趙克凡，賈勝坤，羅祎青，袁希鋼，3

（1天津大學(xué)化工學(xué)院，天津 300350； 2天津大學(xué)化學(xué)工程研究所，天津 300350；3化學(xué)工程聯(lián)合國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350）

引 言

精餾是化學(xué)工業(yè)中一種廣泛使用、通常也是高能耗的分離操作。隔板精餾塔作為一種新型節(jié)能方式受到了廣泛關(guān)注[1-2]。針對(duì)三組元精餾，隔板塔[圖1(a)]采用完全熱耦合精餾塔[圖1(b)]操作方式，并通過設(shè)置中間隔板將預(yù)分餾塔和主塔合并入一個(gè)塔體。與傳統(tǒng)簡單精餾序列相比，隔板精餾塔在減少設(shè)備投資的同時(shí)，通過物流和能量的直接耦合避免了組分反混現(xiàn)象，因此可顯著降低能耗[3-6]。然而研究表明[7-8]，針對(duì)多數(shù)物系，只有在最優(yōu)設(shè)計(jì)條件下，隔板精餾塔才能保證其在低能耗方面的顯著優(yōu)勢(shì)。然而隔板精餾塔設(shè)計(jì)自由度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)精餾塔，因此其最優(yōu)化設(shè)計(jì)是較為復(fù)雜的問題。

圖1 隔板塔(a)和完全熱耦合塔(b)Fig.1 Divided wall column(a)and fully thermally coupled distillation columns(b)

在規(guī)定操作壓力條件下，圖1 所示的隔板塔共有11 個(gè)優(yōu)化變量，分別為六個(gè)塔段的塔板數(shù)、回流比、再沸比、側(cè)線采出量、氣相分割比和液相分割比[9-10]。因?yàn)樯婕罢麛?shù)即塔板數(shù)變量的優(yōu)化，隔板塔的嚴(yán)格優(yōu)化可以表示為混合整數(shù)非線性規(guī)劃(MINLP)問題，但因整數(shù)變量眾多，采用現(xiàn)有的方法很難求解。Becker 等[11]提出采用啟發(fā)式規(guī)則對(duì)隔板塔進(jìn)行嚴(yán)格模擬和優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過靈敏度分析方法優(yōu)化塔板數(shù)和進(jìn)料位置等離散變量，然后通過Aspen Plus 內(nèi)置優(yōu)化求解器優(yōu)化其余連續(xù)變量。但這種序貫優(yōu)化的方法不能保證所有變量的同時(shí)優(yōu)化，很難找到優(yōu)化問題較好的解。一些研究者引入了隨機(jī)優(yōu)化算法，Caballero 等[12]采用粒子群算法優(yōu)化隔板塔、萃取精餾塔等流程，Qian 等[13]采用改進(jìn)粒子群算法實(shí)現(xiàn)了Kaibel 隔板塔的優(yōu)化，Wang 等[14]提出將粒子群算法與響應(yīng)面模型相結(jié)合的隔板塔優(yōu)化方法，Sun 等[15]采用遺傳算法優(yōu)化了萃取精餾隔板塔流程。盡管隨機(jī)優(yōu)化算法能夠?qū)崿F(xiàn)所有變量的同時(shí)優(yōu)化，但需要大量代次，每次迭代均需對(duì)隔板塔進(jìn)行模擬和評(píng)價(jià)，因而導(dǎo)致計(jì)算瓶頸問題。

為避免最優(yōu)化過程中的計(jì)算瓶頸問題，一些研究者提出事先采用大量數(shù)據(jù)通過擬合或訓(xùn)練等方法建立近似模型，亦稱離線代理模型，在優(yōu)化過程中用以替代隔板塔的嚴(yán)格機(jī)理模型。Quirante 等[16-17]分別對(duì)簡單塔、隔板塔、萃取精餾塔等流程建立了Kriging代理模型，并采用GAMS-BARON求解器優(yōu)化所構(gòu)建的代理模型，成功解決了優(yōu)化問題。Yuan等[9]采用徑向基函數(shù)對(duì)隔板塔建立了代理模型，并采用遺傳算法優(yōu)化代理模型，得到了隔板塔的最佳參數(shù)。以上這些離線代理模型優(yōu)化算法，相比于隨機(jī)優(yōu)化算法，能夠減少優(yōu)化過程中嚴(yán)格模擬所需的時(shí)間。然而，這種離線代理模型需要大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合或訓(xùn)練，因而仍需要大量的模擬計(jì)算，特別是當(dāng)樣本點(diǎn)數(shù)量較少或者分布不合理時(shí)，代理模型精度下降，進(jìn)而影響優(yōu)化結(jié)果。

針對(duì)離線代理模型優(yōu)化方法的缺陷，Jones 等[18]提出了在線代理模型優(yōu)化方法，這種方法先采用較少樣本點(diǎn)訓(xùn)練低精度的代理模型，再通過特定的加點(diǎn)準(zhǔn)則，向已有的樣本點(diǎn)集合中不斷地添加新的樣本點(diǎn)，使得添加點(diǎn)能夠向機(jī)理模型的全局最優(yōu)解逼近。這種通過新加入的樣本點(diǎn)不斷向最優(yōu)解逼近的方法，有效避免了基于大量數(shù)據(jù)的離線代理模型，將優(yōu)化計(jì)算所需要的數(shù)據(jù)量降到最少。

本文基于在線代理模型的思路，提出在線Kriging 模型的優(yōu)化方法，對(duì)隔板塔的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)所有變量的同時(shí)優(yōu)化，并能在可接受時(shí)間內(nèi)得到較好的優(yōu)化結(jié)果。

1 隔板塔優(yōu)化模型

本文以年度總費(fèi)用(TAC)作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，TAC計(jì)算公式可表示為[9-10,19-20]

式中，Cop代表操作費(fèi)用，包括冷、熱公用工程費(fèi)用，即冷卻水費(fèi)用和蒸汽費(fèi)用[21]；Cca為設(shè)備費(fèi)用，包括精餾塔主塔費(fèi)用、塔板費(fèi)用和換熱器費(fèi)用[22]，其中詳細(xì)參數(shù)和計(jì)算公式見附錄；α為設(shè)備的年度折舊率，取值為0.3。

隔板塔優(yōu)化設(shè)計(jì)是指確定最優(yōu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和操作參數(shù)，在滿足產(chǎn)品分離純度的約束下，使得其TAC最小，其最優(yōu)化問題可表示為：

式中，Ni(i= 1,2,3,…,6)分別為隔板塔的六段塔板數(shù)(圖1)；RR 為回流比；BR 為再沸比；S為側(cè)線采出量；FL為回到預(yù)分餾塔的氣相流量(此參數(shù)代替液相分割比)；FV為回到預(yù)分餾塔的氣相流量(此參數(shù)代替氣相分割比)；MESH equations 為隔板塔的物料平衡、相平衡、歸一化和能量守恒方程組；xD,A、xS,B、xW,C分別為塔頂產(chǎn)品A 組分的純度、側(cè)線采出產(chǎn)品B 組分的純度、塔釜產(chǎn)品C 組分的純度；pD、pS、pW分別為三個(gè)產(chǎn)品純度的最低要求。

2 基于在線Kriging模型的優(yōu)化方法

2.1 數(shù)據(jù)表示方法及數(shù)據(jù)預(yù)處理

2.1.1 數(shù)據(jù)表示方法 代理模型是通過多個(gè)機(jī)理模型的輸入-輸出所構(gòu)成的樣本點(diǎn)訓(xùn)練得到的。在隔板塔優(yōu)化問題中，輸入指的是優(yōu)化變量(即塔板數(shù)、回到預(yù)分餾塔的氣/液相流量)，用矩陣X*表示。輸入矩陣X*的行數(shù)n表示樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，X*=[x*(1),x*(2),x*(3),…,x*(n)]T，x*(i)(i= 1,2,3,…,n)表示第i個(gè)樣本點(diǎn)的輸入向量；矩陣X*的列數(shù)m表示優(yōu)化變量的個(gè)數(shù)即維度數(shù)；x*(i)k表示第i個(gè)樣本點(diǎn)輸入向量中第k個(gè)優(yōu)化變量的值。在隔板塔優(yōu)化問題中，輸出指的是與輸入向量X*對(duì)應(yīng)的年度總費(fèi)用(TAC)值，用向量y*表示，其行數(shù)n代表樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，y*=[y*(1),y*(2),y*(3),…,y*(n)]T，y*(i)(i=1,2,3,…,n)表示第i個(gè)樣本點(diǎn)的輸出值。輸入矩陣X*和輸出向量y*構(gòu)成了訓(xùn)練代理模型的樣本點(diǎn)集合D*，即

2.1.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理 在進(jìn)行Kriging 模型的構(gòu)建過程中，由于輸入向量中每個(gè)優(yōu)化變量的量綱是不同的，其數(shù)值分布會(huì)有較大的差別，為了使Kriging 模型預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確，需要分別對(duì)每個(gè)優(yōu)化變量以及輸出值數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化[23]，以減少量綱的影響。本文采用Z-score 歸一化方法對(duì)輸入矩陣和輸出向量進(jìn)行數(shù)據(jù)歸一化處理，計(jì)算式為

式中，X*k為數(shù)據(jù)預(yù)處理前的輸入矩陣的第k個(gè)列向量；y*為數(shù)據(jù)預(yù)處理前的輸出向量；μk、μy分別為向量X*k、向量y的均值；Sk、Sy分別為向量X*k、向量y的標(biāo)準(zhǔn)差；Xk為歸一化之后的輸入矩陣中第k個(gè)列向量；y為歸一化之后的輸出向量。歸一化之后的輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)成了新的樣本點(diǎn)集合D，即D={(x(i),y(i))|x(i)∈X,y(i)∈y,i= 1,2,3,…,n}，用于Kriging模型的訓(xùn)練。

2.2 Kriging代理模型

2.2.1 Kriging 模型 Kriging 模型是從Krige 的地理統(tǒng)計(jì)理論中發(fā)展出來的[24]，適用于小樣本集合，并且能夠計(jì)算預(yù)測(cè)值的不確定度。為了構(gòu)建Kriging模型，需要產(chǎn)生初始n個(gè)樣本點(diǎn)，樣本點(diǎn)集合由輸入值矩陣和輸出值向量組成，其中，輸入值矩陣X=[x(1), x(2), x(3),…,x(n)]T為多組歸一化后的優(yōu)化變量，對(duì)隔板精餾塔而言，優(yōu)化變量包括隔板塔六段塔板數(shù)、回到預(yù)分餾塔的氣相流量和回到預(yù)分餾塔的液相流量；輸出值向量y=[y(1), y(2), y(3),…,y(n)]T為歸一化后的年度總費(fèi)用(TAC)。Kriging 模型屬于插值模型，其預(yù)測(cè)值為已知樣本點(diǎn)真實(shí)值的線性加權(quán)，即

式中，ω=[ω(1),ω(2),ω(3),…,ω(n)]T,是待定加權(quán)系數(shù)。

為了考慮預(yù)測(cè)值的不確定程度，Kriging 引入統(tǒng)計(jì)學(xué)假設(shè)[25]，認(rèn)為每個(gè)輸入向量x(優(yōu)化變量)對(duì)應(yīng)的輸出(TAC)是一個(gè)隨機(jī)變量，最終以概率最大的變量值作為預(yù)測(cè)值，而預(yù)測(cè)函數(shù)則是一組隨機(jī)變量所構(gòu)成的集合，其形式：

Y(x) =β0+Z(x)(7)

式中，β0為未知常數(shù)，可由最大似然估計(jì)[25]得出，具體過程詳見2.2.2節(jié)；x為歸一化后的優(yōu)化變量構(gòu)成的輸入向量；Z(x)為均值為0、方差為σ2的隨機(jī)過程(函數(shù))。模型假設(shè)不同的隨機(jī)變量Y(x)存在一定的相關(guān)性，相關(guān)性影響式(6)中待定加權(quán)系數(shù)的大小，可以通過指定的相關(guān)函數(shù)來衡量。因此，相關(guān)函數(shù)的選擇會(huì)影響Kriging 模型的擬合精確度，常用的相關(guān)函數(shù)有高斯函數(shù)、拉普拉斯函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)[25]。經(jīng)過測(cè)試，拉普拉斯函數(shù)在本問題中應(yīng)用效果較好，所以本文選用拉普拉斯函數(shù)作為相關(guān)函數(shù)，即

式中，Cov 為兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差；R(·,·)為相關(guān)函數(shù)；Y(x(i))、Y(x(j))為兩個(gè)不同的隨機(jī)變量；θk為拉普拉斯函數(shù)參數(shù)，可由最大似然估計(jì)方法得出[25]；m為總維度數(shù)，即優(yōu)化變量的個(gè)數(shù)。由式(8)可以看出，隨機(jī)變量間的相似度與輸入向量間的曼哈頓距離有關(guān)，兩個(gè)輸入向量的曼哈頓距離越小，相關(guān)函數(shù)值越大，即兩隨機(jī)變量的相似度越高。

基于Kriging 模型的預(yù)測(cè)值假設(shè)，即預(yù)測(cè)值為已知樣本點(diǎn)真實(shí)值的線性加權(quán)，以及統(tǒng)計(jì)學(xué)假設(shè)，在滿足插值條件的約束下，使得Kriging 模型在預(yù)測(cè)點(diǎn)的均方差最小，便可以確定加權(quán)系數(shù)ω的最優(yōu)取值：

式中，R為樣本點(diǎn)之間的相關(guān)系數(shù)矩陣,其結(jié)果如式(13)所示；r為待預(yù)測(cè)點(diǎn)和樣本點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)向量,其結(jié)果如式(14)所示；F為一個(gè)所有元素全為1的向量，F(xiàn)=[11…1]T∈Rn。

2.2.2 Kriging 模型參數(shù)估計(jì) Kriging 模型參數(shù)是

指式(8)、式(16)和式(17)中的β0,σ2,θ。上述參數(shù)可通過最大似然估計(jì)[25]方法加以確定。Kriging模型假設(shè)原函數(shù)為一個(gè)高斯過程，樣本點(diǎn)的輸出值應(yīng)符合高斯分布，則其似然函數(shù)為：

將式(19)、式(20)回代到式(18)，便將其轉(zhuǎn)化為參數(shù)僅為θ的函數(shù)，可用數(shù)值優(yōu)化方法得到其數(shù)值解[25]。

通過最大似然估計(jì)方法確定Kriging 模型的參數(shù)，便可依據(jù)式(16)、式(17)對(duì)預(yù)測(cè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)方差進(jìn)行計(jì)算。

2.3 加點(diǎn)準(zhǔn)則

本文建立的Kriging代理模型采用較小的初始數(shù)據(jù)樣本集，此時(shí)的代理模型由于樣本點(diǎn)數(shù)量極少，其最優(yōu)解通常遠(yuǎn)離真實(shí)最優(yōu)解。因此，需要逐次添加新的樣本點(diǎn)，對(duì)隔板精餾塔而言，即逐次添加隔板塔優(yōu)化變量值和相應(yīng)的TAC 值，使代理模型的最優(yōu)解逐步逼近真實(shí)最優(yōu)解。這里，數(shù)據(jù)點(diǎn)的增加采用探索-發(fā)掘原理[18,26-27]。發(fā)掘是將當(dāng)前代理模型預(yù)測(cè)的最優(yōu)點(diǎn)加入樣本點(diǎn)集合，而探索則是將預(yù)測(cè)方差最大的點(diǎn)加入樣本點(diǎn)集合。通常，如果僅采用發(fā)掘的方式添加樣本點(diǎn)，則會(huì)以較大概率收斂到局部最優(yōu)解；如果僅采用探索的方式添加樣本點(diǎn)，生成的代理模型的精度較高，但需要添加更多點(diǎn)來減小預(yù)測(cè)方差，導(dǎo)致優(yōu)化過程進(jìn)行緩慢。因此，研究者提出了一些加點(diǎn)準(zhǔn)則來權(quán)衡計(jì)算量和找到全局最優(yōu)解的概率[26-29]。加點(diǎn)準(zhǔn)則主要包括最小響應(yīng)面準(zhǔn)則、最大概率改善準(zhǔn)則、最小統(tǒng)計(jì)學(xué)下界準(zhǔn)則和最大改善期望準(zhǔn)則等[18]。研究表明，最大改善期望準(zhǔn)則是所有加點(diǎn)準(zhǔn)則中效果較好的[18]，因此，本文采用該準(zhǔn)則。

在Kriging 模型中，某一點(diǎn)的預(yù)測(cè)分布Y(x)實(shí)際是一個(gè)符合高斯分布的隨機(jī)變量。對(duì)于最小值優(yōu)化問題，如果當(dāng)前的最優(yōu)值為ymin，定義在某一未知點(diǎn)x處的預(yù)測(cè)值對(duì)于當(dāng)前最優(yōu)值ymin的改善值可表示為I(x)=max(ymin-Y(x),0)。由于Y(x)服從均值為y?方差為s2的高斯分布，即Y(x)～N(?(x),s2(x))，那么可得出在此點(diǎn)的概率密度函數(shù)為[27]

式中，φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累計(jì)分布函數(shù)；Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)；y?為未知點(diǎn)的預(yù)測(cè)值；s為預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差。

在改善期望函數(shù)式(22)中，等式右側(cè)第一項(xiàng)是發(fā)掘項(xiàng)，第二項(xiàng)是探索項(xiàng)。這可以看作以概率密度函數(shù)和分布函數(shù)作為權(quán)重來權(quán)衡探索-發(fā)掘過程，使添加點(diǎn)向最優(yōu)解逼近。

2.4 在線代理模型優(yōu)化方法

本文提出的在線代理模型優(yōu)化方法如圖2 所示，計(jì)算開始時(shí)首先需要給定一組初始樣本點(diǎn)用以訓(xùn)練代理模型。由于無須構(gòu)建高精度的代理模型，故可選擇較少的初始樣本點(diǎn)。本文選擇10 倍于優(yōu)化變量數(shù)的初始樣本點(diǎn)作為初始樣本點(diǎn)集合[30]。為了使樣本點(diǎn)在優(yōu)化可行域內(nèi)分布較為均勻，本文采用拉丁超立方采樣方法[31-32]對(duì)初始樣本點(diǎn)進(jìn)行采樣，即得到多組優(yōu)化變量的值。拉丁超立方采樣是指根據(jù)需要的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)將可行域等分成若干小區(qū)域，在每個(gè)小區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，從而保證樣本點(diǎn)在可行域內(nèi)分布較為均勻。

圖2 在線代理模型優(yōu)化算法流程圖Fig.2 The flowsheet of online surrogate-based optimization method

通過拉丁超立方采樣方法在可行域內(nèi)采樣得到輸入矩陣X*后，通過對(duì)輸入矩陣中每個(gè)輸入向量進(jìn)行嚴(yán)格模擬并計(jì)算相應(yīng)TAC值，得到輸出向量y*，輸入矩陣和輸出向量則構(gòu)成了初始的樣本點(diǎn)集合。初始樣本點(diǎn)集合所訓(xùn)練的代理模型精準(zhǔn)度低，隨后通過循環(huán)，依據(jù)加點(diǎn)準(zhǔn)則依次向樣本點(diǎn)集合中添加新的樣本點(diǎn)，最終使代理模型的解逐步趨于真實(shí)最優(yōu)解。在每次代理模型訓(xùn)練之前采用式(4)和式(5)對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行歸一化處理。在加點(diǎn)過程中，增加的樣本點(diǎn)數(shù)量越多，越容易找到優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，但同時(shí)也會(huì)耗費(fèi)更大的計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間。因此本文采用樣本點(diǎn)集合最大數(shù)量作為終止條件，從而控制優(yōu)化時(shí)間,最大樣本點(diǎn)數(shù)一般為初始樣本點(diǎn)數(shù)的2～3倍[33]，使算法能夠在合理的時(shí)間內(nèi)找到較優(yōu)的解。

本文提出的在線代理模型優(yōu)化的算法可敘述為：

(1)針對(duì)被優(yōu)化問題確定優(yōu)化變量和目標(biāo)函數(shù)；

(2)采用拉丁超立方采樣方法，在優(yōu)化變量的定義域內(nèi)進(jìn)行采樣，得到初始樣本點(diǎn)輸入矩陣X*；

(3)將初始樣本點(diǎn)輸入矩陣中的向量分別進(jìn)行嚴(yán)格模擬并計(jì)算其對(duì)應(yīng)TAC值，即得到輸出向量y*，輸入矩陣和輸出向量構(gòu)成了初始樣本點(diǎn)集合；

(4)采用式(4)和式(5)對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行歸一化，并采用歸一化之后的輸入-輸出數(shù)據(jù)訓(xùn)練Kriging 模型,通過優(yōu)化似然函數(shù)，即式(18)，并使該函數(shù)值最大，來確定模型中的參數(shù)；

(5)采用最大改進(jìn)期望準(zhǔn)則作為加點(diǎn)準(zhǔn)則，采用遺傳算法[34]優(yōu)化改善期望函數(shù)，即式(22)，選擇期望函數(shù)最大值的點(diǎn)作為新的樣本點(diǎn)輸入向量；

(6)如果樣本點(diǎn)集合中的樣本點(diǎn)數(shù)量達(dá)到上限，則選擇樣本點(diǎn)集合中輸出值最小的點(diǎn)作為優(yōu)化結(jié)果，否則，將步驟(5)得到的新的樣本點(diǎn)輸入向量進(jìn)行嚴(yán)格模擬并計(jì)算TAC 值，加入樣本點(diǎn)集合中，并重復(fù)步驟(3)～(5)直到樣本點(diǎn)集合中樣本點(diǎn)數(shù)量達(dá)到上限，得到最優(yōu)解。

應(yīng)當(dāng)指出，本文算法中選用改善期望函數(shù)作為加點(diǎn)準(zhǔn)則，新增加的樣本點(diǎn)是通過采用遺傳算法優(yōu)化改善期望函數(shù)，使該函數(shù)最大來確定的。由于改善期望函數(shù)，即式(22)為復(fù)雜函數(shù)，因此采用遺傳算法無法保證得到該函數(shù)的全局最優(yōu)解。但這并不妨礙圖2所示加點(diǎn)過程的進(jìn)行，將新樣本點(diǎn)加入樣本點(diǎn)集合中并訓(xùn)練Kriging 模型后，由式(22)可知，此樣本點(diǎn)的改善期望函數(shù)值為0，因此后續(xù)優(yōu)化會(huì)避開該點(diǎn)，并且隨著優(yōu)化進(jìn)行仍會(huì)找到改善期望函數(shù)的全局最優(yōu)解。因此，改善期望函數(shù)的優(yōu)化效果僅影響新加的樣本點(diǎn)數(shù)量，并不影響此算法找到原問題的最優(yōu)解。

3 結(jié)果與討論

3.1 算例

本文選擇苯、甲苯、對(duì)二甲苯作為研究物系。物性參數(shù)、工藝條件、產(chǎn)品分離純度要求見表1。由于隔板塔和完全熱耦合塔在熱力學(xué)上是等效的[7-8]，本文通過Aspen Plus軟件的RadFrac模塊實(shí)現(xiàn)完全熱耦合塔的模擬，采用Aspen Plus 中的設(shè)計(jì)規(guī)定，調(diào)節(jié)回流比(RR)、再沸比(BR)、側(cè)線采出量(S)來滿足產(chǎn)品的純度要求；因此，在給定壓力和分離要求情況下，對(duì)于隔板塔TAC的優(yōu)化問題，其優(yōu)化變量僅有8個(gè)，分別為6個(gè)塔段的塔板數(shù)(Ni,i=1,2,3,4,5,6)、回到預(yù)分餾塔的氣相流量(FV)、回到預(yù)分餾塔的液相流量(FL)。

3.2 優(yōu)化算法演示

為了演示本文提出的在線代理模型優(yōu)化方法，本節(jié)僅選取回到預(yù)分餾塔的液相流量(FL)作為優(yōu)化變量，其取值范圍為FL∈[100,150]，固定其余優(yōu)化變量(六段塔板數(shù)N、回到預(yù)分餾塔的氣相流量FV)，目標(biāo)函數(shù)仍為隔板塔的年度總費(fèi)用(TAC)。即在滿足表1的分離要求情況下，固定其余優(yōu)化變量，找到合適FL使隔板塔TAC最小。優(yōu)化過程的演示如圖3所示，其中藍(lán)色虛線表示真實(shí)TAC 隨FL變化的曲線，可以看出在給定變量范圍內(nèi)，僅有一個(gè)最優(yōu)解（即藍(lán)色虛線曲線的最低點(diǎn)）。

表1 進(jìn)料條件和產(chǎn)品要求Table 1 Feed conditions and product requirements

采用圖2 所示的優(yōu)化算法，選取改善期望準(zhǔn)則作為加點(diǎn)準(zhǔn)則，采用遺傳算法優(yōu)化加點(diǎn)準(zhǔn)則函數(shù)。由于僅有一個(gè)優(yōu)化變量，應(yīng)用拉丁超立方采樣得到3個(gè)初始樣本點(diǎn)輸入向量，并將其代入Aspen Plus中進(jìn)行嚴(yán)格模擬并計(jì)算TAC，得到初始樣本點(diǎn)集合。如圖3(a)所示，三個(gè)紫色點(diǎn)表示初始的樣本點(diǎn)，藍(lán)色虛線表示真實(shí)TAC 隨FL變化曲線，紅色實(shí)線表示由當(dāng)前的三個(gè)樣本點(diǎn)集合訓(xùn)練得到的Kriging 模型曲線，黑色實(shí)線代表改善期望函數(shù)(EI)隨FL變化的曲線。圖中淡藍(lán)色區(qū)域表示置信區(qū)間，由Kriging 模型的預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)方差計(jì)算得出，范圍越大說明在此點(diǎn)預(yù)測(cè)越不準(zhǔn)確。選取改善期望函數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)作為下一個(gè)樣本點(diǎn)的輸入向量值，即回到預(yù)分餾塔液相流量(FL)的值，將其代入Aspen Plus 進(jìn)行嚴(yán)格模擬并計(jì)算TAC 得到新的樣本點(diǎn)[圖3(a)中粉色星號(hào)]，將其加入樣本點(diǎn)集合中，并重新訓(xùn)練Kriging模型，得到圖3(b)。重復(fù)此步驟[如圖3(b)～(d)所示]直到找到最優(yōu)解。由圖3 可知，當(dāng)新加入的樣本點(diǎn)的數(shù)量為4 時(shí)，便可以找到原函數(shù)的最優(yōu)解。即總共采集了7 個(gè)樣本點(diǎn)便找到了原函數(shù)的最優(yōu)解。從圖3(d)可以看出，7個(gè)樣本點(diǎn)所訓(xùn)練的Kriging的代理模型并未與原函數(shù)曲線重合，代理模型并未達(dá)到高精度，但已經(jīng)非常逼近正式最優(yōu)解。因此，與離線代理模型優(yōu)化方法相比，在線代理模型優(yōu)化方法往往能使用更少的樣本點(diǎn)找到最優(yōu)解。

圖3 優(yōu)化過程可視化Fig.3 Visualization of optimization process

3.3 隔板塔優(yōu)化

本節(jié)采用基于在線代理模型的優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)隔板塔的全變量優(yōu)化，通過MATLAB 和Aspen Plus連接實(shí)現(xiàn)自動(dòng)優(yōu)化流程。同時(shí)將傳統(tǒng)的離線代理模型優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)果作為對(duì)照，以驗(yàn)證基于在線代理模型的優(yōu)化方法的有效性。

在線代理模型優(yōu)化中，采用拉丁超立方采樣得到80 個(gè)初始樣本點(diǎn)，并針對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)的輸入向量進(jìn)行嚴(yán)格模擬得到TAC從而得到初始樣本點(diǎn)集合。利用歸一化后的初始樣本點(diǎn)訓(xùn)練Kriging 模型，采用遺傳算法優(yōu)化改善期望函數(shù)，選擇期望改善值最大的點(diǎn)作為新樣本點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格模擬并計(jì)算TAC，將新樣本點(diǎn)加入樣本點(diǎn)集合中。直到樣本點(diǎn)集合中樣本點(diǎn)數(shù)量達(dá)到200時(shí)，即進(jìn)行120次迭代，停止優(yōu)化，樣本點(diǎn)集合中TAC最小的點(diǎn)即為得到的優(yōu)化結(jié)果。

在傳統(tǒng)離線代理模型優(yōu)化方法中，同樣應(yīng)用拉丁超立方采樣方法采集200個(gè)樣本點(diǎn)，針對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)的輸入向量進(jìn)行嚴(yán)格模擬并計(jì)算TAC，得到離線代理模型的樣本點(diǎn)集合。使用此集合中的樣本點(diǎn)訓(xùn)練Kriging 模型，并采用遺傳算法對(duì)構(gòu)建的Kriging 模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行優(yōu)化，選擇Kriging 模型預(yù)測(cè)值最小的點(diǎn)作為最優(yōu)解。兩種方法的優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

由表2 可以看出，采用傳統(tǒng)離線代理模型對(duì)隔板塔進(jìn)行優(yōu)化，即使采用200 個(gè)樣本點(diǎn)加以訓(xùn)練，Kriging 模型給出的TAC 最優(yōu)值與機(jī)理模型計(jì)算得到的TAC 值仍有差別，因此要想進(jìn)一步提高計(jì)算精度則需要更多的樣本點(diǎn)。而本文的在線代理模型優(yōu)化方法無須事先構(gòu)建高精度的代理模型，而是通過優(yōu)化改善期望函數(shù)來確定潛在最優(yōu)解的位置，使新加入的樣本點(diǎn)向機(jī)理模型的最優(yōu)解逼近，其計(jì)算精度主要取決于優(yōu)化加點(diǎn)準(zhǔn)則函數(shù)得到的新樣本點(diǎn)的準(zhǔn)確程度，而并不取決于初始樣本點(diǎn)的數(shù)量，因此能夠在更少的樣本點(diǎn)情況下得到較優(yōu)的解。

表2 優(yōu)化結(jié)果Table 2 The results of optimization

對(duì)于隔板塔優(yōu)化問題，根據(jù)其優(yōu)化變量數(shù)量，采用80個(gè)樣本點(diǎn)作為初始樣本點(diǎn)，采用本文在線Kriging代理模型進(jìn)行優(yōu)化，共添加120個(gè)新的樣本點(diǎn)，優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。其優(yōu)化過程的迭代曲線如圖5所示，圖中曲線中的點(diǎn)代表每次迭代中，通過優(yōu)化改善期望函數(shù)確定的新樣本點(diǎn)的TAC值，結(jié)果表明，通過120次的迭代，可以找到原優(yōu)化問題的最優(yōu)解。應(yīng)當(dāng)指出，如圖5 所示，在迭代過程中存在目標(biāo)函數(shù)值上升的現(xiàn)象。這是因?yàn)樵诒疚奶岢龅乃惴ㄖ校聵颖军c(diǎn)是通過最大化改善期望函數(shù)確定的，如圖3(b)所示，改善期望函數(shù)值最大的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的真實(shí)TAC函數(shù)值不一定更小，所以隨著計(jì)算的進(jìn)行TAC值會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象。

圖4 最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.4 Optimal design

圖5 迭代曲線Fig.5 Iteration curve

4 結(jié) 論

本文提出基于在線Kriging 代理模型的優(yōu)化方法，并將此方法應(yīng)用在隔板塔優(yōu)化問題上。此方法通過Aspen Plus 和MATLAB 連接，實(shí)現(xiàn)了隔板塔自動(dòng)優(yōu)化流程，該方法能夠在消耗較少的計(jì)算機(jī)資源下找到最優(yōu)解。

在本文所提出的優(yōu)化方法中，選用Kriging模型作為代理模型，能夠以較少的數(shù)據(jù)點(diǎn)通過復(fù)現(xiàn)原函數(shù)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化計(jì)算。選擇最大改進(jìn)期望準(zhǔn)則作為加點(diǎn)準(zhǔn)則能夠較好地權(quán)衡探索-發(fā)掘，從而確定“潛在”最優(yōu)解的位置，使用較少的樣本點(diǎn)找到優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

相比于離線代理模型優(yōu)化方法，本文提出的在線Kriging 模型優(yōu)化方法無須建立高精度的模型，不需要通過機(jī)理模型進(jìn)行大規(guī)模的采樣，節(jié)省優(yōu)化時(shí)間。

對(duì)于離線代理模型優(yōu)化方法，其最終得到的最優(yōu)解是代理模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，其結(jié)果和采用機(jī)理模型模擬計(jì)算TAC 結(jié)果相比是有誤差的。但本文提出的在線Kriging 模型優(yōu)化方法，其最優(yōu)解一定存在于最終樣本點(diǎn)集合之中，因而能夠保證優(yōu)化結(jié)果與機(jī)理模型模擬計(jì)算結(jié)果相同。

符 號(hào) 說 明

I——改善函數(shù)

i——樣本點(diǎn)集合中第i個(gè)樣本點(diǎn)

j——樣本點(diǎn)集合中第j個(gè)樣本點(diǎn)

k——樣本點(diǎn)的第k個(gè)維度

m——維度數(shù)

Q——換熱器熱負(fù)荷，kW

R——兩點(diǎn)相關(guān)系數(shù)

R——相關(guān)系數(shù)矩陣

附 錄

操作費(fèi)用和設(shè)備費(fèi)用的估算

(1)操作費(fèi)用相關(guān)參數(shù)及其估算

操作費(fèi)用主要包含所需冷卻水費(fèi)用、蒸汽費(fèi)用、電力費(fèi)用等(基于每年8322 h計(jì)算)，詳細(xì)的參數(shù)見表A1。

表A1 公用工程費(fèi)用Table A1 Utility cost

(2)設(shè)備費(fèi)用相關(guān)參數(shù)及其估算

設(shè)備費(fèi)用主要包括精餾塔費(fèi)用(精餾塔主塔及塔板的安裝和維修費(fèi)用)，換熱器的安裝和維修費(fèi)用。

換熱器費(fèi)用估算可按以下公式進(jìn)行計(jì)算:

式中，Ccol為精餾塔總費(fèi)用；CCP為精餾塔主塔安裝費(fèi)用；CCI為精餾塔主塔維修費(fèi)用；CT為塔板費(fèi)用；Fc為修正因子，本文中取1；D為精餾塔塔徑，m；H為塔高，m；H= 0.61(1.25Nt- 1) + 6；Nt為精餾塔總板數(shù)。