◎曾春燕 （廣東茂名幼兒師范?？茖W(xué)校理學(xué)院，廣東 茂名 525200）

一、挖掘蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，落實(shí)‘四基’，培養(yǎng)‘四能’，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展．”這里面強(qiáng)調(diào)的“四基”就包括數(shù)學(xué)的基本思想方法．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一．學(xué)生只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想方法，才能有效地應(yīng)用知識(shí)，形成能力，養(yǎng)成思考問題的習(xí)慣．

數(shù)學(xué)發(fā)展的過程就是從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問題，探究解決問題的思想方法，從而提煉、概括、抽象出數(shù)學(xué)概念、定理、法則等．高中數(shù)學(xué)課本呈現(xiàn)的是以概念、定理、法則、公式等為元素的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系．教師在教學(xué)過程中不應(yīng)只重視知識(shí)的講解與傳授，還應(yīng)有重建思想方法的過程，展示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，讓學(xué)生能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想方法的意義和作用．

我們本著這樣的理念來重新設(shè)計(jì)“正余弦定理”的教學(xué)，深入挖掘這節(jié)課蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，從而發(fā)現(xiàn)這節(jié)課包含了特殊到一般、數(shù)形結(jié)合以及化歸的思想方法．具體設(shè)計(jì)思路如圖1：

圖1

二、重建數(shù)學(xué)思想的教學(xué)過程

（一）知識(shí)到方法，提供思想方法模型

數(shù)學(xué)的新知識(shí)產(chǎn)生的方式有兩種．一種是以實(shí)際為起點(diǎn)．另一種是以已有的數(shù)學(xué)為起點(diǎn)，即由已有的數(shù)學(xué)理論推理出新的數(shù)學(xué)理論．前者運(yùn)用的是歸納法，后者運(yùn)用的是邏輯推理．

1．?dāng)?shù)學(xué)的產(chǎn)生

教師提問：數(shù)學(xué)的新知識(shí)怎么來？

隨后教師給學(xué)生介紹數(shù)學(xué)新知識(shí)的來源：

（1）產(chǎn)生于實(shí)際，即以實(shí)際例子為起點(diǎn)，通過歸納得出相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)；

（2）產(chǎn)生于已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，即通過用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)推理出新的數(shù)學(xué)知識(shí)．

第二種方式是高中生要掌握的主要方式．

2．推理的方法

用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)推理出新的數(shù)學(xué)知識(shí)，推理的方法主要有：

（1）特殊與一般；

（2）代數(shù)變形；

（3）化歸思想．

（設(shè)計(jì)意圖：一般地，當(dāng)人們明確了學(xué)習(xí)某一知識(shí)的目的性和必要性以后，學(xué)習(xí)這一知識(shí)的熱情必將得到極大的提高．然而，如何探究一般三角形中邊角關(guān)系？ 學(xué)生大多缺乏明確的思想認(rèn)識(shí)和有效的思維方法．教師向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)思維的方法，有利于激發(fā)學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)的欲望．）

（二）公式到問題，指引新知產(chǎn)生路徑

三角形的邊角關(guān)系是三角形中最重要的關(guān)系之一，而余弦定理和正弦定理是刻畫三角形邊角關(guān)系最為重要的兩個(gè)定理，它們?yōu)榻馊切翁峁┝嘶径匾墓ぞ撸疄榱烁玫伢w現(xiàn)向量的價(jià)值，教科書用向量方法推導(dǎo)了余弦定理和正弦定理，但是這樣容易掩蓋數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過程性．為了讓學(xué)生更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過程與數(shù)學(xué)思想方法的聯(lián)系，教師可以利用已經(jīng)學(xué)生學(xué)習(xí)過的勾股定理引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考．具體設(shè)計(jì)如下：

1．回憶勾股定理

引導(dǎo)學(xué)生回憶勾股定理：在直角三角形ABC中，有a2＋b2＝c2．教師要引導(dǎo)學(xué)生明確這個(gè)公式成立的前提是在直角三角形中．

2．指引可思考的方向

教師提問：對(duì)這個(gè)結(jié)論，你有什么想法？

教師引導(dǎo)學(xué)生思考，概括出幾個(gè)思考的方向：

（1）這個(gè)公式是對(duì)直角三角形來說的，那么對(duì)于一般的三角形，三邊有什么關(guān)系？

（2）平方變成立方，有什么成立？

（3）滿足a2＋b2＝c2的數(shù)有哪些？

（4）能否推廣a2＋b2＋c2＝d2？ 甚至推廣到：四個(gè)以上數(shù)的平方和是一個(gè)完全平方數(shù)？

（設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生熟悉的勾股定理，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行更加深層次的思考，從而拓展學(xué)生的思維，豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)，同時(shí)為新的數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生做鋪墊．）

（二）特殊到一般，發(fā)現(xiàn)余弦定理的部分內(nèi)容

上面思考的四個(gè)方向中的（1）是從特殊到一般的方法．學(xué)生在理解勾股定理反映的是直角三角形三邊的關(guān)系后，提出一般三角形的三邊具有的關(guān)系．

1．分類討論

問題1：在銳角三角形ABC（如圖2）中，三邊有什么樣的關(guān)系？

圖2

分析：可以考慮將其化歸為直角三角形．因此可作高BD．

解過頂點(diǎn)B作邊AC上的高BD交于AC于D．于是有：

c2＝h2＋AD2

＝h2＋（b-CD）2

＝h2＋b2-2b·CD＋CD2

＝（h2＋CD2）＋b2-2b·CD

＝a2＋b2-2b·CD

＝a2＋b2-2ab·cosC

問題2：在鈍角三角形ABC中，三邊有什么樣的關(guān)系？

（證明與問題1 相同，故省略．）

2．余弦定理

結(jié)合上面的證明，我們得到余弦定理：在三角形ABC中，c2＝a2＋b2-2ab·cosC．由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．

3．拓展思考

教師提問：在三棱錐里，棱長之間有什么關(guān)系？ （課外完成）

（設(shè)計(jì)意圖：使用“斜三角形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形”這種從一般向特殊、由未知向已知轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．）

（三）舉一到反三，完善余弦定理的全部公式

代數(shù)變形是利用代數(shù)知識(shí)實(shí)施形變而質(zhì)不變的一種變形，即將一個(gè)問題等價(jià)地變換為另一個(gè)問題，由一種形式轉(zhuǎn)換為實(shí)質(zhì)等價(jià)的另一種形式．余弦定理是由若干條公式組成的．通過上面的環(huán)節(jié)，我們得到了“在三角形ABC中，c2＝a2＋b2-2ab·cosC”，那么如何得到其他的公式呢？ 此時(shí)我們可以使用類比和代數(shù)變形來實(shí)現(xiàn)．具體如下：

1．類比寫式子

教師提問：類似c2＝a2＋b2-2ab·cosC的式子可以寫多少個(gè)？ 請(qǐng)通過結(jié)合圖形觀察c2＝a2＋b2-2ab·cosC的規(guī)律，嘗試寫出．

總結(jié)：

在三角形ABC中：（1）c2＝a2＋b2-2ab·cosC；

（2）a2＝b2＋c2-2bc·cosA；

（3）b2＝a2＋c2-2ac·cosB．

上面這個(gè)式子體現(xiàn)了余弦定理中的邊a，b，c可以進(jìn)行輪換，即可以從余弦定理的一個(gè)式子得到其余的兩個(gè)式子．因?yàn)橛嘞叶ɡ碇械倪吘哂锌奢啌Q的特點(diǎn)，所以余弦定理可以用概括性的文字語言統(tǒng)一敘述，即教科書中給出的文字?jǐn)⑹觯虒W(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生自行用文字語言敘述余弦定理，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力．

2．代數(shù)變形

余弦定理的推論指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，并且每一個(gè)等式中都含有四個(gè)不同的量，即三角形的三條邊和一個(gè)角．不難看出，若已知其中的三個(gè)量，我們就可以求出第四個(gè)量．用三角形的三條邊表示角的余弦，即可獲得余弦定理的推論，有時(shí)也說成是余弦定理的第二種形式：

教師提問：已知三角形的三邊，能否算出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)？ 這時(shí)我們應(yīng)該思考的是在某種情況下三角形哪些要素能算，哪些要素不能算．

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過類比猜想得出余弦定理的另外兩條公式，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力．對(duì)余弦定理運(yùn)用代數(shù)變形，有助于加深學(xué)生對(duì)余弦定理的理解．）

（四）特殊到一般，發(fā)現(xiàn)特殊情況下的正弦定理

教師提問：既然有余弦定理，會(huì)不會(huì)也有正弦定理？

直角三角形ABC中，有：

回顧：

剛才我們得出余弦定理時(shí)用到了的思想方法：（1）從特殊到一般的方法；（2）代數(shù)變形．

思考：①式對(duì)一般的三角形成立嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)學(xué)生熟悉的正弦函數(shù)的定義進(jìn)行代數(shù)變形，“從特殊到一般”提出正弦定理的普遍性，有利于訓(xùn)練學(xué)生從特殊情況提出一般性結(jié)論的思維能力．）

（五）化歸與推理，探究一般情況下的正弦定理

分析：可以考慮將其化歸為直角三角形．因此可作高BD（如圖3）．

圖3

解過頂點(diǎn)B作邊AC上的高BD交于AC于D．于是有：

教師提問：我們要得到的是①式，此時(shí)你們有什么想法？ （代數(shù)變形）

教師提問：如果我們說，對(duì)于一般的三角形，有②式成立，對(duì)不對(duì)？ 你們對(duì)此有什么想法？

（設(shè)計(jì)意圖：再次使用“斜三角形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形”這種從一般向特殊、由未知向已知轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來解決問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．通過引導(dǎo)學(xué)生思考為什么要把②式倒過來變成①式，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)公式的嚴(yán)謹(jǐn)性和美觀性．）

（六）探幽與入微，深化理解正弦定理

分析：

由②式想到：（1）比值不變；（2）已知A與a，比值就定下來了．

①角A定，邊a變，但比值不變．

此時(shí)，a邊的長度不變，但是a邊的位置是可以無法確定的（如圖4），觀察a邊的軌跡是不規(guī)則的．

圖4

②邊a定，角A變，但比值不變．

a邊所對(duì)的角A大小是不變的，但是位置可變，根據(jù)圖形的分析，我們可以由同弧所對(duì)的圓周角相等想到角A的軌跡是a邊為弦的圓．

找一種特殊的情況，角A的一邊過圓心（如圖5、圖6）．

圖5

圖6

因此，要將②式倒過來寫：

這道題我們用到了：代數(shù)變形和數(shù)形結(jié)合的方法．

正弦定理，常用可寫成：

a＝2RsinA；

b＝2RsinB；

c＝2RsinC．

教師提問：從中你能發(fā)現(xiàn)什么？

推論：在△ABC中，A＞B?a＞b．

簡證：A＞B?sinA＞sinB?2RsinA＞2RsinB?a＞b．

（設(shè)計(jì)意圖：通過分析角A與邊a的幾何關(guān)系得出正弦定理中的定值的幾何意義，學(xué)生體會(huì)到代數(shù)與幾何的密切聯(lián)系．學(xué)生在分析討論中再次體會(huì)到代數(shù)變形和數(shù)形結(jié)合的方法的重要性．）

（七）構(gòu)造與創(chuàng)新，用向量的方法推導(dǎo)正弦定理

教師提問：你還有其他方法推導(dǎo)正弦定理嗎？ （向量法）

解作AB的法向量i（如圖7），

圖7

因此有bsinA＝asinB，即

（設(shè)計(jì)意圖：用向量的方法推導(dǎo)正弦定理，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)是相互聯(lián)系的．）

（八）應(yīng)用與轉(zhuǎn)化，用正余弦定理解決實(shí)際問題

實(shí)際問題：某林場為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，設(shè)立了兩個(gè)觀測點(diǎn)A和B．某日兩個(gè)觀測點(diǎn)的林場人員都觀測到C處出現(xiàn)火情．在A處觀測到的火情發(fā)生在北偏西40°方向，而在B處觀測到火情在北偏西60°方向．已知B在A的正東方向10 km處，要確定火場C分別距A及B多遠(yuǎn)．

圖8

數(shù)學(xué)問題：如圖，在△ABC中，已知 ∠CAB＝ 130°，∠CBA＝30°，AB＝10 km．求AC與BC的長．（結(jié)果精確到0．1 km）

（設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．利用正弦定理解決課前的引例，體現(xiàn)了正弦定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，進(jìn)一步反映了學(xué)習(xí)正弦定理的必要性．）

三、總結(jié)

挖掘教學(xué)內(nèi)容中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的過程性教學(xué)，將引導(dǎo)學(xué)生由“雙基”走向“四基”，由“兩能”走向“四能”，彰顯數(shù)學(xué)的特質(zhì)和意味，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展．