曹科才 丁冬女 樊亞平

(1.南通大學 南通 226019；2. 南京工程學院 南京 211167；3.蘭州大學 蘭州 730000)

0 引 言

人民網(wǎng)輿情監(jiān)測室在《2018年中國互聯(lián)網(wǎng)輿情分析報告》中指出社會輿論的表達方式已經(jīng)覆蓋全媒體平臺，其中“報網(wǎng)端媒”逐漸成為新媒體矩陣的標配，而這同時也意味著對于網(wǎng)絡輿情的預警管控正面臨著前所未有的挑戰(zhàn)。

輿情是“輿論情況”的簡稱[1]，是指在一定的社會空間內(nèi)圍繞社會事件的發(fā)生、發(fā)展和變化，作為主體的民眾對社會中各種現(xiàn)象、問題所表達的信念、態(tài)度、意見和情緒等外部表現(xiàn)的總和。隨著網(wǎng)絡的普及，人們獲取信息、發(fā)布信息以及交流觀點變得越來越容易，現(xiàn)實生活中的一件小事有可能在網(wǎng)絡上產(chǎn)生較大的影響力，直接影響人們的生產(chǎn)以及生活，甚至同整個社會的穩(wěn)定緊密聯(lián)系在一起。如何準確及時的掌握輿論情況的動態(tài)演化，分析輿情未來的走向趨勢，不僅具有重要的科學意義而且有助于各級政府部門制定科學合理的輿情引導管控方案，進一步營造健康和諧的網(wǎng)絡輿情生態(tài)環(huán)境。

輿情傳播速度快、輿情內(nèi)容多元化、輿情傳播主體特殊、輿情傳播途徑多樣等特點為現(xiàn)今網(wǎng)絡輿情的研究帶來前所未有的挑戰(zhàn)。國內(nèi)外學者的研究工作總體上可以分為無模型的網(wǎng)絡輿情研究與基于模型的輿情分析研究兩個方面。無模型的網(wǎng)絡輿情研究主要從新聞與傳媒、社會學、行政管理等角度，借助于數(shù)據(jù)分析與數(shù)據(jù)處理技術(shù)(如時間序列、神經(jīng)網(wǎng)絡[2]、支持向量機[3]等)，基于獲取的輿情信息以及對輿情數(shù)據(jù)的整理、分類與存儲等工作，實現(xiàn)對網(wǎng)絡輿情概念界定、網(wǎng)絡輿情現(xiàn)象的解釋，較少涉及整個網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)演化規(guī)律與演化機理的研究。文獻[4]通過對網(wǎng)絡輿情的監(jiān)測與分析，提出了大數(shù)據(jù)時代網(wǎng)絡輿情監(jiān)測與分析研究中面臨的一些問題; 文獻[5]分析了大數(shù)據(jù)技術(shù)對于推進網(wǎng)絡輿情研究的貢獻，并討論了大數(shù)據(jù)時代網(wǎng)絡輿情研究可能的突破點；文獻[6]以高校輿情為例，提出基于大數(shù)據(jù)技術(shù)的輿情管理策略。上述對于網(wǎng)絡輿情的定性研究，由于缺乏輿情演化機理方面的研究，因而較難以準確刻畫輿情未來走向與演化趨勢。

不同于上述無模型的定性研究，近年來國內(nèi)外學者從系統(tǒng)科學與工程的觀點入手，將網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)看作一個動力系統(tǒng)，利用不同的動力學建模方法試圖進一步挖掘輿情系統(tǒng)內(nèi)部演化機理，以便更好的掌握網(wǎng)絡輿情演化規(guī)律，同時為輿情趨勢預測以及后期的輿情管控提供支撐。文獻[7, 8]以輿情信息量為變量，以微分方程為工具通過構(gòu)造合適的數(shù)學模型分析網(wǎng)絡輿情主體間的交互形式和變化規(guī)律，并借助仿真軟件實現(xiàn)了輿情定量描述基礎(chǔ)上輿情趨勢分析與預測。其中文獻[7]以大數(shù)據(jù)背景下網(wǎng)絡輿情熱度問題為對象，通過構(gòu)建合適的網(wǎng)絡輿情熱度模型，實現(xiàn)網(wǎng)絡輿情熱度的定量刻畫與趨勢預測，為輿情引導政策的制定提供了較好的參考；文獻[8]借助于Logistic數(shù)學模型，分別從多維建模、輿情主體交互機理、輿情演化機理等角度對網(wǎng)絡輿情進行了數(shù)學建模與演化趨勢的分析預測，為網(wǎng)絡輿情的定量研究提供了很好的研究思路。除此之外，為了深入分析輿情主體的內(nèi)在屬性以輿情主體間互動關(guān)系對于輿情演化的影響，廣大學者又分別從微觀角度與宏觀角度入手提出了元胞自動機模型[9]、傳染病模型[10]以及復雜網(wǎng)絡模型[1, 11, 12](小世界網(wǎng)絡模、無標度網(wǎng)絡模型、意見領(lǐng)袖模型)等進一步深化輿情系統(tǒng)的相關(guān)研究。但是由于不同尺度上建模研究方法側(cè)重點的不同，使得其在輿情主體內(nèi)在屬性以及輿情主體間互動能力的刻畫有所差別，如微觀尺度上元胞自動機模型僅適合主體與有限個體交互情況下的輿情演化研究、宏觀尺度上的傳染病模型僅適用于小規(guī)模群體且拓撲結(jié)構(gòu)簡單固定下的輿情演化研究、基于復雜網(wǎng)絡的數(shù)學模型雖然能有效的解決上述兩種數(shù)學建模的缺陷，但是該建模方法將不同的輿情主體無差別的統(tǒng)一為復雜網(wǎng)絡結(jié)點后在主體內(nèi)在屬性上的刻畫上有所欠缺。

綜上所述，現(xiàn)有網(wǎng)絡輿情的分析研究中，從定性視角開展的網(wǎng)絡輿情研究，由于缺乏網(wǎng)絡輿情傳播規(guī)律的定量描述，因而難以揭示網(wǎng)絡輿情在傳播過程中的變化規(guī)律亦難以實現(xiàn)網(wǎng)絡輿情的趨勢預測與科學管控；基于數(shù)學建模的定量研究，通過將輿情主體類比為物理粒子或者無差別的網(wǎng)絡節(jié)點，將現(xiàn)有物理系統(tǒng)的建模手段引入網(wǎng)絡輿情研究后雖然取得了一定的進展，但是由于研究框架的限制，現(xiàn)有研究較少考慮輿情主體非物理的“社會屬性”，如人特有的記憶特性、長程非線性交互等因素，使得所得數(shù)學模型難以解釋實際網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)中存在的過沖現(xiàn)象、長尾現(xiàn)象。

考慮到輿情主體的記憶特性以及實際輿情系統(tǒng)中呈現(xiàn)出來的過沖、長尾現(xiàn)象等特征，本文擬在分數(shù)階微積分學框架下重新考慮網(wǎng)絡輿情的建模問題，通過提出的分數(shù)階微分方程模型，進一步融合輿情主體的記憶特性以改進現(xiàn)有整數(shù)階數(shù)學模型的缺陷，同時實現(xiàn)網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)的精細刻畫，為輿情趨勢的準確預測及其科學管控提供參考。

1 基于分數(shù)階微積分的網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)建模

誕生于300多年前的分數(shù)階微積分是古典微積分的進一步擴展，其本意為任意階次的微分和積分。由如下分數(shù)階積分(1)與分數(shù)階微分(2)的定義

(1)

(2)

可以看出在分數(shù)階微分的定義(2)中由于融合了卷積算子*使得在分數(shù)階導數(shù)的定義可以方便的考慮歷史信息的影響，進而彌補了整數(shù)階微分僅僅依賴局部信息的缺陷。顯而易見，分數(shù)階微積分可以看作是經(jīng)典整數(shù)階Leibnitz微積分的延伸和拓廣，整數(shù)階Leibnitz微積分則是分數(shù)階微積分的特殊情況。盡管分數(shù)階微積分與整數(shù)階微積分幾乎同時出現(xiàn)，但由于認識的局限性，同時由于缺乏對于分數(shù)階微積分物理、幾何意義以及應用背景的解釋，致使分數(shù)階微積分自誕生后僅僅停留在數(shù)學家們的理論研究中。近年來，人們逐漸認識到分數(shù)階微積分在描述物理世界以及各種現(xiàn)象方面的優(yōu)勢，例如在粘彈性材料或者具有內(nèi)在記憶、遺傳特性過程上分數(shù)階微積分具有天然的優(yōu)勢；同時由于分數(shù)階微積分方程的解析解為呈現(xiàn)冪律遞減的Mittag-Leffler函數(shù)的組合，使得很多具有冪律特征的復雜現(xiàn)象或者過程都可以利用分數(shù)階微積分方程來描述或者解釋。分數(shù)階微積分目前受到越來越多的重視與關(guān)注，己經(jīng)在物理學、電化學、非線性動力學系統(tǒng)、機器人技術(shù)、信號處理、電氣工程、控制系統(tǒng)以及生物工程等領(lǐng)域[13]表現(xiàn)出巨大的應用前景，成為當前國際上新興的研究熱點。

現(xiàn)有針對網(wǎng)絡輿情的建模研究首先在輿情主體滿足如下圖1所示“刺激-反應”模式的情況下，提出了描述輿情系統(tǒng)演化的整數(shù)階Logistic模型。

圖1 刺激-反應模式

(3)

其中，r為某類網(wǎng)絡輿情信息的增長率，xmax為某類網(wǎng)絡輿情信息的最大容量或某類網(wǎng)絡輿情交互互動后最終的穩(wěn)態(tài)值，x0為輿情信息量初始值。

受整數(shù)階導數(shù)定義所限，輿情系統(tǒng)(3)的演化僅考慮了局部范圍內(nèi)輿情信息的影響。在實際網(wǎng)絡輿情演化中，由于記憶與社會經(jīng)驗等因素的制約，輿情主體對于輿情信息接收、輿情信息處理到輿情信息輸出的整個過程，可以進一步用圖2所示“刺激—認知—反應”模式來描述，其中認知階段與輿情主體的早期記憶、經(jīng)歷、個人經(jīng)驗密切相關(guān)，因而可能定義在較長時間區(qū)間。

圖2 刺激-認知-反應模式

考慮到分數(shù)階數(shù)學模型在輿情主題記憶等特性刻畫上存在的天然優(yōu)勢，本文在分數(shù)階微積分學框架下，提出如下的分數(shù)階Logistic數(shù)學模型，以降低現(xiàn)有整數(shù)階數(shù)學模型的保守性。

(4)

其中，分數(shù)階微積分的定義采用與(2)等價的如下Caputo定義：

注：當輿情主體自身的經(jīng)歷、情緒與現(xiàn)實世界中的突發(fā)事件產(chǎn)生共鳴時，就可能誘發(fā)網(wǎng)絡群體的社會情緒，導致突發(fā)事件在網(wǎng)絡上的廣泛傳播與爆發(fā)。突發(fā)事件發(fā)生后，輿情主體的外在輸出表現(xiàn)與其早期記憶、經(jīng)歷、個人經(jīng)驗都密切相關(guān)，因而難以簡單的用圖1所示的“刺激-反應”模式來描述。

2 網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)的動態(tài)演化分析

2.1整數(shù)階Logistic動力學建模針對以整數(shù)階模型(3)為主的網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)建模，基于變量分離方法可以得到數(shù)學模型(3)如下的解析解：

可以看出，網(wǎng)絡輿情信息量x(t)是關(guān)于時間t的一個增函數(shù)，且逐漸收斂到輿情信息量的最大值xmax。

鑒于對于大多數(shù)函數(shù)而言，分數(shù)階微積分三種定義(GL,RL,Caputo)上的等價性，在kh，(k=1,2,…) 時刻α階的分數(shù)階導數(shù)可由下式描述。

其中，Lm為分數(shù)階微分算子中記憶長度的刻畫，h為所獲取采樣數(shù)據(jù)的間隔?；谏鲜鑫⒎炙阕拥臄?shù)值估計，分數(shù)階數(shù)學模型(4)可以重新描述為：

(5)

考慮到(5)式左端可通過當下輿情數(shù)據(jù)與歷史輿情數(shù)據(jù)獲取，進而可以基于最小二乘的多項式擬合實現(xiàn)未知參數(shù)r與xmax的估計。

注：由輿情系統(tǒng)分數(shù)階數(shù)學模型(5)的左端可以看出，分數(shù)階導數(shù)的“記憶”特性使得在當下輿情演化趨勢的分析過程中有效融合了輿情歷史信息，整數(shù)階數(shù)學模型(3)僅為分數(shù)階數(shù)學模型(4)或(5)的特殊情形，因而分數(shù)階數(shù)學模型(5)式可以更加精細、更加準確的描述輿情系統(tǒng)的演化趨勢。

3 實例建模與應用

以央視曝光的河南知名企業(yè)雙匯“瘦肉精”養(yǎng)豬事件為例。瘦肉精可以增加動物的瘦肉量使肉品提早上市、降低成本。但瘦肉精有較強的毒性，長期使用有可能導致染色體畸變，誘發(fā)惡性腫瘤。事情曝光后引起社會各界的廣泛關(guān)注和熱議，圖3為采集到的16天內(nèi)對于“瘦肉精”事件持有關(guān)注與批評等意見的網(wǎng)絡輿情信息。

圖3 (a) 每日輿情信息變化示意圖

圖3 (b) 輿情信息總量變化示意圖

圖4 輿情系統(tǒng)基于整數(shù)階模型的趨勢演化圖 (α=1)

類似于前述輿情系統(tǒng)的整數(shù)階數(shù)學建模研究，在分數(shù)階導數(shù)α=1.5的情況下，可以得到r=0.2487，xmax=1130。通過圖5所示趨勢演化圖可以看出對于輿情事件持有關(guān)注與批評態(tài)度的網(wǎng)絡輿情仍然處在快速的上升期，并且有可能出現(xiàn)“過沖”現(xiàn)象，如有可能需要采取必要的管控措施，以促進輿情系統(tǒng)的健康發(fā)展。

圖5 輿情系統(tǒng)基于分數(shù)階模型的趨勢演化圖 (α=1.5)

4 結(jié) 論

本文在分數(shù)階微積分學框架下，研究了網(wǎng)絡輿情系統(tǒng)的數(shù)學建模問題，通過分數(shù)階Logistic模型與整數(shù)階Logistic模型的建立，在輿情系統(tǒng)的數(shù)學建模過程中進一步考慮了歷史輿情信息的影響作用，將整數(shù)階數(shù)學模型推廣到分數(shù)階數(shù)學模型。同時通過具體的網(wǎng)絡輿情事件，展示了分數(shù)階微積分學在輿情趨勢預測方面的優(yōu)勢與重要性，為后續(xù)網(wǎng)絡輿情的科學引導與合理管控奠定了理論基礎(chǔ)。