楊文超，惠宏超，張曉玲

(北京航天控制儀器研究所，北京 100039)

1 引言

半球動(dòng)壓陀螺電機(jī)是新一代高精度機(jī)械式慣性儀表——慣性儀表的核心部件，慣性儀表實(shí)現(xiàn)測(cè)量功能所需的角動(dòng)量就是由其高速旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生，即“陀螺效應(yīng)”。慣性儀表的精度很大程度上取決于陀螺電機(jī)的角動(dòng)量大小，同時(shí)陀螺電機(jī)的壽命也直接決定了慣性儀表的壽命，因此陀螺電機(jī)的性能指標(biāo)直接影響慣性儀表的精度和可靠性[1]。精密偶件作為動(dòng)壓陀螺電機(jī)的核心零件，主要由半球和球碗零件組成，目前在生產(chǎn)過程中，只能依靠高精度三坐標(biāo)測(cè)試機(jī)、圓度儀、粗糙度儀等設(shè)備對(duì)半球和球碗分別進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)項(xiàng)目多，檢測(cè)效率低，測(cè)量周期較長(zhǎng)，且只是對(duì)零件局部某區(qū)域的幾何特征進(jìn)行檢測(cè)，具有一定的片面性，容易忽略存在較大誤差的區(qū)域，不能覆蓋零件整體幾何特征[2]。

為了提高檢測(cè)精度、保證檢測(cè)效率、獲取完整的幾何特征檢測(cè)結(jié)果，采用三維點(diǎn)云處理技術(shù)完成零件的篩選及虛擬裝配。高精度三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)通過泰勒LuphoScan多波長(zhǎng)干涉掃描測(cè)量系統(tǒng)獲取，系統(tǒng)使用了復(fù)雜的參考傳感器以及特殊的基準(zhǔn)框架概念，能夠確保最高精度的測(cè)量結(jié)果，精度可達(dá)±0.05μm，重復(fù)精度可達(dá)±0.02μm，且系統(tǒng)測(cè)量時(shí)間較快，約為1min，采集的點(diǎn)云個(gè)數(shù)約為70000個(gè)。在幾何尺寸方面，采用最小二乘點(diǎn)云擬合算法計(jì)算出半球、球碗零件的球徑值和球心坐標(biāo)，根據(jù)球徑精度要求篩選出合格的半球、球碗零件；在微觀形貌方面，對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，生成誤差實(shí)體模型，分析誤差實(shí)體模型的表面形貌，確定零件表面形貌的變化范圍以及極大誤差點(diǎn)，剔除不符合要求的零件。最后，確定半球和球碗零件的粗配準(zhǔn)則，篩選出能夠配對(duì)的偶件組合，根據(jù)點(diǎn)云特征參數(shù)的位置關(guān)系要求，確定半球和球碗的靜態(tài)對(duì)準(zhǔn)原則，完成虛擬裝配，進(jìn)行模擬實(shí)際工作狀態(tài)的動(dòng)態(tài)測(cè)量，實(shí)現(xiàn)組件工作間隙的3D顯示[3]。

2 基于最小二乘法的半球、球碗零件特征參數(shù)提取

半球、球碗初始點(diǎn)云數(shù)據(jù)包括七萬左右個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，且點(diǎn)云表面的曲率變化較為簡(jiǎn)單，點(diǎn)云特征規(guī)則，如圖1所示。

圖1 半球、球碗零件初始點(diǎn)云數(shù)據(jù)

根據(jù)球徑誤差分析的需要，確定采用最小二乘法對(duì)零件的球心以及球徑進(jìn)行擬合求解，算法適用于表面變化平穩(wěn)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，注重保留點(diǎn)云表面的光順特性，最小二乘法進(jìn)行點(diǎn)云擬合的基本過程如下[4]：

對(duì)于半球、球碗零件來說它是一個(gè)單一的型面，整個(gè)零件是由一個(gè)型面組成，根據(jù)上述的最小二乘法點(diǎn)云擬合的基本過程，需要通過采集得到的n個(gè)零件三維點(diǎn)云數(shù)Pi(xi，yi，zi)的坐標(biāo)值擬合出球心坐標(biāo)和球徑長(zhǎng)度。若零件的球心坐標(biāo)為(A，B，C)，半徑為r，則半球球面的定義函數(shù)為

(X-A)2+(Y-B)2+(Z-C)2=r2

(1)

令a=-2A，b=-2B，c=-2C，d=A2+B2+C2-r2，那么半球球面方程可以寫成

X2+Y2+Z2+aX+bY+cZ+d=0

(2)

由上式可得樣本點(diǎn)Pi(xi，yi，zi)的殘差為

(3)

殘差的平方和為

+axi+byi+czi+d]2

(4)

其中，殘差的平方和L(a，b，c，d)一定大于零，因此該函數(shù)存在大于或等于零的極小值。分別對(duì)函數(shù)L(a，b，c，d)中的參數(shù)a，b，c，d求偏導(dǎo)數(shù)，并令其偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值為零即可求得函數(shù)的極值點(diǎn)。

(5)

將上式消參后可得

(6)

令式中

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

之后將上述結(jié)果代入式中，可將該式化簡(jiǎn)為

(16)

求解方程組即可得到參數(shù)a，b，c的值，將a，b，c代入到第四式中可求得參數(shù)d。最后可以得到半球點(diǎn)云球心坐標(biāo)及球徑為

(17)

表1為零件幾何尺寸的誤差結(jié)果統(tǒng)計(jì)，將上述采用最小二乘法擬合得到的球徑結(jié)果與理論球徑值進(jìn)行比較，若擬合得到的球徑值在半球球徑加工要求的范圍內(nèi)，則該零件滿足要求，可以進(jìn)行后續(xù)表面形貌的誤差分析；反之，則零件不滿足加工要求，需要對(duì)該零件進(jìn)行剔除。

表1 零件幾何尺寸誤差統(tǒng)計(jì)

3 半球、球碗零件三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)微觀形貌分析

采用三維點(diǎn)云技術(shù)來分析零件的表面微觀形貌，可以得到整個(gè)半球、球碗球體與標(biāo)準(zhǔn)球體的偏差值，從而在整體上完成零件表面微觀形貌的分析。采用基于Lawson算法的Delaunay三角剖分法對(duì)半球、球碗的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，該算法能夠使零件點(diǎn)云保持原始數(shù)據(jù)，并且能夠保留零件點(diǎn)云表面的細(xì)微特征，算法的擬合結(jié)果更趨近于零件的真實(shí)形貌[5]，點(diǎn)云重構(gòu)后的三角面片數(shù)約為150000個(gè)，重構(gòu)后的模型表面積約為250mm2，單個(gè)三角面片的面積約為0.0017mm2，圖2為零件點(diǎn)云數(shù)據(jù)采用Delaunay三角剖分的重構(gòu)結(jié)果示意圖；圖3為Delaunay三角剖分結(jié)果的局部放大圖。

圖2 Delaunay三角剖分重構(gòu)結(jié)果

圖3 Delaunay三角剖分局部放大

根據(jù)最小二乘法擬合得到的零件球心坐標(biāo)和球徑值，構(gòu)造與零件球體特征對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)球體模型，將Delaunay三角剖分的點(diǎn)云重構(gòu)結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)球體模型進(jìn)行比較，從而對(duì)零件的表面形貌進(jìn)行誤差分析，基于半球和球碗點(diǎn)云表面形貌分析示意圖如圖4所示，圖中R0為最小二乘法擬合得到的球徑值，R1、R2為零件球徑的變化區(qū)間，紅線部分為零件表面的真實(shí)形貌。

圖4 點(diǎn)云表面形貌分析示意圖

零件表面形貌誤差分析主要是分析重構(gòu)模型的整體三維偏差，得到一個(gè)全面、直觀、形象的軸承偶件整體表面形貌的信息，并以三維彩色色斑圖表現(xiàn)出點(diǎn)云表面上各個(gè)點(diǎn)的偏差情況，且能夠?qū)Ρ砻嫔细鱾€(gè)點(diǎn)進(jìn)行注釋，使得該點(diǎn)的形貌信息被直接檢測(cè)到，通過該方法確定零件點(diǎn)云區(qū)域內(nèi)的球度誤差以及極大值誤差，圖5所示為零件表面形貌偏差色斑圖。

圖5 零件表面形貌偏差色斑圖

表2為半球和球碗表面形貌誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果，若偏差色斑圖中的半徑變化均位于-0.3μm≤ΔR≤0.3μm" 范圍內(nèi)，則證明半球和球碗的表面形貌滿足球度誤差要求，該零件合格，若零件表面形貌中存在不滿足半徑要求的點(diǎn)云區(qū)域，則證明該區(qū)域不符合零件球度要求，通過上述方法可以準(zhǔn)確地篩選出滿足微觀特征要求的合格零件，記錄合格零件的球心坐標(biāo)以及球徑值，將其作為后續(xù)零件進(jìn)行粗配的前提條件，能夠省去徑向間隙調(diào)整工序，實(shí)現(xiàn)數(shù)字化預(yù)裝配。

4 組件間隙測(cè)量

組件間隙是否合適直接決定了氣浮軸承工作的穩(wěn)定性和工作壽命，實(shí)現(xiàn)組件間隙的測(cè)量首先要完成半球和球碗零件的粗配，以上述最小二乘法擬合得到的合格半球和球碗零件的球徑值為依據(jù)，判斷球碗的球徑值是否大于半球的球徑值，且兩者的球徑差為4～5μm，若滿足上述條件，則可以進(jìn)行后續(xù)的靜態(tài)匹配對(duì)準(zhǔn)；若不滿足，則需要根據(jù)半球的球徑值選擇下一個(gè)球碗繼續(xù)進(jìn)行粗配，直至配對(duì)出符合要求的半球和球碗。

根據(jù)上述組件粗配準(zhǔn)則可以篩選出符合裝配要求的半球和球碗的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)，但是由于半球和球碗的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)并非在同一坐標(biāo)系下測(cè)得，因此需要將兩者的點(diǎn)云數(shù)據(jù)統(tǒng)一到同一坐標(biāo)系下，完成靜態(tài)匹配對(duì)準(zhǔn)，靜態(tài)匹配對(duì)準(zhǔn)的約束條件如下：①半球擬合得到的球心坐標(biāo)與球碗擬合得到的球心坐標(biāo)重合；②半球點(diǎn)云的旋轉(zhuǎn)軸與球碗點(diǎn)云的旋轉(zhuǎn)軸重合且正方向一致。如圖6所示為半球和球碗點(diǎn)云坐標(biāo)系的統(tǒng)一過程。

圖6 半球和球碗點(diǎn)云坐標(biāo)系統(tǒng)一過程

半球和球碗點(diǎn)云靜態(tài)配準(zhǔn)之后，即可進(jìn)行組件工作間隙的測(cè)量，測(cè)量過程需要模擬組件的實(shí)際工作情況，以X軸正方向?yàn)?度，采用球碗沿軸線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6次的方法模擬組件的轉(zhuǎn)動(dòng)，在360度范圍內(nèi)依次沿軸線旋轉(zhuǎn)角度為0度、60度、120度、180度、240度和300度，在每一個(gè)位置建立基于顏色索引的色斑圖將雙邊間隙偏差可視化[6]。圖7所示為組件在不同位置工作間隙的偏差色斑圖。

圖7 不同位置處組件工作間隙的偏差色斑圖

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

通過瑞士TESA電感測(cè)微儀(不確定度0.1μm，量程0.5mm)，對(duì)通過點(diǎn)云配對(duì)的組件進(jìn)行軸承間隙檢測(cè)。若符合軸承間隙(單側(cè)軸承間隙)1～2μm，即為軸承偶件一次裝配成功。一次裝配成功率=符合要求的軸承數(shù)量/點(diǎn)云配對(duì)的軸承數(shù)量×100%。

統(tǒng)計(jì)30個(gè)左半球、30個(gè)右半球，60個(gè)球碗，通過點(diǎn)云進(jìn)行配對(duì)，得到30只馬達(dá)軸承間隙數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)點(diǎn)云配對(duì)的軸承零件軸承間隙檢測(cè)值與電感測(cè)微儀實(shí)測(cè)值[7]。

表3 馬達(dá)軸承零件軸承間隙檢測(cè)結(jié)果

由表3可知30只馬達(dá)軸承間隙數(shù)據(jù)中通過電感測(cè)微儀驗(yàn)證存在5組不合格結(jié)果，則馬達(dá)裝配一次成功率為83.3%。

6 結(jié)論

文中首先將采集得到的半球、球碗零件的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行基于最小二乘法的特征參數(shù)提取，計(jì)算得到球徑值及球心坐標(biāo)，將球徑值與半球、球碗零件的標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行比較，完成幾何尺寸上的零件篩選；然后對(duì)零件的表面形貌進(jìn)行分析，確定零件整體的表面形貌誤差，從而在微觀形貌上對(duì)零件進(jìn)行進(jìn)一步篩選；最后將篩選得到的合格半球、球碗零件進(jìn)行粗配，再通過特征參數(shù)對(duì)齊法完成零件的虛擬裝配，從而得到組件的動(dòng)態(tài)工作間隙變化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，文中提出的基于三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)的零件篩選及虛擬裝配方法，為半球、球碗零件裝配提供了較為可靠的技術(shù)支持，提高了零件的裝配效率及合格率。