于清文，王菲，盧良文，羅忠，姜廣義

（1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，2.航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室：沈陽 110819；3.中國(guó)航發(fā)沈陽發(fā)動(dòng)機(jī)研究所，沈陽 110015）

0 引言

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)、汽輪機(jī)、壓縮機(jī)等大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，轉(zhuǎn)子不對(duì)中故障是最為常見的故障形式之一。所謂轉(zhuǎn)子不對(duì)中通常是指2個(gè)相鄰的、設(shè)計(jì)要求本應(yīng)同軸的轉(zhuǎn)子在實(shí)際運(yùn)行中軸心線出現(xiàn)不同軸。據(jù)國(guó)內(nèi)外相關(guān)資料分析，旋轉(zhuǎn)機(jī)械的振動(dòng)故障約60%以上都是由不對(duì)中引起或與其相關(guān)，而聯(lián)軸器不對(duì)中占多數(shù)[1]。聯(lián)軸器不對(duì)中會(huì)引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而引起設(shè)備振動(dòng)、軸承磨損、軸撓曲變形、轉(zhuǎn)子與定子碰摩等一系列問題，輕者會(huì)影響設(shè)備的正常運(yùn)行，重者會(huì)造成設(shè)備損壞進(jìn)而引起更嚴(yán)重事故[2-4]。因此，研究聯(lián)軸器不對(duì)中轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)問題，掌握不對(duì)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)行為的分析理論與方法，不僅具有重要的理論意義，而且具有十分重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在工程實(shí)際中最有效的研究方法是物理試驗(yàn)，而直接采用原型系統(tǒng)進(jìn)行聯(lián)軸器不對(duì)中故障機(jī)理試驗(yàn)，特別是對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜且尺寸較大的原型系統(tǒng)試驗(yàn)，存在結(jié)構(gòu)復(fù)雜、復(fù)現(xiàn)故障難度大、試驗(yàn)成本高以及試驗(yàn)周期長(zhǎng)等局限性。因此針對(duì)聯(lián)軸器不對(duì)中故障的試驗(yàn)研究，開展其試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膭?dòng)力學(xué)相似研究具有重要意義，即用動(dòng)力學(xué)相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ娃D(zhuǎn)子系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性和聯(lián)軸器不對(duì)中故障特征，進(jìn)而獲得原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性和聯(lián)軸器不對(duì)中故障機(jī)理。

國(guó)內(nèi)外關(guān)于通過動(dòng)力學(xué)相似模型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)再現(xiàn)聯(lián)軸器不對(duì)中故障研究的報(bào)道尚不多見，多為動(dòng)力學(xué)相似轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征預(yù)測(cè)和不對(duì)中故障機(jī)理及試驗(yàn)研究。Young[5]針對(duì)船用發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，推導(dǎo)了動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系，建立了轉(zhuǎn)子葉片的實(shí)體模型和相似模型；Wu[6]建立了完全相似轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，并利用有限元數(shù)值模擬方法對(duì)固有頻率和響應(yīng)相似關(guān)系進(jìn)行了驗(yàn)證；殷杰等[7]采用量綱分析法對(duì)燃?xì)廨啓C(jī)拉桿轉(zhuǎn)子進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)相似研究，推導(dǎo)了畸變補(bǔ)償模型與原型的動(dòng)力學(xué)特性畸變相似準(zhǔn)則；胡培民[8]分析了完全幾何相似轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎曲振動(dòng)響應(yīng)，并研究了支承剛度在轉(zhuǎn)子彎曲振動(dòng)中的相似律；Sudhakar等[9]總結(jié)了聯(lián)軸器不對(duì)中的建模方法，研究了不對(duì)中故障的診斷識(shí)別方法；Patel[10]通過試驗(yàn)研究了不對(duì)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性，指出轉(zhuǎn)子不對(duì)中并不是出現(xiàn)2倍工頻振動(dòng)響應(yīng)的惟一原因；萬召等[11]比較了轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)在考慮聯(lián)軸器不對(duì)中前后的振動(dòng)響應(yīng)和穩(wěn)定性，指出聯(lián)軸器不對(duì)中會(huì)引起2～4倍甚至更高倍頻振動(dòng)。

本文考慮由聯(lián)軸器不對(duì)中引起的附加力，建立帶有聯(lián)軸器不對(duì)中的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程并推導(dǎo)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各參數(shù)的動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系，建立滿足動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系的不完全幾何相似模型，并進(jìn)行數(shù)值仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 動(dòng)力學(xué)模型

轉(zhuǎn)子不對(duì)中主要反映為聯(lián)軸器不對(duì)中，分為平行不對(duì)中、角度不對(duì)中和綜合不對(duì)中3種形式。平行不對(duì)中是指兩半聯(lián)軸器軸心徑向不重合引起的不對(duì)中，角度不對(duì)中是指兩半聯(lián)軸器軸心線不平行引起的不對(duì)中，而綜合不對(duì)中是指平行不對(duì)中和角度不對(duì)中綜合在一起[12-14]。

1.1 不對(duì)中力

1.1.1 由于平行不對(duì)中引起的作用力

由于平行不對(duì)中引起的作用力如圖1所示。o1和o2分別為左右兩半聯(lián)軸器的端面軸心點(diǎn)，不在同一軸線上且存在平行不對(duì)中量Δy[14]，Δl為左右兩半聯(lián)軸器的安裝距離。

圖1 由于平行不對(duì)中引起的作用力

將端面軸心點(diǎn)o1、o2沿軸向投影在同一平面內(nèi)（如圖2所示），o1'、o2'分別為投影點(diǎn)，以o1'o2'為直徑作圓，設(shè)圓心為點(diǎn)o。受平行不對(duì)中影響，聯(lián)軸器的幾何中心N的運(yùn)動(dòng)軌跡可近似看作是以o1'o2'為直徑的圓[14-15]。

圖2 聯(lián)軸器軸心投影

以圓心o為坐標(biāo)原點(diǎn)，以o1'o2'所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系oxy，則幾何中心N的坐標(biāo)可表示為N(xN,yN)，設(shè)o1'N和o1'o2'的夾角為θ，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為ω，則dθ/dt=ω。由幾何關(guān)系可得N點(diǎn)坐標(biāo)分別為

對(duì)xN、yN分別求關(guān)于t的2階導(dǎo)數(shù)，可得

根據(jù)牛頓第2定律，在平行不對(duì)中的情況下聯(lián)軸器的不對(duì)中力可表示為[15]

式中：Fx、Fy分別為轉(zhuǎn)子在x、y方向上受到的分力；mc為聯(lián)軸器質(zhì)量。

1.1.2 由于角度不對(duì)中引起的作用力

由于角度不對(duì)中引起的作用力如圖3所示。當(dāng)轉(zhuǎn)子存在角度不對(duì)中時(shí)，左右兩半聯(lián)軸器存在夾角α。

圖3 由于角度不對(duì)中引起的作用力

左右兩半聯(lián)軸器的運(yùn)動(dòng)中心不重合，聯(lián)軸器在運(yùn)動(dòng)過程中受到角度不對(duì)中影響，轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)發(fā)生擺動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示。

圖4 角度不對(duì)中運(yùn)動(dòng)軌跡

通過幾何關(guān)系推導(dǎo)可得角度不對(duì)中量為Δltan(α/2)，根據(jù)平行不對(duì)中力的推導(dǎo)思路得到角度不對(duì)中產(chǎn)生的不對(duì)中力為

1.1.3 由于綜合不對(duì)中引起的作用力

當(dāng)平行不對(duì)中和角度不對(duì)中同時(shí)存在時(shí)，即為綜合不對(duì)中時(shí)，若2種不對(duì)中故障發(fā)生在同一平面，則不對(duì)中合力為2種不對(duì)中力的代數(shù)和，若不在同一平面內(nèi)，則可通過幾何關(guān)系算出合力。為方便計(jì)算，假設(shè)平行不對(duì)中量與不對(duì)中角在同一平面內(nèi)，則由綜合不對(duì)中引起的作用力可表示為[15]

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

為了便于研究，建立1個(gè)簡(jiǎn)化的不對(duì)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)如圖5所示。從圖中可見，電動(dòng)機(jī)通過左右兩半聯(lián)軸器與帶有1個(gè)轉(zhuǎn)盤的軸聯(lián)接，轉(zhuǎn)軸由2個(gè)滾動(dòng)軸承支承。

圖5 帶不對(duì)中故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

不計(jì)電動(dòng)機(jī)輸出軸的質(zhì)量，設(shè)轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)盤的質(zhì)量為m，阻尼系數(shù)為c，轉(zhuǎn)速為ω，左右兩半聯(lián)軸器質(zhì)量為mc，平行不對(duì)中量為Δy，角度不對(duì)中量為Δltan(α/2)，其振動(dòng)方程可表示為

考慮不平衡力和重力，結(jié)合式（6）可得到動(dòng)力學(xué)方程[2，16]

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；Fe為不平衡力；Fr為不對(duì)中力；G為重力；q、˙、分別為水平豎直方向的響應(yīng)向量、速度向量及加速度向量

2 相似關(guān)系建立

設(shè)計(jì)相似模型時(shí)，首先要獲得動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系，對(duì)于模型和原型2個(gè)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的各參數(shù)都應(yīng)滿足相似關(guān)系，即模型和原型各對(duì)應(yīng)參數(shù)之間都滿足一定比例，把這個(gè)比例習(xí)慣定義為相似因子。原型和模型在選擇相關(guān)參數(shù)時(shí)，材料參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)等建模需要的參數(shù)需按照一定的相似關(guān)系給定，而后通過公式理論推導(dǎo)得到響應(yīng)結(jié)果的相似關(guān)系。參數(shù)選取依據(jù)實(shí)際建模和結(jié)果分析給定，建模所需的必要參數(shù)以及要分析的響應(yīng)參數(shù)等。參數(shù)選取具有主觀性，但不影響適用性。相似因子是確定相似模型設(shè)計(jì)參數(shù)的重要依據(jù)。

不對(duì)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

則原型和模型系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程分別為

式中：下標(biāo)p和m分別表示原型和模型。

設(shè)式（14）、（15）中各參數(shù)相似因子為λε，則

根據(jù)式（16）得到各參數(shù)的相似因子，見表1。

根據(jù)表1結(jié)果，式（14）可表示為

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各主要參數(shù)相似關(guān)系

因?yàn)槭剑?7）與式（14）等價(jià)，可得

式（18）即為模型和原型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系式。

由量綱分析可知

根據(jù)式（8）可得

式中：λx、λy分別為水平和豎直方向的響應(yīng)相似因子。

將式（19）、（20）帶入式（18）并進(jìn)行整理化簡(jiǎn)

根據(jù)文獻(xiàn)[17]可知臨界轉(zhuǎn)速相似因子λω為

帶入式（21）可得

對(duì)于不平衡力Fe、不對(duì)中力Fr和重力G，相似因子滿足各分量式等價(jià)

根據(jù)式（9）、（10）中不平衡力和不對(duì)中力的表達(dá)式，推導(dǎo)出不平衡力和不對(duì)中力相似因子的表達(dá)式分別為

角度不對(duì)中力的不對(duì)中夾角α為三角函數(shù)形式，量綱為1，故λα=1。整理得到方程組

轉(zhuǎn)軸、轉(zhuǎn)盤和聯(lián)軸器采用相同的質(zhì)量縮比關(guān)系，因此有λm=λmc，化簡(jiǎn)式（26）得

按照上述相似因子設(shè)計(jì)模型，通過式（21）推導(dǎo)出原型與模型響應(yīng)的相似因子，由式（18）和式（23）可得

整理得到滿足相似條件的相似關(guān)系

推導(dǎo)出的系統(tǒng)模型與原型各參數(shù)相似因子見表2。

表2 系統(tǒng)模型與原型各參數(shù)相似因子

3 算例

為驗(yàn)證所建立相似關(guān)系的正確性，進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。設(shè)計(jì)1套動(dòng)力學(xué)相似的原型和模型試驗(yàn)系統(tǒng)，模型和原型的材料相同，即λρ=λE=λg=1，且滿足臨 界 轉(zhuǎn) 速 相 似 因 子λω=1，即 由 式（22）知λl=0.707,λd=0.5，根據(jù)式（28）、（29）計(jì)算得到各參數(shù)的相似因子

根據(jù)式（30）提供的各參數(shù)相似因子，計(jì)算得到原型和模型的具體參數(shù)見表3。

表3 原型與模型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)

根據(jù)表3所列原型與模型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)，通過有限元方法建立原型與模型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分別計(jì)算600、1100 r/min 2種轉(zhuǎn)速狀態(tài)下的頻譜和軸心軌跡如圖6、7所示。

圖6 轉(zhuǎn)速為600 r/min的仿真結(jié)果

圖7 轉(zhuǎn)速為1100 r/min的仿真結(jié)果

從圖6、7中可見，模型與原型系統(tǒng)均存在2倍頻，且頻譜和軸心軌跡都滿足λω=1、λx=λy=1的相似關(guān)系，仿真結(jié)果符合設(shè)計(jì)要求，驗(yàn)證了相似設(shè)計(jì)方法是正確的。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不對(duì)中故障在動(dòng)力學(xué)方程中主要表現(xiàn)為存在不對(duì)中力，因此，所提出不對(duì)中故障復(fù)現(xiàn)相似設(shè)計(jì)方法，其主要內(nèi)容在于模型系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)和載荷參數(shù)的動(dòng)力學(xué)相似設(shè)計(jì)。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出相似設(shè)計(jì)方法的實(shí)用性和有效性，進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。基于動(dòng)力學(xué)相似設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)2套試驗(yàn)系統(tǒng)分別如圖8所示。2個(gè)試驗(yàn)臺(tái)的1階固有頻率設(shè)計(jì)值為36 Hz，設(shè)一套為原型，另一套為模型。試驗(yàn)過程中首先進(jìn)行試轉(zhuǎn)，通過調(diào)頻器將電機(jī)轉(zhuǎn)速調(diào)至1500 r/min后緩慢降為零，然后再正式開展試驗(yàn)。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速達(dá)到目標(biāo)轉(zhuǎn)速后穩(wěn)定1 min之后再進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。

圖8 轉(zhuǎn)子試驗(yàn)系統(tǒng)

試驗(yàn)臺(tái)基本參數(shù)見表4。

表4 原型和模型試驗(yàn)臺(tái)參數(shù)

通過墊高軸承底座模擬聯(lián)軸器不對(duì)中，由于不對(duì)中量和安裝距離的相似因子λΔy=λΔl=1，故2個(gè)試驗(yàn)臺(tái)的墊高比例相同。使用電渦流位移傳感器分別測(cè)試轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的水平和豎直方向位移，測(cè)點(diǎn)布置于聯(lián)軸器與轉(zhuǎn)盤之間的轉(zhuǎn)軸上，原型系統(tǒng)測(cè)點(diǎn)在距離轉(zhuǎn)盤左側(cè)100 mm處，模型系統(tǒng)測(cè)點(diǎn)在距離轉(zhuǎn)盤左側(cè)77 mm處。分別對(duì)比600、1100 r/min 2種轉(zhuǎn)速下的軸心軌跡和頻譜響應(yīng)，如圖9、10所示。

圖9 轉(zhuǎn)速為600 r/min的軸心軌跡和頻譜響應(yīng)

圖10 轉(zhuǎn)速為1100 r/min的軸心軌跡和頻譜響應(yīng)

從圖9、10中可見，模型與原型系統(tǒng)均存在2倍頻，模型與原型系統(tǒng)的軸心軌跡保持較高的相似度。且頻譜滿足λω=1的相似關(guān)系，驗(yàn)證了相似設(shè)計(jì)方法的實(shí)用性和有效性。在實(shí)際應(yīng)用中，首先選定相似模型結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)的縮比，然后在此基礎(chǔ)上，基于動(dòng)力學(xué)方程和相似理論，開展模型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，以及材料參數(shù)、載荷參數(shù)和邊界條件參數(shù)的相似關(guān)系確定。從圖9、10還可見，2個(gè)試驗(yàn)臺(tái)的頻譜與軸心軌跡均存在較好的一致性，但由于試驗(yàn)臺(tái)加工誤差、裝配誤差等原因，動(dòng)力學(xué)特性很難保證完全一致，因此，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)需要對(duì)動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系進(jìn)行修正。

5 結(jié)論

（1）采用方程分析法和量綱分析法相結(jié)合，對(duì)聯(lián)軸器不對(duì)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)相似分析，建立了聯(lián)軸器不對(duì)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系。

（2）利用所建立的動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系，利用模型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)結(jié)果預(yù)測(cè)了原型聯(lián)軸器不對(duì)中故障，研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)聯(lián)軸器不對(duì)中的故障機(jī)理。

通過試驗(yàn)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，研制動(dòng)力學(xué)相似模型試驗(yàn)臺(tái)時(shí)，由于系統(tǒng)剛度與阻尼等一些復(fù)雜參數(shù)無法完全與理論設(shè)計(jì)值保持一致，還容易受到支承剛度等因素的影響，因此，實(shí)測(cè)位移響應(yīng)會(huì)隨著轉(zhuǎn)速的提高與理論值出現(xiàn)偏差。所以在設(shè)計(jì)較復(fù)雜的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型試驗(yàn)臺(tái)時(shí)，需要進(jìn)一步分析響應(yīng)的影響因素及其靈敏度，并對(duì)響應(yīng)相似因子進(jìn)行修正。