圖像進(jìn)行分塊處理，其次對(duì)初始化的子圖像進(jìn)行濾波處理，再次，對(duì)信號(hào)進(jìn)行平滑投影，最后采用BM3D模型對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪，并采用ADMM算法求解最終的原始信號(hào)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法的恢復(fù)精度優(yōu)于經(jīng)典的OMP算法和IRSL算法。同時(shí)也與BCS_SPL算法進(jìn)行對(duì)比，本算法在一定程度上有效地克服了噪聲對(duì)重構(gòu)圖像質(zhì)量的影響，且具有相對(duì)較高的PSNR值。在后續(xù)的研究中，可重點(diǎn)研究信號(hào)結(jié)構(gòu)對(duì)重構(gòu)效果的影響，同時(shí)可以研究相關(guān)的主流去噪算法來提升重構(gòu)效果。