李順勇，張睿軒，張佳璇，趙冠婕

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

一、引言

近年來，數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展規(guī)模不斷擴大，很大程度上促進了我國整體經(jīng)濟規(guī)模穩(wěn)步向前。2016 年在杭州召開的G20 峰會重新定義數(shù)字經(jīng)濟[1]：以使用數(shù)字化的知識和信息作為關(guān)鍵生產(chǎn)要素、以現(xiàn)代信息網(wǎng)絡(luò)作為重要載體、以信息通訊技術(shù)的有效使用作為效率提升和經(jīng)濟結(jié)構(gòu)優(yōu)化的重要推動力的一系列經(jīng)濟活動?，F(xiàn)今中國經(jīng)濟正處于高質(zhì)量發(fā)展階段，并逐步向數(shù)字強國邁進[2-3]。加快合理評價數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展的步伐，提高我國各省份數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平迫在眉睫。

徐小凡（2021）[4]通過對比國內(nèi)外不同研究方法之間的共性與差異，總結(jié)出兩種基于數(shù)字經(jīng)濟測算角度的統(tǒng)計口徑和測算方法。張媛媛和周春應(yīng)（2021）[5]使用熵權(quán)法建立評價體系，研究長三角等三大都市圈的數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展?fàn)顩r。高露靜和姚正海（2021）[6]主要從數(shù)字基礎(chǔ)設(shè)施、數(shù)字創(chuàng)新能力、數(shù)字產(chǎn)業(yè)化三個維度運用熵權(quán)法研究華東地區(qū)2013—2018 年的數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展?fàn)顩r。李英杰和韓平（2022）[7]基于熵值法測度了中國2010—2018 年數(shù)字經(jīng)濟水平發(fā)展趨勢，并建立灰色預(yù)測模型對2019—2028 年的數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展走向進行預(yù)測。盛斌和劉宇英（2022）[8]研究了數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展指數(shù)的測度與空間分異特征之間的關(guān)系，認為不同空間的數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平不均衡，且省域差異逐年減小。王娟娟和佘干軍（2021）[9]在對數(shù)字經(jīng)濟的研究中，創(chuàng)造性地引入地區(qū)發(fā)展新指標(biāo)，評估各地區(qū)差異化發(fā)展?fàn)顩r，將我國區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展水平劃分為三大梯度。

本文在建立數(shù)字經(jīng)濟測度體系的基礎(chǔ)上，采用熵權(quán)法、層次聚類、灰色馬爾可夫模型等方法深入研究我國各省市數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平的差異，對完善、延申數(shù)字經(jīng)濟理論知識和制定地方性政策具有現(xiàn)實意義。

二、模型原理介紹

（一）熵權(quán)法

信息熵[10]表示特征包含信息量的期望，用于衡量信息量大小。表達式如下：

式（1）中，U 表示所有可能事件的集合，pi為事件Ui發(fā)生的概率。

信息熵越小，表示指標(biāo)包含的信息量越大，熵權(quán)法賦予該指標(biāo)的權(quán)重則越大[11]。

熵權(quán)法[12]步驟如下：

（1）確定指標(biāo)體系：設(shè)原始數(shù)據(jù)的第i 個特征為xi，第i 個指標(biāo)的第j 個值為xij（1≤i≤n，1≤j ≤m）；

（2）數(shù)據(jù)歸一化公式如下：

（3）計算第i 個指標(biāo)第j 個值的比重：

（4）計算第i 個指標(biāo)的信息熵：

（5）計算第i 個指標(biāo)的權(quán)重：

（6）根據(jù)指標(biāo)權(quán)重計算樣本評分：

熵權(quán)法能夠根據(jù)各指標(biāo)的區(qū)分能力確定權(quán)重，具有較高的合理性和可信度[13]。

（二）層次聚類

層次聚類[14]利用樹形結(jié)構(gòu)反映聚類結(jié)果，常采用歐氏距離計算兩樣本點之間的距離，平均值距離計算類間距離，用dij表示第i 個樣品與第j 個樣品之間的距離，dmean（ci，cj）表示簇間距離，公式如下：

其中，mi、mj分別表示兩簇的中心點。

（三）灰色馬爾可夫模型預(yù)測

灰色預(yù)測[15]是對灰色系統(tǒng)所作的預(yù)測，可以有效處理小樣本、信息不確定的預(yù)測問題，被廣泛應(yīng)用在股票價格、電力負荷預(yù)測等領(lǐng)域?；疑R爾可夫模型[16]引入馬爾可夫鏈預(yù)測修正殘差，利用其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣二次擬合，提高模型預(yù)測精度?；疑R爾科夫模型的步驟如下：

首先，建立GM（1，1）灰色模型：

1.可行性分析

定義級比σ（k）:

原始序列X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），級比滿足：

則序列X（0）可作GM（1，1）建模。

2.數(shù)據(jù)變換

若序列未通過級比檢驗，則需要利用對數(shù)變換、平移變換等方法對序列進行處理。

3.模型預(yù)測

模型預(yù)測表達式為：

4.模型檢驗

本文主要采用預(yù)測精度等級對照的方法進行精度檢驗，等級對照表如表1 所示。

表1 預(yù)測精度等級對照表

5.建立灰色馬爾可夫模型

（1）劃分馬爾可夫狀態(tài)區(qū)間

其中，[a1i，a2i]為狀態(tài)Ei的區(qū)間。

（2）計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

式（14）中pij=pij（k）=，ni（k）表示k 時刻狀態(tài)i 發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移的總次數(shù)，nij（k）表示k 時刻狀態(tài)i 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j 的總次數(shù)。

（3）求解預(yù)測模型

當(dāng)預(yù)測值高于實際值時取負，反之取正。

（4）模型修正與精度檢驗

灰色馬爾可夫模型根據(jù)模型殘差，計算平均殘差對模型預(yù)測值進行修正，提高模型的擬合精度，再進行灰色模型的精度檢驗。

三、數(shù)字經(jīng)濟評價指標(biāo)體系構(gòu)建

（一）指標(biāo)體系構(gòu)建

本文綜合考慮現(xiàn)有數(shù)字經(jīng)濟評價指標(biāo)體系，遵循科學(xué)性和簡明性原則，從數(shù)字終端設(shè)施、網(wǎng)絡(luò)資源、數(shù)字產(chǎn)業(yè)規(guī)模、技術(shù)創(chuàng)新投入、數(shù)字經(jīng)濟可持續(xù)發(fā)展、數(shù)字金融發(fā)展水平6 個維度選取22 個評價指標(biāo)構(gòu)建數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平評價體系[17-18]，評價指標(biāo)如下：

（二）數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)主要來自《中國統(tǒng)計年鑒》《中國信息產(chǎn)業(yè)年鑒》《中國數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展白皮書（2020）》等?？紤]到新疆和西藏兩地區(qū)數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平有待提高，且部分指標(biāo)數(shù)據(jù)不完整，本文選擇其余29 個省、自治區(qū)、直轄市2013—2020 年的各項指標(biāo)數(shù)據(jù)進行分析。

（三）數(shù)據(jù)預(yù)處理-數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

圖1 為部分評價指標(biāo)數(shù)據(jù)的箱線圖，可以發(fā)現(xiàn)各指標(biāo)間存在量綱差異，應(yīng)首先對指標(biāo)數(shù)據(jù)進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，標(biāo)準(zhǔn)化后的箱線圖如圖2 所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)化前4 個評價指標(biāo)的箱線圖

圖2 標(biāo)準(zhǔn)化后4 個指標(biāo)的箱線圖

（四）確定各指標(biāo)權(quán)重-熵權(quán)法

在數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的基礎(chǔ)上，利用熵權(quán)法對構(gòu)建數(shù)字經(jīng)濟評價體系中的評價指標(biāo)賦予權(quán)重。由于熵權(quán)法確定的權(quán)重對樣本具有依賴性，會隨著樣本的變化而波動。故本文用熵權(quán)法對2013—2020 年的評價指標(biāo)賦權(quán)，每個指標(biāo)得到8 個權(quán)重，將所得權(quán)重取平均作為該評價指標(biāo)最終的權(quán)重，結(jié)果如表3 所示。

表3 各評價指標(biāo)熵權(quán)法結(jié)果及最終權(quán)重

根據(jù)權(quán)重計算29 個地區(qū)數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平評分，計算公式如下：

式（16）中，xij表示第i 個指標(biāo)在第j 個地區(qū)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，wi表示第i 個指標(biāo)的權(quán)重值。上述29 個省、自治區(qū)、直轄市2013—2020 年數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平的評分取值如表4 所示。

表4 2013—2020 年各地區(qū)數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平評分

（五）數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平分析

1.數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平總體分析。首先，對全國29 個地區(qū)的總體數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平進行分析，數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平隨時間的變化趨勢如圖3 所示。

圖3 2013—2020 年各省份數(shù)字技術(shù)層發(fā)展評價值變化趨勢

廣東、浙江、江蘇、北京、山東、上海數(shù)字經(jīng)濟優(yōu)勢明顯，與其他省份地區(qū)有較大的差距。華東地區(qū)整體發(fā)展較好，華北華中處于中間位置，西北、東北、海南、內(nèi)蒙古數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展始終處于末位。

2.數(shù)字經(jīng)濟水平省域差異分析。根據(jù)上述2013—2020 年各地區(qū)數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平評分，對29 個地區(qū)的數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平進行聚類分析，以便進一步分析全國各地的數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平的異同點。本文采用層次聚類分析的方法，29 個地區(qū)的數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平聚類結(jié)果如圖4 所示。

圖4 層次聚類分析結(jié)果

由圖4 可以看出，根據(jù)數(shù)據(jù)經(jīng)濟發(fā)展水平，可以將上述29 個省、自治區(qū)、直轄市分為不同類別。

山東、上海、浙江、北京、廣東、江蘇六地區(qū)數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平較高，發(fā)展態(tài)勢穩(wěn)定，這主要得益于政策引導(dǎo)、地理優(yōu)勢以及人才引進。以山東省、北京市例，山東省[19]將數(shù)字經(jīng)濟與實體經(jīng)濟融合發(fā)展，具有大規(guī)模的高技術(shù)產(chǎn)業(yè)，聚集大量科研人才；北京市[20]不斷完善人工智能和區(qū)塊鏈等產(chǎn)業(yè)體系，推進數(shù)字化轉(zhuǎn)型發(fā)展。

四川、山西等23 個地區(qū)為數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平相對較低的地區(qū)。這些地區(qū)需要進一步夯實數(shù)字基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，可以借鑒長三角城市群和一線城市數(shù)字經(jīng)濟的發(fā)展路徑和經(jīng)驗，結(jié)合自身特色，借助數(shù)字經(jīng)濟改變地區(qū)生產(chǎn)和消費方式。

四、灰色馬爾可夫預(yù)測

根據(jù)2013—2020 年各地區(qū)的數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平評分，建立灰色馬爾可夫模型測度2021 年評分。

首先對各項指標(biāo)數(shù)據(jù)進行級比檢驗。樣本量n=8，級比σ 的允許取值范圍為σ（k）?（0.801，1.249）。經(jīng)過計算，各地區(qū)2013—2020 年數(shù)字經(jīng)濟評分序列基本都無法通過級比檢驗，因此需要平移變換，即：

結(jié)合原始數(shù)據(jù)情況，a 取1 時各地區(qū)的數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平評分序列均可通過級比檢驗，可以建立GM（1，1）模型。

利用GM（1，1）模型預(yù)測各地區(qū)2021 年數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平評分，MSE 為0.002 6。經(jīng)過檢驗發(fā)現(xiàn)，部分地區(qū)的灰色模型不能通過精度檢驗，因此引入馬爾可夫模型，利用其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣二次擬合，重新測度2021 年數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平評分，結(jié)果如表5 所示，灰色馬爾可夫模型相應(yīng)的MSE 為0.000 09。相較于灰色模型，灰色馬爾可夫模型有更好的預(yù)測表現(xiàn)。

表5 2021 年各地區(qū)數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平評分預(yù)測結(jié)果

以山東省為例，對比灰色預(yù)測值、灰色馬爾可夫預(yù)測值與真實值之間的差異，預(yù)測折線圖如圖5、圖6 所示，具體情況如表6 所示。

圖5 灰色模型GM（1，1）預(yù)測

圖6 灰色馬爾可夫預(yù)測

表6 山東省數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平評分真實值與預(yù)測值

對比圖5 和圖6 發(fā)現(xiàn)，灰色馬爾可夫模型擬合精度明顯高于灰色模型。通過計算可知，灰色模型的均方誤差值為0.000 09，灰色馬爾可夫模型的均方誤差值為0.000 01，再次證明灰色馬爾可夫模型的預(yù)測優(yōu)勢。

五、結(jié)語

（一）總結(jié)

本文通過熵權(quán)法、層次聚類、灰色馬爾可夫模型定量分析29 個地區(qū)的數(shù)字經(jīng)濟水平，主要得到以下結(jié)論：

1.不同地區(qū)的發(fā)展水平存在較大的差異，同一地區(qū)的數(shù)字經(jīng)濟年增長速率也有顯著變化。以2020年為例，廣東省的數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展程度最高，利用熵權(quán)法得到的數(shù)字經(jīng)濟評分達到0.744，而寧夏地區(qū)的數(shù)字經(jīng)濟得分僅有0.013。以山西省為例，山西省2016—2017 年數(shù)字經(jīng)濟水平增長27.55%，2017—2018 年、2018—2019 年分別降低8.8%、22.8%，2019—2020 年數(shù)字經(jīng)濟快速增長，發(fā)展指標(biāo)增長37.5%。

2.通過時序差異演化分析和聚類算法可以發(fā)現(xiàn)，2013—2020 年全國數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平總體呈現(xiàn)先上升后下降的趨勢，數(shù)字經(jīng)濟水平發(fā)展第一梯隊：廣東、江蘇、浙江、北京、上海、山東，發(fā)展較好，發(fā)展態(tài)勢穩(wěn)定。相比較而言，四川、湖北、山西等23 個地區(qū)數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展緩慢。

3.本文采用灰色馬爾可夫模型預(yù)測各地區(qū)數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展水平，可以有效把握各地區(qū)數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展方向，為上述29 個省市自治區(qū)推動數(shù)字經(jīng)濟發(fā)展提供決策依據(jù)，豐富定量評價數(shù)字經(jīng)濟的方法和內(nèi)容。

（二）展望

本文所引入的指標(biāo)同時包含線性和非線性數(shù)據(jù)，后續(xù)研究中可以嘗試構(gòu)建灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，結(jié)合灰色模型預(yù)測小樣本的優(yōu)勢以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理非線性數(shù)據(jù)能力強的優(yōu)點，提高預(yù)測精度。