劉 鋮，張昊鑫，朱曉鋒，張艷軍，徐洪濤，張軼平

(1.東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林 吉林 132012；2.國網(wǎng)吉林供電公司，吉林 吉林 132012；3 國網(wǎng)遼寧省電力有限公司，遼寧 沈陽 110000；4 國網(wǎng)黑龍江省電力有限公司，黑龍江 哈爾濱 150000)

為實現(xiàn)以“碳達峰”、“碳中和”為發(fā)展目標(biāo)的可持續(xù)發(fā)展的內(nèi)在需求，有必要構(gòu)建以可再生能源為主體的電力系統(tǒng)[1-2].近年來迅速普及的分布式的電源和電動汽車逐漸并網(wǎng)，以及大量的新能源接入電網(wǎng)，包含隨機擾的不確定性因素將對電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定造成影響[3].而在電力系統(tǒng)中，往往實際存在的隨機因素更容易被忽略，由于隨機因素引起的系統(tǒng)故障容易被漏掉.因此，及時發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的不確定因素，對電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的評估有重大意義，從而保障電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行[4].

就傳統(tǒng)電力系統(tǒng)而言，往往在工作狀態(tài)下會出現(xiàn)大量的隨機擾動，最具代表性的是原動機運轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的扭矩隨機振動[4-7].不過當(dāng)時的遺忘隨機性相對較弱，使得學(xué)者和專家們在研究電力系統(tǒng)時往往將其忽略.現(xiàn)如今，電網(wǎng)規(guī)模持續(xù)擴展，新能源技術(shù)在各個領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，加之電動汽車的普及，使得現(xiàn)代電力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)趨于復(fù)雜化發(fā)展，隨機性也越發(fā)顯著[8-12].如文獻[2]基于李雅普諾夫的能量函數(shù)和時域仿真，分析系統(tǒng)隨機擾動對暫態(tài)穩(wěn)定的影響.文獻[5]在確定性模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)造帶有高斯型隨即激勵項的模型.文獻[6]針對了不斷增加的隨機波動性風(fēng)電功率隊電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，提出了一種隨機空間下的電力系統(tǒng)建模方案，以此來建立電力系統(tǒng)抗干模型.文獻[7]指出，應(yīng)該基于特征分析法來研究評價電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過隨機微分方程組來進行試驗和驗證，得出新的結(jié)論.上述研究文獻選擇電力系統(tǒng)作為研究對象，針對影響電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的隨機因素進行了詳細的闡述，并未具體分析電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定與負(fù)荷側(cè)隨機擾動之間的關(guān)系.與此同時，涉及隨機擾動下的電力系統(tǒng)薄弱環(huán)節(jié)有待研究.

分析暫態(tài)穩(wěn)定，對系統(tǒng)受到隨機擾動時的暫態(tài)穩(wěn)定進行預(yù)防性評估.首先，對計及隨機擾動的電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性現(xiàn)有方法基于隨機網(wǎng)絡(luò)能量函數(shù)，提出了基于隨機擾動的電力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)；其次，就隨機電力系統(tǒng)應(yīng)用狀態(tài)下的暫態(tài)穩(wěn)定評估指標(biāo)體系進行構(gòu)建與優(yōu)化，研究了隨機擾動的強度和類型對電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的影響，最后，通過單機和十機算例的仿真分析了負(fù)荷隨機性對系統(tǒng)暫態(tài)影響，驗證本文所構(gòu)建指標(biāo)的準(zhǔn)確性，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定運行提供實施更精準(zhǔn)的調(diào)控措施.

1 電力系統(tǒng)隨機網(wǎng)絡(luò)能量函數(shù)構(gòu)建

1.1 隨機擾動數(shù)學(xué)模型

隨機性對電力系統(tǒng)的影響可從隨機性的擾動源進行切入展開研究與分析，主要包括兩個方面，一方面是傳統(tǒng)發(fā)電端的不確定性，另一方面是新能源發(fā)電的不確定性：如風(fēng)力發(fā)電和光伏間歇性[13]；網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的不確定性：重點涉及隨機故障對電網(wǎng)結(jié)構(gòu)造成的實際影響[14]；電力系統(tǒng)負(fù)荷的不確定性：側(cè)重于傳統(tǒng)負(fù)荷變化的研究與分析[15].要研究隨機擾動，首先要建立隨機擾動的系統(tǒng)模型.一般來說，把隨機擾動定義為隨機過程.從數(shù)學(xué)層面來闡述隨機過程的概念和定義，一般將其表述為一組隨機變量，即給出一個已知的參數(shù)集，就某個參數(shù)點t設(shè)置對應(yīng)的隨機變量x(t)[15].這種情況下，隨機變量近似理解為一個函數(shù)，然后用ω來代表隨機變量x(t)集合中的某個點，用x(t,ω)來描述隨機變量在ω情況下的實際值，此時就形成了一個完整的隨機過程，主要和點偶(t,ω)函數(shù)有關(guān)，特定情況下也會受到概率分配的顯著影響.假設(shè)t為常數(shù)，那么這里的二元函數(shù)就可以理解為ω函數(shù)，借助x(t)來描述隨機變量[16-18].

假設(shè)隨機過程在n維狀態(tài)下的分布都服從正態(tài)分布，則被稱為高斯過程.定義為一組隨機變量的集合，且都服從聯(lián)合正態(tài)分布.由高斯過程的定義可知，由正態(tài)分布的可加性，高斯過程(和其子集)的任意線性組合也是高斯過程.此外，由聯(lián)合正態(tài)分布性質(zhì)可知，若高斯過程有互不相關(guān)的隨機變量相互獨立.若一個隨機過程{X(t),t≥0}滿足：

(1)X(t)是獨立增量過程；

(2)?s,Δt>0,X(s+t)-X(s)～N(0,σ2Δt)，即X(s+t)-X(s)是期望為0，方差為σ2Δt的正態(tài)分布；

(3)X(t)關(guān)于t是連續(xù)函數(shù).

則稱{X(t),t≥0}是維納過程或布朗運動,記為B(t)，導(dǎo)數(shù)記為W(t)，即

dB(t)=W(t)dt，

(1)

維納過程是布朗運動的數(shù)學(xué)模型，高斯白噪聲通常用維納過程的積分形式來表示，在電力系統(tǒng)中用高斯白噪聲型擾動來表示負(fù)荷功率隨機波動，和一些其他隨機變化.

1.2 單機系統(tǒng)隨機網(wǎng)絡(luò)能量函數(shù)構(gòu)建

從本質(zhì)屬性來講，隨機連續(xù)擾動可近似理解為一個完整的隨機過程，用確定性函數(shù)來定義隨機過程的方法是不合理的，只能作為一次隨機路徑的樣本來描述觀測結(jié)果.實現(xiàn)隨機過程大致分為頻域方法和時域方法.頻域方法描述了隨機性的不同頻率分量的特征，并研究它們對電力系統(tǒng)的影響.具體應(yīng)用如圖1所示.基于時頻變換、功率譜方法等一系列方法，將隨機性變換到頻域，在頻域分析特征后，再利用頻域特征計算時域的相關(guān)指標(biāo).該類方法具有較強的物理意義，同時可以更高效地對新能源電力系統(tǒng)的運行狀態(tài)進行評估.時域方法將傳統(tǒng)負(fù)荷的隨機波動特性的不確定性和電力系統(tǒng)動力學(xué)建模為隨機微分方程，并通過隨機分析的相關(guān)工具對其進行統(tǒng)一分析.與頻域方法不同，時域方法可以更好地考慮電力系統(tǒng)中的約束和初始狀態(tài)對電力系統(tǒng)的影響.

本文采用時域方法，利用隨機微分方程對不確定性下的系統(tǒng)進行建模.環(huán)境激勵被視為高斯過程的多機模型，隨機擾動下的轉(zhuǎn)子運動方程如下所示

(2)

公式中：δi為功率角；ωi為轉(zhuǎn)速；Mi為機器i的慣性系數(shù)；t表示時間；Di為阻尼系數(shù)；Pmi為機械功率；Wi(t)為環(huán)境激勵.

傳統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定是利用構(gòu)造的能量型Lyapunov函數(shù)來展開研究與分析，獲取系統(tǒng)穩(wěn)定性的相關(guān)結(jié)論.我們通常無法基于確定性理論來定義隨機擾動的概念，這種情況下應(yīng)該利用概率穩(wěn)定值來進行分析與界定.同步發(fā)電機受到嚴(yán)重干擾時的，會產(chǎn)生瞬態(tài)不穩(wěn)定從而導(dǎo)致非線性行為.隨機微分方程的Lyapunov函數(shù)考慮非線性隨機系統(tǒng)為

dx=f(x,t)dt+g(x,t)∑(t)dWi(t),x(0)=x0∈Rn

.

(3)

將確定暫態(tài)穩(wěn)定性的能量函數(shù)方法應(yīng)用于負(fù)荷隨機波動的隨機擾動下，即將Lyapunov穩(wěn)定性方法應(yīng)用于隨機微分方程系統(tǒng)，將中的轉(zhuǎn)子運動方程兩端同乘dδ/dt可得

(4)

公式中：δ為向角差.

將故障后的暫態(tài)過程中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點功率平衡方程帶入上式中，建立計及隨機擾動后的系統(tǒng)暫態(tài)能量函數(shù)：

(5)

圖1 隨機過程應(yīng)用示意圖

在公式(5)中，在不計電阻損耗的系統(tǒng)環(huán)境中，系統(tǒng)的勢能表示成系統(tǒng)中所有支路的暫態(tài)勢能總和，然后基于不同電路段的暫態(tài)能量和噪音來計算出系統(tǒng)總能量.這種情況下，應(yīng)根據(jù)軌跡函數(shù)來更好地實現(xiàn)系統(tǒng)總勢能的計算，以及對暫態(tài)穩(wěn)定性的研究.

1.3 多機系統(tǒng)隨機網(wǎng)絡(luò)能量函數(shù)構(gòu)建

若發(fā)電機電力系統(tǒng)模型為二階模型，排除勵磁調(diào)節(jié)器等產(chǎn)生的干擾，可建立功率固定條件下的負(fù)荷模型.構(gòu)建增廣網(wǎng)絡(luò)后，假設(shè)把參考角設(shè)為節(jié)點n的電壓相角δn，此時的電壓相角算式如下所示.

αi =δi-δn，i=1,…,n-1

.

(6)

以l條線路為例，支路電壓相角之間的差值

σk=δi-δj，k= 1,…,l

.

(7)

在上述算式中，支路k描述的是i與j形成的支路.

電壓相角算式和列向量公式如下：

α= [α1,…,,αn-1]，σ=[σ1,…,σl]

.

(8)

然后

σ=ATα

.

(9)

在上述算式中：A為處理后的關(guān)聯(lián)矩陣.

潮流函數(shù)公式

P=Ag(ATα)=f(α)，

(10)

在排除發(fā)電機與阻尼特性干擾的情況下，電力系統(tǒng)的狀態(tài)空間算式如下：

(11)

公式中：ωg為角速度向量；Mg為慣性時間矩陣；Ps為有功功率向量；Tg為單位矩陣.

基于公式(11)，得到

.

(12)

用(αs,0)描述系統(tǒng)穩(wěn)定平衡點(SEP)，得到系統(tǒng)暫態(tài)能量函數(shù)計算表達式

(13)

(14)

由公式(10)知，P=f(τ)=Ag(ATα)，則勢能函數(shù)可以表示為

(15)

將σ=ATα帶入公式(14),勢能函數(shù)可變換為

(16)

公式中：bk=ViVj/xk，Vi、Vj為不同節(jié)點的電壓；xkTg為電力系統(tǒng)暫態(tài)時的電抗；uTg為暫態(tài)下的積分變量.

基于σ0與公式(16)，可獲得統(tǒng)暫態(tài)能量函數(shù)的計算表達式

(17)

基于公式(17)，按照系統(tǒng)能量軌跡可得到系統(tǒng)動能總和，利用暫態(tài)勢能總和來描述增廣網(wǎng)絡(luò)支路勢能，環(huán)境激勵為系統(tǒng)增廣網(wǎng)絡(luò)所有支路的環(huán)境激勵之和.

2 基于隨機網(wǎng)絡(luò)能量的暫態(tài)穩(wěn)定評估指標(biāo)

2.1 暫態(tài)穩(wěn)定評估指標(biāo)構(gòu)建

電力系統(tǒng)是具有高耦合性復(fù)雜的大互聯(lián)系統(tǒng)，越來越多的隨機擾動出現(xiàn)會引起更多的負(fù)荷故障從而引起重大事故.暫態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)發(fā)生故障時，應(yīng)根據(jù)臨界能量來對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行評價和判斷.

網(wǎng)絡(luò)上的勢能分布具有集聚性.在系統(tǒng)受到傳統(tǒng)小干擾時的失穩(wěn)表現(xiàn)主要以相角持續(xù)增大為主，使得系統(tǒng)的支路暫態(tài)勢能在短時間內(nèi)激增，系統(tǒng)失穩(wěn)解列.失穩(wěn)時導(dǎo)致系統(tǒng)在斷面分割的系統(tǒng)中分擔(dān)勢能最大的一組支路定義為臨界割集，整個系統(tǒng)的穩(wěn)定程度可依據(jù)臨界割集是否穩(wěn)定來判斷[1].本文為有效指出系統(tǒng)的臨界割集定義了隨機擾動下的暫態(tài)穩(wěn)定指標(biāo)SDSI(Stochastic Disturbing Stability Index)，具體表示為

圖2 SDSI指標(biāo)值分布示意圖

圖3 發(fā)電機功率的環(huán)境激勵圖

圖4 算法流程圖

圖5 單機無窮大系統(tǒng)

(18)

公式中：Pls(tbi)為支路ls勢能第一次達到極大值對應(yīng)的有功功率；Pls為支路ls穩(wěn)態(tài)時的有功功率；Vpbls(tbi,tai)為支路ls是該第一擺極大值和極小值的差值.

經(jīng)過以上定義可得到，在系統(tǒng)受到短路故障時，某工況下SDSI值最接近0的一組支路為臨界割集.SDSI值越接近0，說明系統(tǒng)的穩(wěn)定性越弱.當(dāng)支路的SDSI值等于0，表示此時的系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài).系統(tǒng)失穩(wěn)時SDSI指標(biāo)值示意圖如圖2所示，圖3為負(fù)荷的環(huán)境激勵.

對單機甚至多機系統(tǒng)而言，頻率對應(yīng)勢能和功率參數(shù)浮動均對系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生不同程度的影響，某一支路受到隨機擾動時所對應(yīng)的支路暫態(tài)勢能激增.本文研究了在隨機擾動下該指標(biāo)的適用性.

2.2 算法流程圖

3 算例分析

3.1 單機系統(tǒng)仿真分析

單機無窮大系統(tǒng)圖如圖5所示.在t=0 s-0.02 s于支路AC2施加三相短路故障,系統(tǒng)暫態(tài)能量圖如圖6所示.計算SDSI值并判斷系統(tǒng)穩(wěn)定.

系統(tǒng)在AC2處發(fā)生三相短路接地故障時，系統(tǒng)能量守恒，經(jīng)計算此時各支路SDSI指標(biāo)中支路AC1、支路AC2最小為50.209 4，因此系統(tǒng)穩(wěn)定且在支路AC1、支路AC2處形成臨界割集.

表1 各支路的SBI指標(biāo)支路SBI值G1604.8040T1315.2795AC150.2094AC250.2094T2306.1346

圖6 單機系統(tǒng)短路故障下的系統(tǒng)總能量曲線

圖7 隨機擾動下的系統(tǒng)總能量曲線

圖8 多次臨界割集的指標(biāo)值分布

圖9 ω=30時的支路暫態(tài)勢能曲線

當(dāng)系統(tǒng)負(fù)荷L1功率發(fā)生隨機波動時,系統(tǒng)的總能量曲線如圖7所示.

為了驗證指標(biāo)值的穩(wěn)定性，在單機系統(tǒng)受100 s隨機擾動中，本文以每次間隔5 s速度為0.2 s滑窗計算了100 s各支路的SDSI指標(biāo)值.表2為多次滑窗計算中SDSI指標(biāo)值的均值,表3為多次滑窗計算中SDSI指標(biāo)值的方差.其中臨界割集的SDSI指標(biāo)值如圖8所示，從中可以看出指標(biāo)值遵循正態(tài)分布，具有很好的穩(wěn)定性.

在負(fù)荷L1上施加ω=30，Δp=0.1的隨機擾動時，圖9可以看出系統(tǒng)在支路AC1、支路AC2的暫態(tài)勢能最大，由表2和表3可知系統(tǒng)穩(wěn)定，在支路AC1和AC2處形成割集.

表2 各支路100次SDSI指標(biāo)均值支路SDSI均值G1939.0T11090.8AC1430.7AC2430.7T2667.57

表3 各支路100次SDSI指標(biāo)統(tǒng)計方差支路SDSI方差G13.579x10-8T13.442x10-8AC17.368x10-6AC27.368x10-6T23.568x10-8

當(dāng)隨機擾動其他條件不變，當(dāng)ω=6時，通過支路勢能曲線和SDSI指標(biāo)的計算結(jié)果可以看出系統(tǒng)的臨界割集為{AC1、AC2}.

負(fù)荷功率的隨機波動會影響系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性，而含隨機擾動的電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性受多種因素影響.在單機系統(tǒng)中含有隨機擾動同時疊加短路故障同時發(fā)生導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)時，由表4可知系統(tǒng)的臨界割集仍然不變.在負(fù)荷L1上設(shè)置多次只改變Δp的隨機擾動，臨界割集支路AC1穩(wěn)定與失穩(wěn)時的SDSI指標(biāo)值分布如圖10所示，圖11為三相短路接地故障疊加隨機擾動時的系統(tǒng)支路暫態(tài)勢能曲線.部分臨界割集支路的暫態(tài)勢能如圖12所示.

圖10 ω=6時的支路暫態(tài)勢能曲線圖11 短路疊加隨機擾動時的系統(tǒng)能量圖圖12 SDSI指標(biāo)分布圖13 臨界割集支路在不同擾動下支路暫態(tài)勢能曲線

表4 短路疊加隨機擾動時的各支路指標(biāo)

圖14 十機系統(tǒng)

從圖13中可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定時，支路AC1的SDSI指標(biāo)大于0.因此，當(dāng)ω不變時，隨著Δp增大，臨界割集的支路的暫態(tài)勢能增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度降低.

3.2 十機系統(tǒng)仿真分析

十機系統(tǒng)如圖14所示，本文計算了在支路AC9-39上發(fā)生隨機擾動時的系統(tǒng)的能量分布和SDSI指標(biāo)值，可知系統(tǒng)能量守恒.

在負(fù)荷L3中施加ω=6，Δp=0.15的隨機擾動時，計算系統(tǒng)的能量分布和支路SDSI.由表5可看出，支路2-1和支路8-9對應(yīng)的SDSI指標(biāo)值最小，因此系統(tǒng)的臨界割集為{2-1，8-9}.

圖15 十機系統(tǒng)在隨機擾動下的總能量曲線

圖16 臨界割集支路在不同擾動下的支路暫態(tài)勢能曲線

圖17 短路疊加隨機擾動時的系統(tǒng)能量圖

圖18 系統(tǒng)失穩(wěn)時不同隨機擾動下的SDSI指標(biāo)值

表5 部分支路的SDSI指標(biāo)

在負(fù)荷L3上設(shè)置5次ω恒定只改變Δp的隨機擾動，系統(tǒng)穩(wěn)定時臨界割集支路2-1的支路暫態(tài)勢能曲線如圖16所示.

在負(fù)荷L8中施加ω=14，Δp=0.35的隨機擾動時，計算系統(tǒng)的能量分布和支路SDSI.由表6可看出，支路2-1和支路8-9對應(yīng)的SDSI指標(biāo)值最小，因此系統(tǒng)的臨界割集為{2-1，8-9}.

表6 部分支路的SDSI指標(biāo)

由表6可知，在不同隨機擾動在不同負(fù)荷時的系統(tǒng)臨界割集不變，SDSI指標(biāo)值的性質(zhì)依然適用.系統(tǒng)穩(wěn)定時，臨界割集支路2-1的SDSI指標(biāo)大于0，臨界割集支路的暫態(tài)勢能越大，所對應(yīng)的SDSI指標(biāo)值越小.因此，當(dāng)ω不變，隨著Δp的增加，臨界割集支路的暫態(tài)勢能增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定降低.

表7 部分支路的SDSI指標(biāo)

擾動疊加短路故障時部分支路的SDSI指標(biāo)如表7所示，從中可以看出如果同時疊加大的短路故障，臨界割集不變，穩(wěn)定裕度評估指標(biāo)依然可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性.本文取了50次系統(tǒng)受不同隨機擾動下的SDSI指標(biāo)值.由圖18可看出，系統(tǒng)失穩(wěn)時SDSI指標(biāo)值均趨近于0，系統(tǒng)穩(wěn)定時，指標(biāo)值大于0.本文統(tǒng)計了這50次SDSI指標(biāo)值，如圖19所示，SDSI指標(biāo)值分布在0.88附近，因此可以判斷當(dāng)SDSI指標(biāo)值約等于0.88時系統(tǒng)穩(wěn)定程度最低.

圖19 SDSI指標(biāo)值分布直方圖

4 結(jié) 論

本文從網(wǎng)絡(luò)能量函數(shù)角度分析含隨機擾動的電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定問題，通過隨機Lyapunov穩(wěn)定性方法來對系統(tǒng)隨機穩(wěn)定性展開研究與分析，或基于單機、多機算例來驗證試驗結(jié)果，通過模型仿真了解負(fù)荷隨機性與系統(tǒng)暫態(tài)影響之間的具體關(guān)系.結(jié)論表明，提高隨機擾動的率會對原有結(jié)構(gòu)的電力系統(tǒng)產(chǎn)生不穩(wěn)定的影響.

(1)提出了一種新的隨機電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定分析方案，基于隨機微分函數(shù)的計算構(gòu)建出計及隨機擾動的電力系統(tǒng)模型.此外，通過負(fù)荷功率隨機波動這一特定隨機擾動來研究電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定問題.

(2)受于確定性單機系統(tǒng)經(jīng)典暫態(tài)問題的啟發(fā)，構(gòu)建了含隨機擾動的能量函數(shù).通過設(shè)置調(diào)整預(yù)想事故強相關(guān)的隨機因子進行算例分析.確定了隨機擾動下電力系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定量化評估指標(biāo)，仿真算例結(jié)果表明了算法可行性和指標(biāo)體系的適用性.

(3)算例結(jié)果表明負(fù)荷功率的隨機波動在暫態(tài)過程中對電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的影響不能忽略，當(dāng)隨機擾動較小時，負(fù)荷功率的隨機波動對電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的影響較?。划?dāng)隨機擾動同時疊加大的短路故障時，本文提出的暫態(tài)裕度評估指標(biāo)仍然可以判斷系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定.