鄭 露，郭 錦

（海南大學理學院，海南 海口 570228）

單純復形，簡稱為復形，是一種應用廣泛的數(shù)學結(jié)構(gòu).在Stanley-Reisner對應之下，可以通過探討單純復形的頂點可分解、shellable等性質(zhì)，研究其對應的單項式理想的（序列）Cohen-Macaulay等性質(zhì)［1-4］.文獻［5］給出了一類由復形Δ的一個染色χ出發(fā)構(gòu)造的復形Δχ（卡方復形），并證明了這些復形Δχ都是純復形且頂點可分解，因而是shellable純復形，進而都是Cohen-Macaulay復形.

Guo等［6-7］定義并研究了一類特殊的shellable復形，稱為強shellable復形.其優(yōu)于一般shellable復形之處在于強shellable純復形的極大面理想都具有線性商.

單純復形與圖論有著非常緊密的聯(lián)系.對于一個有限簡單圖，可以定義其獨立復形，該復形以圖的頂點集作為基礎集，以圖的獨立點集作為面.若圖的獨立復形具有某些特定性質(zhì)，就稱該圖具有對應的性質(zhì).關于圖的某類性質(zhì)的研究也是組合交換代數(shù)的一個重要課題［8-11］.文獻［12］中構(gòu)造了各種“whiskered”圖類，具有較好的組合代數(shù)性質(zhì)，如頂點可分解、shellable、強shellable等.為探討卡方復形的強shellable性質(zhì)，筆者定義一類TA復形后驗證了其上任一染色所對應的卡方復形Δχ都具有強shellable性質(zhì)，并證明了復形Δ在任意一個染色χ下的卡方復形Δχ都是matroid，當且僅當Δ是單形.此外，還分析了“whiskered”圖在復形層面上所對應的卡方復形是否具有類似的性質(zhì).

1 預備知識與卡方復形

對于頂點集V={x1，x2，…，x n}，定義在V上的一個復形Δ是V的一個子集族，滿足：對任意F∈Δ以及G?F，都有G∈Δ.復形Δ里的元素叫作面，所有面中按照集合包含關系的極大者稱為極大面，所有極大面構(gòu)成的集合記作F(Δ).面F的維數(shù)定義為dim(F)=|F|-1，而復形Δ的維數(shù)定義為dim(Δ)=max{dim(F)|F∈Δ}.若Δ所有的極大面都具有相同的維數(shù)，則稱Δ為純復形.若Δ只有一個極大面，則稱Δ為單形.

定義1 設Δ為一個復形，如果存在Δ的極大面集F(Δ)上一個全序F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn) n，滿足以下條件，則稱復形Δ具有強shellable性質(zhì)，而稱該全序F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn) n為一個強shelling序：

對任意的1≤i＜j≤n，存在1≤k＜j，使得以下3個條件同時成立：

1）|F jF k|=1；

2）F jF k?F jF i；

3）F kF j?F i.

定義2 設Δ為一個復形.若極大面集F(Δ)滿足以下調(diào)換條件，則稱Δ為一個matroid復形：對任意的A，B∈F(Δ)，以及任意的a∈AB，都存在b∈BA，使得(A{a})∪∈F(Δ)成立.

設G為一個簡單圖，V(G)為其頂點集，E(G)為其邊集.對于A?V(G)，若不存在x，y∈A，使得{x，y}∈E(G)成立，則A叫作圖G的一個獨立點集.圖G所有獨立點集組成的集合記為Ind(G).顯然，對任意獨立點集A，若B?A，則B仍然是一個獨立點集.故Ind(G)也是一個復形，稱為圖G的獨立復形，其極大面為圖G的極大獨立點集.若獨立復形Ind(G)具有強shellable性質(zhì)，則稱圖G為強shellable圖.

在文獻［5］中引入了平衡復形的定義.本文的主要研究對象卡方復形就是一類平衡復形.

實際上，要求每一個面F i滿足|F i∩F j|≤1，等價于要求每一個極大面F i滿足|F i∩F j|≤1.

在文獻［5］中給出了一類平衡復形的構(gòu)造方法，對任意一個復形Δ及Δ上的任意一個染色χ，基于Δ的面可構(gòu)造一些新的基數(shù)相等的集合，以這些集合作為極大面生成的復形，記為Δχ.為了表述的方便，稱這類復形為卡方復形（χ-complex）.確切的定義如下.

由構(gòu)造1可知，卡方復形是純的.易見，由一個s-染色所構(gòu)造的卡方復形的維數(shù)為s-1.并且，該卡方復形是s-可染的，故為一個平衡復形，如例1所示.

例1 設Δ=x1x3，x2x3x4，χ：{x1，x4}∪{x2}∪{x3}為Δ的一個染色.那么集合Δ為如下集合：{?，x3，x2，x2x3，x1，x1x3，x4，x4x3，x4x2，x4x2x3}.根據(jù)定義，Δχ的極大面集為F(Δχ)={y1y2y3，y1y2x3，y1x2y3，y1x2x3，x1y2y3，x1y2x3，x4y2y3，x4y2x3，x4x2y3，x4x2x3}.

定理1（文獻［5］定理7）設Δ是一個復形，χ是Δ的一個s-染色，那么Δχ是頂點可分解的.

由定理1可知，對任意一個復形以及其上任意一個s-染色，Δχ總是頂點可分解的，而復形的頂點可分解性質(zhì)與強shellable性質(zhì)一般情況下不能互相推導［6］.因此，對卡方復形的強shellable性質(zhì)的研究也有著非常重要的意義.

定理2（文獻［5］推論9） 設Δ是一個復形，χ是Δ的一個s-染色，那么Δχ一個是shellable復形，且若F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn) m是Δ所有面的一個升維排列序列，那么F1∪τ1，F(xiàn)2∪τ2，…，F(xiàn) m∪τm是Δχ的一個shelling序列.

由定理1可知，Δχ是一個shellable復形.定理2的后半部分則給出了Δχ的一個shelling序列的構(gòu)造方法.受此啟發(fā)，用類似的方法尋找Δχ的一個強shelling序列.

2 卡方復形的強shellable性與matroid性

主要研究卡方復形的強shellable性質(zhì).研究強shellable性質(zhì)，需要構(gòu)造強shelling序，因此定義了卡方復形極大面上的一個全序關系.

其中，

顯然σ是一個單射.

易見，?χ為定義在Δχ所有極大面上的一個全序關系.例1中給出了一個卡方復形Δχ所有極大面的集合，其書寫順序就是按照?χ的一個排序.

可以證明以下結(jié)論.

定理3 設Δ是定義在V={x1，x2，…，x n}上的一個復形.令染色χ：V={x1}∪{x2}∪…∪{x n}，那么Δ在染色χ下的卡方復形Δχ是一個強shellable復形.

證明設Δ={F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn) m}，那么由構(gòu)造1可知Δχ是V∪{y1，y2，…，y n}上的一個復形.下面證明該卡方復形極大面上的字典序是Δχ的一個強shelling序列.

對任意的1≤i＜j≤m，不妨設σ(F i∪τi)=(i1，i2，…，i n)，σ(F j∪τj)=(j1，j2，…，j n)，其中i r，j r∈{0，r}，r∈[n].由于F i∪τi?χF j∪τj，那么由定義4可知存在r∈[n]，使得i1=j1，…，i r-1=j r-1，i r＜j r，所以有x r∈F jF i和y r∈τiτj.令F k=F j{x r}，易見F k∈Δ，則在F(Δχ)中有一個極大面為F k∪τk.直接驗證可知，τk=τj∪{y r}.易見，F(xiàn) k∪τk?χF j∪τj，且有

以及

由此可見，Δχ的極大面上的字典序是一個強shelling序列.因此，Δχ是一個強shellable復形.

在文獻［9］中構(gòu)造了一系列的“whiskered”圖，從圖的角度得到了以下結(jié)論，而通過定理3可以得到如下的一個結(jié)論.

推論1（文獻［9］推論5.3）設G為一個簡單圖，其中頂點集V(G)={x1，x2，…，x n}，邊集為E(G).在圖G的基礎上構(gòu)造一個新的圖G W，使得其頂點集為V(G)∪{y1，y2，…，y n}，邊集為E(G)∪{{x1，y1}，{x2，y2}，…，{x n，y n}}.那么G W是一個強shellable圖.

證明設Δ=Ind(G)，令χ：V={x1}∪{x2}∪…∪{x n}為Δ的一個染色.顯然Ind(G W)=Δχ，那么由定理3可知Ind(G W)是一個強shellable復形，因此G W是一個強shellable圖.

對于任意一個簡單圖，總會存在唯一一個獨立復形與之對應，但并不是所有復形都能作為某個圖的獨立復形.故在復形上考慮的問題更具有一般性.

定理3說明對任意一個復形Δ，總會存在一個染色χ（即基礎集上每個點染不同色），使得對應的卡方復形是一個強shellable復形.類似地，對于一個復形Δ，若Δ在任意一種染色下的卡方復形都為強shellable復形，則Δ應當滿足某種條件.為了探究此條件，先引入以下概念.

設Δ為定義在基礎集V上的一個復形，φ是V上的一個置換.定義映射

定義5 設Δ為定義在基礎集V上的一個復形.若對任意不共面的2點x，y∈V（即{x，y}?Δ），由x，y的對換φ，

所誘導的映射φˉ都是Δ的自同構(gòu)，則稱Δ為一個TA復形.

定理4 設Δ為一個TA復形，那么對于Δ的任意一個染色χ，Δχ是一個強shellable復形.

對任意的1≤i＜j≤m，不妨設σ(F i∪τi)=(i1，i2，…，i s)，σ(F j∪τj)=(j1，j2，…，j s)，其中i1，i2，…，i s∈{0，1，…，n}，j1，j2，…，j s∈{0，1，…，n}.由于F i∪τi?χF j∪τj，那么由定義4可知存在r∈[s]，使得i1=j1，…，i r-1=j r-1，i r＜j r.

若i r=0，則F i∩V r=?，所以y r∈τiτj，且存在x j r∈V r，使得x j r∈F jF i.令F k=F j{x j r}，易見F k∈Δ，則在F(Δχ)中有一個極大面為F k∪τk.直接驗證可知τk=τj∪{y r}.易見，F(xiàn) k∪τk?χF j∪τj，且

和

則在F(Δχ)中有一個極大面為F k∪τk.直接驗證可知τk=τj.由于

因此，F(xiàn) k∪τk?χF j∪τj，且

和

由此可見，Δχ的極大面集上的字典序是Δχ的一個強shelling序列.因此，Δχ是一個強shellable復形.

則對該復形Δ的任意一個s-染色χ，Δχ是一個強shellable復形.

證明易見這里所構(gòu)造的復形Δ是一個TA復形，所以由定理4可知結(jié)論成立.

此外，直接檢驗可知，推論4中所構(gòu)造的復形Δ是一個matroid復形，但在某些染色下對應的卡方復形Δχ并不是matroid復形.因此，考慮了一個復形應當具備怎樣的性質(zhì)，才能使得該復形在任意染色下對應的卡方復形總是matroid復形，且得出了如下結(jié)論.

命題1 設Δ是一個復形.那么，對于Δ的任意一個染色χ，Δχ是matroid的當且僅當Δ是一個單形.

證明設V={x1，x2，…，x n}為Δ的基礎集.若Δ為一個單形，那么Δ= {x1，x2，…，x n}.顯然，Δ只有一個染色，即V={x1}∪{x2}∪…∪{x n}，記為χ.令Δ={F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn) m}，證明Δχ的極大面集上的字典序是Δχ的一個強shelling序列.

對任意的i，j∈[m]，i≠j，有a∈(F i∪τi)(F j∪τj)，此時有2種情形.

情形1a∈F iF j，不妨設a=x t，那么y t∈τjτi.取F k=F i{x t}，顯然F k∈Δ，那么Δχ有一個極大面為F k∪τk，且τk=τi∪{y t}.進而有y t∈(F j∪τj)(F i∪τi)和

情形2a∈τiτj，不妨設a=y s，那么x s∈F jF i，進而有x s∈(F j∪τj)(F i∪τi).此時考慮F k=F i∪{x s}?V，由于Δ是一個單形，所以F k∈Δ.由此可知Δχ有一個極大面為F k∪τk，且τk=τi{y s}.于是

綜上所述，Δχ是一個matroid復形.

反之，若對于Δ的任意一個染色χ，Δχ是matroid的.用反證法.假設Δ不是單形，那么Δ至少會存在2個不同的極大面F1，F(xiàn)2.令染色χ為V={x1}∪{x2}∪…∪{x n}.那么Δχ會存在2個不同的極大面F1∪τ1，F(xiàn)2∪τ2，其中τi={y j|{x j}∩F i=?}，i=1，2.由于F1?F2，故F1F2≠?，不妨設x1∈F1F2，那么y1∈τ2τ1.考慮F2∪(τ2{y1})，對任意的r∈[n]，r≠1，總有x r∈F2或者y r∈τ2{y1}.又因為Δχ是matroid的，故必有

由Δχ的定義可知F2∪{x1}∈Δ，這與F2是極大面矛盾，故Δ是一個單形.