鄧海鵬，劉夢焱，馬季容，栗金平

(西安現(xiàn)代控制技術研究所，陜西 西安 710065)

1 引言

在導彈飛速發(fā)展的同時，導彈防御系統(tǒng)也應運而生，并不斷增強，如艦空導彈系統(tǒng)、電子對抗系統(tǒng)和近程防御武器系統(tǒng)(CIWS)。因此，在很多情況下單彈作戰(zhàn)很難完成預期的作戰(zhàn)任務。近年來，多彈(導彈群)協(xié)同作戰(zhàn)問題的研究越來越受到世界各軍事強國的關注。俄羅斯П-700“花崗巖”超聲速反艦導彈[5]與SS-N-19[6]導彈的領彈與攻擊彈的攻擊方式充分體現(xiàn)了導彈之間的協(xié)同作戰(zhàn)思想。

為了使多枚導彈協(xié)同作戰(zhàn)的作戰(zhàn)效果最優(yōu)，一般要求多枚導彈同一時間到達目標，即實現(xiàn)飽和攻擊。文獻[1]中各導彈通過交互，實現(xiàn)數(shù)據(jù)共享，并在比例導引律的基礎上加了一個時間控制增益項以達到同時到達目標實現(xiàn)飽和攻擊的目的。文獻[2]中提出了一種彈著時間可控的機動目標多彈協(xié)同制導律，它由指定彈著時間和預計彈著時間的誤差作為反饋信號與傳統(tǒng)比例制導律結合推導得出，該制導律控制導彈可以達到以規(guī)定的時間攻擊目標的要求。上述兩種多彈協(xié)同攻擊方式，都通過控制攻擊時間實現(xiàn)了飽和攻擊，但有時為了同時達到精確打擊和最大殺傷的目的，還要求導彈從不同的方向同時攻擊目標。以上兩種制導律都不滿足此要求。文獻[3-4]提出了基于虛擬導引點的多彈協(xié)同作戰(zhàn)控制方法和控制多彈協(xié)同攻擊時間和攻擊角度的方法。這兩種方法都針對位置協(xié)同和攻擊角度協(xié)同的要求，設計了導引點的圓弧運動軌跡。但都是通過對多枚導彈的位置、攻擊角度、攻擊時間和攻擊速度進行控制實現(xiàn)的。這樣給設計帶來了方便，但由于控制量中包含速度和角度函數(shù)的乘積項，且速度的控制較難實現(xiàn)，所以給控制的實現(xiàn)帶來了挑戰(zhàn)。另外，由于彈上能源有限，所以控制能量最省也是制導設計中經?？紤]的一個性能指標。

2 導彈協(xié)同問題數(shù)學模型

多彈協(xié)同攻擊問題就是讓多枚導彈通過協(xié)作來攻擊同一目標以保證目標被摧毀的目的。通常情況下，彈目相對運動關系可以解耦成俯仰和偏航兩個平面上的分量運動，為了研究方便，本文只研究偏航平面上的分量運動。本文考慮n枚導彈同時攻擊同一目標，偏航平面上的二維彈目相對運動如圖1所示。

圖1 多彈協(xié)同攻擊示意圖

其中M表示導彈，T表示目標，a表示導彈加速度，σ表示導彈速度方向與彈目連線之間的夾角，ψv表示彈道偏角，q表示彈目連線與參考面之間的夾角。各導彈的初始位置、速度方向以及速度大小可以不同，但要求它們在同一時間并且以一定的攻擊角度擊中目標，以達到飽和攻擊和最大殺傷效果。

多彈協(xié)同攻擊的對象一般是裝備有導彈防御系統(tǒng)大型的靜止或慢速移動目標，如軍事基地、大型船艦等。其相對導彈可視為靜止目標。本文中假設導彈的質量和速度大小不變，加速度方向始終與速度方向垂直，則簡化后的導彈的運動學方程為

(1)

式中：x和z表示導彈的位置，v為導彈的速度。從運動學方程可以看出，選取了(x，y，ψv)作為狀態(tài)向量，a作為控制量。

3 領彈制導律與剩余飛行時間

多枚導彈協(xié)同攻擊目標時，選擇其中一枚作為領彈，其余導彈為從彈。因為要滿足同時攻擊的要求，選取剩余飛行時間最長的導彈作為領彈，而被領彈通過控制使其在領彈到達目標的同時到達目標，并滿足一定的攻擊方向要求。

3.1 領彈制導律

在多彈協(xié)同作戰(zhàn)過程中，從彈要根據(jù)領彈的遭遇時間來設計自己的飛行軌跡，所以對領彈剩余飛行時間的計算非常重要。目前比例導引律因其具有的優(yōu)良特性而在導彈制導方面應用較多，并且針對比例導引律的剩余飛行時間可以較準確的得到，后面給出比例導引律剩余飛行時間公式的推導及仿真結果。這里領彈選擇了使用比例導引律。

形式如下

(2)

(3)

彈目視線角速度可表示為

(4)

其中r是領彈與目標之間的距離，并且速度與彈目連線之間的夾角σ滿足σ=ψv-q，因此領彈的制導問題可以描述為關于r和σ的形式

(5)

這種形式可以比較容易得到領彈與目標之間的距離，便于下面計算領彈剩余飛行時間。一般來說，當比例系數(shù)N選取較大時會對噪聲比較敏感，而較小時會導致響應速度慢并且對機動目標制導性能變差的后果。所以比例系數(shù)的選取需要設計者具有一定的經驗，一般選擇在3-5之間。

3.2 領彈剩余飛行時間

關于比例導引律剩余飛行時間的近似計算有幾種比較好的方法，在這里引出其中一種用作領彈剩余飛行時間的計算[1]。假設目標靜止在x軸上，導彈發(fā)射點位于原點，速度方向與x軸夾角為σ，導彈的位置可以用(x，y)表示，如圖2所示。則導彈運動學方程如圖2所示。

圖2 彈目相對運動示意圖

在上式中，假設σ較小，速度大小恒定，加速度與速度方向垂直，并用x/v代替t可以得到

(7)

如果用-z/(xf-x)代替目標視線角q，比例導引律可以表示為

(8)

將式(8)帶入式(7)得到

(9)

由于假設初始條件為y(0)=0，并且z′(0)=σ(0)，因此可以得到上面微分方程的解為

(10)

對上式子關于x求導可以得到

(11)

式中的軌跡s，可以用下面式子表示

(12)

假設σ(也即z′)是小量，上式子可以表示成

(13)

因此，可以得到

(14)

考慮一般情況，當目標不處在x軸上的時候，也就是把圖2繞原點順時針轉動q角度，可以得到比例導引律剩余飛行時間表達式如下

(15)

其中r表示彈目距離，σ表示導彈速度與彈目連線之間的夾角，逆時針旋轉為正。

圖3 剩余飛行時間估計值變化曲線

圖3給出了領彈剩余時間估計值隨時間變化的曲線，從圖中可以看出，曲線近似可以看作斜率為-1的直線，也就是說剩余飛行時間的估計和真實情況基本相符。

4 從彈最優(yōu)制導律

在估計出領彈的剩余飛行時間后，要求從彈在領彈遭遇時間的同時按照期望的攻擊方向到達目標。設(xt，zt)為目標位置，ψvf為期望的彈道傾角，則要求終端狀態(tài)矢量為(xt，zt，ψvf)。

因為導彈載荷的限制，所攜帶的能源非常有限，所以在滿足上面所提的終端約束外，可以根據(jù)控制能量最省提出如下性能指標函數(shù)

(16)

(17)

根據(jù)橫截條件

(18)

根據(jù)上式可以得到

(19)

控制變量不受約束為

(20)

從而最優(yōu)控制變量為

(21)

因此，最優(yōu)制導問題轉化成了求解拉格朗日乘子的初值問題，得到如下兩點邊值問題

x(0)=x0，x(tf)=xT

z(0)=z0，z(tf)=zT

ψv(0)=ψv0，ψv(tf)=ψvT

如上兩點邊值問題解析解很難求得，所以這里選擇利用打靶法求出拉格朗日乘子的初始值，進而得到最優(yōu)控制量。

5 仿真驗算

5.1 仿真結果

假設領彈和兩枚從彈協(xié)同攻擊一個靜止的艦船，目標位置為(13000m，0m)，三枚導彈的初始參數(shù)如表1所示。

表1 導彈初始參數(shù)

得到導彈初始參數(shù)后，首先根據(jù)領彈的初始參數(shù)計算出其剩余飛行時間作為從彈到達目標的末態(tài)時間；然后再根據(jù)各從彈的初始參數(shù)，設計滿足攻擊時間、攻擊角度和控制能量最省性能指標的最優(yōu)制導律。其中重要的一步是計算拉格朗日乘子的初始值，在表1初始參數(shù)條件下，根據(jù)打靶法利用計算機編程得到拉格朗日乘子初始值如表2所示。

表2 打靶法得到拉格朗日乘子初始值

整個攻擊過程可以用如下框圖來表示。首先，通過領彈初始參數(shù)和目標位置計算出領彈剩余飛行時間；然后，根據(jù)從彈的初始參數(shù)、目標位置、理想攻擊時間、攻擊角度以及控制能量最省的指標函數(shù)計算得到最優(yōu)制導律。最后從彈利用設計好的導引律攻擊目標。

圖4 攻擊過程示意圖

僅仿真在俯仰方向，領彈采用比例系數(shù)為4的比例導引律，從彈采用設計的最優(yōu)控制器，仿真結果如圖5-8所示。兩枚從彈的攻擊角度和攻擊時間如表3所示。

圖5 領從彈都采用比例導引的軌跡

圖6 采用最優(yōu)導引的軌跡

圖7 從彈加速度

圖8 從彈彈道傾角

表3 領彈和從彈攻擊角度和時間

5.2 仿真結果分析

1) 從攻擊時間分析

如圖5，當三枚導彈均使用比例導引律時，其到達目標的時間相差較大，這樣便不能實現(xiàn)飽和攻擊。

如圖6，當領彈采用比例導引律，而從彈采用最優(yōu)制導律的時候，在飛行時間為45.22 S時，領彈與2枚從彈距目標的距離均很小，可認為3枚導彈同時命中了目標。3枚導彈協(xié)同作戰(zhàn)的攻擊時間由領彈的剩余飛行時間確定，并不需要提前指定，因此，本文中的方法在實際應用時比較方便．

2) 從攻擊角度和法向加速度分析

由于領彈采用比例導引律，沒有給定理想攻擊角度，在此不作討論。如圖7，從兩枚從彈的彈道傾角隨時間變化曲線可以看出，從彈的最后攻擊方向基本和理想攻擊方向一致。從圖8可以看到，從彈的法向加速度最大值不超過23m/s2，即過載不大于2.3。結合飛行軌跡可以知道，此制導律一般情況下沒有其它方法中存在的起始段過載較大的問題。

3)其它問題分析

本文中，領彈采用了常用的比例導引律，領彈也可以采用帶有落角約束的任何一種制導律來對它的攻擊角度進行控制，只要能較準確估計出其剩余飛行時間，這并不影響本文所提方法的使用。

另外，由于假設目標靜止，且領彈利用比例導引律，其在打擊靜止目標時剩余飛行時間可以比較準確得到，因此，本文中從彈的最優(yōu)制導律中的拉格朗日乘子只在開始時使用打靶法計算得到，即在開始時就已經確定了從彈的飛行軌跡。但如果目標是移動的，且速度越大，使用本文中設計方法時各導彈達到目標的時間，脫靶量和攻擊角度也會有所變化。但此問題可以通過一些方法解決，例如可以在導彈飛行過程中分段使用此方法在前一段飛行的同時計算出下一段的最優(yōu)飛行軌跡，從而對目標移動帶來的誤差進行修正，此處不做贅述。

6 結束語

本文針對多彈協(xié)同攻擊問題，提出了一種基于領彈與從彈思想的最優(yōu)制導方法。此方法滿足各導彈同時到達目標實現(xiàn)飽和攻擊的要求，并且可以根據(jù)不同的攻擊對象設置理想的攻擊方向，同時還考慮了控制能量最省問題?？刂屏績H為與速度垂直的法向加速度，且需用法向過載較小，在工程方面比較容易實現(xiàn)，具有較廣闊的軍事應用前景。