周曉光, 何 欣, 王曉嶺

(北京科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,北京 100083)

0 引言

投資組合優(yōu)化模型自提出以來一直備受關(guān)注，其核心思想是用均值來衡量收益，用方差來衡量風(fēng)險(xiǎn)。早期的投資組合模型大多采用隨機(jī)變量描述資產(chǎn)的收益率，但概率論基于先驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究決定了隨機(jī)變量無法準(zhǔn)確刻畫瞬息萬變的金融市場。此外，金融資產(chǎn)的收益在很大程度上依賴于投資者個(gè)人的主觀判斷，即使是金融專家也難以進(jìn)行準(zhǔn)確的評價(jià)。因此，學(xué)者們提出了基于模糊理論的投資組合優(yōu)化模型[1,2]。

2009年，Torra和Narukawa提出猶豫模糊集[3]。隨后，Zhou等[4]提出了猶豫模糊集(其隸屬度是一個(gè)不確定的值)下的投資組合選擇和風(fēng)險(xiǎn)度量方法，為猶豫模糊理論在投資組合選擇中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。猶豫模糊變量的不確定程度都是基于數(shù)值的表示，而在實(shí)際過程中，投資者往往傾向于使用定性的自然語言來表達(dá)他(她)對金融產(chǎn)品的看法。同時(shí)，越來越多的金融產(chǎn)品及其衍生品進(jìn)入市場交易，投資者受自身對金融市場了解程度的限制，也并不能準(zhǔn)確地給出猶豫模糊變量的隸屬度，而是在多個(gè)自然語言評價(jià)中徘徊[5]。

Rodriguez等[6]提出的猶豫模糊語言術(shù)語集不僅可以使用自然語言對金融產(chǎn)品進(jìn)行評價(jià)，刻畫投資者的不確定程度，還可以避免自然語言在決策過程中信息的丟失，從而得到更為準(zhǔn)確的評價(jià)結(jié)果[7]。直覺模糊二元語義在企業(yè)價(jià)值評估、項(xiàng)目選擇等多個(gè)領(lǐng)域取得了應(yīng)用[8.9]，猶豫模糊語言也逐漸成為學(xué)者研究的熱點(diǎn)[10]。本文基于猶豫模糊語言環(huán)境研究投資組合優(yōu)化問題，以通過資金的最優(yōu)分配實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品收益與風(fēng)險(xiǎn)之間的均衡。

1 基本理論

定義1[11]設(shè)S={Sα|α= -τ, …, -1, 0, 1, …,τ}為語言術(shù)語集，ai∈A,i=1,2,…,N，A上的猶豫模糊語言集HS的數(shù)學(xué)形式為

HS={}ai∈A}

(1)

其中：hS(ai):A→S指元素ai∈A映射到集合X?A的可能隸屬度，hS(ai)是語言術(shù)語集S中一系列連續(xù)的可能取值，且hS(a)={sφl(ai)|Sφl(ai)∈S,l=1,2,…,L};φl∈{-τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術(shù)語Sφl(ai)的下標(biāo)，L(ai)為hS(ai)中語言術(shù)語的個(gè)數(shù)。為簡化起見，稱hS(ai)為猶豫模糊語言數(shù)(Hesitant Fuzzy Linguistic Element, HFLE)，HS為語言術(shù)語集S上的全部猶豫模糊語言數(shù)的集合，即猶豫模糊語言集(Hesitant Fuzzy Linguistic Set, HFLS)。

定義3[12]設(shè)S={Sα|α= -τ,…,-1,0,1,…,τ}為語言術(shù)語集，θα∈R+是語言術(shù)語Sα對應(yīng)的語義，語言尺度函數(shù)為從Sα到θα的映射，即g:Sα→θα，其中g(shù)是關(guān)于下標(biāo)α的單調(diào)函數(shù)，且g(Sα)∈[0,1]。

定義4[13]猶豫模糊語言數(shù)的猶豫度函數(shù)，以其對應(yīng)的語言術(shù)語集中元素的個(gè)數(shù)L為基礎(chǔ)，定義為一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞增的凸函數(shù)，如下所示:

(2)

顯然，猶豫模糊語言數(shù)的長度越長，即語言術(shù)語集中的元素越多，猶豫度越大。

2 基于猶豫模糊語言集的投資組合優(yōu)化模型

2.1 基于猶豫模糊語言的股票得分評價(jià)方法

本文以股票市場為例來說明猶豫模糊語言環(huán)境下的投資組合優(yōu)化問題。在投資過程中，投資者常面臨的一個(gè)問題是，選擇哪些股票進(jìn)行投資以實(shí)現(xiàn)預(yù)期投資組合收益的最大化。這其中涉及到的一個(gè)很重要的環(huán)節(jié)就是投資者要對證券市場上的股票進(jìn)行評估。大多數(shù)投資者面臨不同的投資抉擇時(shí)，第一個(gè)考量標(biāo)準(zhǔn)往往是“這只股票會漲還是會跌？”進(jìn)而投資者才會根據(jù)對股票漲跌的預(yù)判決定是否將資金投入該股。

本文通過改進(jìn)Score-HeDLiSF[14]方法，提出基于猶豫模糊語言的二級投資組合評價(jià)系統(tǒng)，對股票xi(i=1,2,…,n)進(jìn)行評價(jià)，具體步驟如下：

步驟1建立猶豫模糊語言投資組合評分系統(tǒng)的初級評價(jià)語言術(shù)語集LTS，表示為S={Sα|α=-τ,…,-1,0,1,…,τ}，并通過語義值函數(shù)對每一語言術(shù)語Sα進(jìn)行量化評分。鑒于初級評價(jià)是投資者對股票“是否看好”的主觀陳述，隨著語義程度的加劇，其初級自然語言評價(jià)會呈現(xiàn)越來越嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠谜Z習(xí)慣，即投資者給出“極其看好/不看好”的初級評價(jià)一定會較“有一些看好/不看好”更為謹(jǐn)慎，也就是說初級相鄰語義間隔以S0為分界向左、右兩邊逐漸減小，即隨著語義程度的加重，相鄰語言尺度函數(shù)值之差呈遞減趨勢，因此本文初級評價(jià)語言術(shù)語采用相鄰語義間隔遞減的單調(diào)遞增函數(shù)[16]，表達(dá)式如下:

(3)

其中，ζ表示股票看跌時(shí)對應(yīng)的投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度參數(shù)，ξ表示股票看漲時(shí)對應(yīng)的投資者的風(fēng)險(xiǎn)欲望參數(shù)。

本文主要研究同一投資者就股票看漲、看跌評價(jià)語義關(guān)于S0對稱的情況，即ζ=ξ且滿足g(Sα+1)-g(Sα)=g(S-α)-g(S-α-1)。需要指出的是，若ζ=ξ的值小于0.5，對應(yīng)的投資者趨向于保守型，其相鄰語言尺度函數(shù)值之差相對較大，即g(Sα+1)-g(Sα)相對較大，原因是保守型投資者對于“極其看好”的股票，語義函數(shù)值的賦值要求相對高于激進(jìn)型投資者；對于“極其不看好”的股票，語義函數(shù)值的賦值要求低于激進(jìn)型投資者，故其差值相對較大。若ζ=ξ恰好等于0.5，對應(yīng)的投資者近似于穩(wěn)健型。若ζ=ξ的值大于0.5，對應(yīng)的投資者趨向于激進(jìn)型，其相鄰語言尺度函數(shù)值之差相對較小。

步驟2對備選股票進(jìn)行關(guān)于漲跌趨勢的初級自然語言評價(jià)，利用文本自由語法GH[8]將每只股票的初級自然語言評價(jià)轉(zhuǎn)換為語言表達(dá)式ll。

步驟3通過轉(zhuǎn)換函數(shù)[8]將語言表達(dá)式ll轉(zhuǎn)化為猶豫模糊語言數(shù)hS(xi)，得到關(guān)于初級評價(jià)的猶豫模糊語言集HS。

步驟4通過式(2)計(jì)算初級評價(jià)猶豫模糊語言數(shù)hS(xi)的猶豫度HD(hS)，進(jìn)一步求出關(guān)于該股漲跌趨勢的量化得分，如下所示。

(4)

(5)

步驟6對每只股票進(jìn)行投資可能性判斷，利用文本自由語法GH將對該股的二級自然語言評價(jià)轉(zhuǎn)換為語言表達(dá)式ll′。

(6)

步驟9計(jì)算股票經(jīng)過二級投資組合評價(jià)猶豫模糊語言系統(tǒng)得到的綜合評分，計(jì)算公式如下：

(7)

2.2 投資組合優(yōu)化模型

(8)

該投資組合的風(fēng)險(xiǎn)可表示為：

(9)

(1)優(yōu)化模型

本文以收益最大作為猶豫模糊語言投資組合的優(yōu)化目標(biāo)，將風(fēng)險(xiǎn)控制在可接受的最大風(fēng)險(xiǎn)Dmax之內(nèi)作為約束條件，模型如(10)式所示。以Emin為約束條件，以風(fēng)險(xiǎn)最小化為目標(biāo)的猶豫模糊語言投資組合優(yōu)化模型(11)本文不作贅述。

(10)

(11)

(2)不同類型投資者的方差臨界值Dmax的求法

在實(shí)際投資過程中，不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者由于自身的性格、文化背景和對金融產(chǎn)品的認(rèn)知不同，對風(fēng)險(xiǎn)的承受能力是不一樣的，在優(yōu)化模型中體現(xiàn)為Dmax取值的不同。激進(jìn)型投資者Dmax最高，穩(wěn)健型次之，保守型最低。

本文采用三等分法[2]求解不同類型投資者對應(yīng)的Dmax，如圖1所示。假設(shè)最大風(fēng)險(xiǎn)臨界值Dmax的波動范圍為[minD,maxD]。

A.設(shè)激進(jìn)型投資者對應(yīng)的最大風(fēng)險(xiǎn)臨界值Dmax為D1，則D1=maxD；

B.設(shè)穩(wěn)健型投資者對應(yīng)的最大風(fēng)險(xiǎn)臨界值Dmax為D2，則D2=2/3(maxD-minD)；

C.設(shè)保守型投資者對應(yīng)的最大風(fēng)險(xiǎn)臨界值Dmax為D3，則D3=minD+1/3(maxD-minD)。

圖1 不同風(fēng)險(xiǎn)偏好投資者Dmax的三等分示意圖

(3)maxD和minD的求法

HFLE收益最大化投資組合優(yōu)化模型對應(yīng)的最大風(fēng)險(xiǎn)臨界值Dmax，在采用三等分法求解釋時(shí)，需要確定minD和maxD。本小節(jié)以猶豫模糊語言投資組合的方差為優(yōu)化目標(biāo)，通過求解優(yōu)化模型(12)，得到猶豫模糊語言投資組合方差的極值(即maxD和minD)。

(12)

3 數(shù)例仿真

3.1 基于猶豫模糊語言的投資組合優(yōu)化過程

根據(jù)前文介紹的猶豫模糊語言二級投資組合評價(jià)系統(tǒng)以及提出的猶豫模糊語言投資組合優(yōu)化模型，現(xiàn)將猶豫模糊語言環(huán)境下的投資組合優(yōu)化過程總結(jié)如下：

步驟1建立猶豫模糊語言的股票得分評價(jià)系統(tǒng)的初級、二級評價(jià)語言術(shù)語集LTS。

步驟2根據(jù)式(3)和式(5)分別計(jì)算猶豫模糊語言投資組合評分系統(tǒng)的初級、二級評價(jià)語言術(shù)語的語義值。

步驟3分別對股票的漲跌情況及感興趣程度進(jìn)行判斷，利用文本自由語法和轉(zhuǎn)換函數(shù)得到相應(yīng)的猶豫模糊語言數(shù)。

步驟4利用基于猶豫模糊語言的二級投資組合綜合評價(jià)系統(tǒng)對每一只股票進(jìn)行打分。

步驟5根據(jù)模型(12)計(jì)算[minD,maxD]。

步驟6采用三等分法對不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者確定模型(10)中的參數(shù)Dmax。

步驟7根據(jù)投資者實(shí)際情況，構(gòu)造收益最大化或風(fēng)險(xiǎn)最小化猶豫模糊語言投資組合優(yōu)化模型。

步驟8求出最優(yōu)投資比例ηi。假設(shè)總投資金額為K，則每只股票的投資金額為Kηi。

3.2 基于猶豫模糊語言的投資組合優(yōu)化數(shù)例仿真

為說明本文提出的猶豫模糊語言得分評價(jià)系統(tǒng)及優(yōu)化模型的合理性和有效性，現(xiàn)將上述投資組合優(yōu)化過程以數(shù)例進(jìn)行說明。假設(shè)有5只股票{x1,x2,x3,x4,x5}可供選擇，每只股票投資比例表示為{η1,η2,η3,η4,η5}，且滿足，投資者現(xiàn)有資金總額為100000元。本文以保守型投資者為例，并假設(shè)該投資者以收益最大化為投資目標(biāo)。現(xiàn)采用基于猶豫模糊語言的投資組合優(yōu)化過程進(jìn)行求解，具體過程如下所示：

步驟2根據(jù)式(3)和式(5)分別計(jì)算猶豫模糊語言投資組合評分系統(tǒng)的初級及二級評價(jià)語言術(shù)語的語義值?？紤]到投資者的風(fēng)格為保守型，因此令ζ=ξ=0.2，且τ=3，τ′=6。

步驟3投資者分別對股票的漲跌情況及感興趣程度進(jìn)行個(gè)人判斷，并給出相應(yīng)的自然語言評價(jià)。利用文本自由語法和轉(zhuǎn)換函數(shù)得到相應(yīng)的猶豫模糊語言數(shù)，其中初級猶豫模糊語言數(shù)轉(zhuǎn)化結(jié)果如表1所示，二級猶豫模糊語言數(shù)轉(zhuǎn)化結(jié)果如表2所示。

表1 初級猶豫模糊語言數(shù)轉(zhuǎn)化過程

表2 二級猶豫模糊語言數(shù)轉(zhuǎn)化過程

表3 猶豫模糊語言投資組合評價(jià)系統(tǒng)得分計(jì)算過程

步驟4首先通過式(2)計(jì)算每一級猶豫模糊語言數(shù)的猶豫度，然后根據(jù)式(4)和式(6)分別計(jì)算初級及二級評價(jià)的量化得分，最后根據(jù)式(7)計(jì)算得出每只股票的猶豫模糊語言投資組合綜合評分，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

步驟5由于投資者以收益最大化為投資目標(biāo)，故以最小風(fēng)險(xiǎn)為約束。根據(jù)模型(11)計(jì)算[minD,maxD]，代入數(shù)據(jù)可得非線性優(yōu)化模型(13)。利用Matlab對其進(jìn)行求解，得到投資者猶豫模糊語言投資組合方差的極大、極小值，分別為maxD=0.4773,minD=0.00003。

f(η)=maxD或minD

(13)

步驟6根據(jù)三等分法求出投資者的最大風(fēng)險(xiǎn)臨界值Dmax，并設(shè)為D3，D3=minD+1/3(maxD-minD)=0.1591。

步驟7鑒于投資者以收益最大化為投資目標(biāo)，故選擇模型(10)求解投資組合的最優(yōu)解，猶豫模糊語言投資組合優(yōu)化模型代入數(shù)據(jù)如下所示：

f(η)=maxE

(14)

步驟8采用Matlab求解上述非線性優(yōu)化模型，得到最優(yōu)投資比例為η1=η2=η5=0，η3=0.6575，η4=0.3425，即最優(yōu)投資組合為：對第3只股票投資65750元，對第4只股票投資34250元。

3.3 仿真結(jié)果分析

上述研究基于保守型投資者，如果更改初級評價(jià)語義值函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度參數(shù)ζ和風(fēng)險(xiǎn)欲望參數(shù)ξ值，可以求出不同風(fēng)險(xiǎn)偏好投資者的最優(yōu)投資比例。例如，對穩(wěn)健型投資者，令ζ=ξ=0.5；對激進(jìn)型投資者，令ζ=ξ=0.7。

不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者對五只股票總得分如圖2所示，三類投資者對五只股票的猶豫模糊語言評價(jià)得分均滿足x4>x3>x1>x5>x2，符合對五只股票的自然語言評價(jià)。具體地，對于x4其初級自然語言評價(jià)為“至少還不錯(cuò)”，其二級自然語言評價(jià)為“很想買”，因此，x4猶豫模糊語言評價(jià)得分最高。在相對看好的股票中，即對于股票x1、x3和x4，保守型投資者經(jīng)過猶豫模糊語言評分系統(tǒng)得到的分?jǐn)?shù)最高，而激進(jìn)型投資者得分最低，這是因?yàn)閰拹猴L(fēng)險(xiǎn)的投資者對于股票選擇更為慎重，同時(shí)其謹(jǐn)慎的投資態(tài)度導(dǎo)致只有得分相對較高的情況下，才會對這只股票予以好評。反之，對于不看好的股票x2和x5，保守型投資者只有在得分極低的情況下，才會認(rèn)定這只股票不好。

通過對三種類型的投資組合優(yōu)化模型進(jìn)行求解，三類投資者的最優(yōu)投資比例如表4所示。三類投資者都主要將資金投入到了x3和x4，而在x1、x2和x5未投資，其中保守型投資者傾向于x3，而激進(jìn)型則傾向于x4，這是因?yàn)楸Ｊ匦屯顿Y者會適當(dāng)犧牲利益以換取相對較小的投資風(fēng)險(xiǎn)，而激進(jìn)型投資者則以嘗試更大的風(fēng)險(xiǎn)為代價(jià)追求高額的利潤。需要指出的是，本文提出的模型對于不太看好的股票(如本例中的x2和x5)的資金分配也同樣可以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化配置，在實(shí)際投資中，也可能會出現(xiàn)對看跌的股票如何分配資金以圖反彈獲利，利用本文提出的優(yōu)化模型亦可求解。

圖2 三種不同類型投資者的評分圖

表4 三種不同類型投資者在五只股票上的投資比例及收益與風(fēng)險(xiǎn)極值

圖3給出了三種類型投資者對應(yīng)的猶豫模糊語言投資組合maxE及對應(yīng)所需承受的風(fēng)險(xiǎn)D值。可以看到不同類型投資者在取到最優(yōu)解時(shí)，對應(yīng)的投資組合方差值均取到了最大臨界值，即D1=0.4567，D2=0.3097，D3=0.1591。這是因?yàn)樵谧非笫找孀畲蠡耐瑫r(shí)，勢必會增加投資風(fēng)險(xiǎn)。此外，激進(jìn)型投資者所獲得的收益及承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)是最大的，保守型投資者最小。這驗(yàn)證了高收益伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)，降低風(fēng)險(xiǎn)一定是以犧牲期望利潤為前提的。

4 結(jié)論及展望

本文在根據(jù)猶豫模糊語言對金融產(chǎn)品進(jìn)行二級綜合評價(jià)的基礎(chǔ)上，建立了猶豫模糊語言投資組合優(yōu)化模型，針對激進(jìn)型、穩(wěn)健型和保守型三種不同類型的投資者分別求出最優(yōu)投資組合方案。最后采用數(shù)值仿真對不同類型的投資者進(jìn)行了比較分析，驗(yàn)證了所提出的猶豫模糊語言投資組合優(yōu)化模型的合理性和有效性。未來進(jìn)一步的研究方向如下：

(1)面對復(fù)雜多變的金融市場，理性的投資者如若將資金投入到看跌的股票上，一定是認(rèn)為這只股票在跌到一定程度后，就會觸底反彈。對于這種情況，猶豫模糊語言投資組合評價(jià)系統(tǒng)如何運(yùn)作？如何進(jìn)行資金的最優(yōu)分配以實(shí)現(xiàn)收益與風(fēng)險(xiǎn)的均衡？

(2)本文研究的是一位投資者對n只股票進(jìn)行的評價(jià)，如果對每只股票從m個(gè)維度進(jìn)行綜合評價(jià)，如何建立猶豫模糊語言投資組合優(yōu)化模型？