田大可，范小東，金 路，劉榮強(qiáng)，張 珂

（1.沈陽(yáng)建筑大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110168；2.沈陽(yáng)建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110168；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

空間可展開(kāi)天線是航天器無(wú)線通信系統(tǒng)中不可或缺的重要裝備［1-3］，同時(shí)也是國(guó)際宇航界研究的前沿與熱點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于星際探測(cè)、衛(wèi)星導(dǎo)航、移動(dòng)通信、電子偵察和射電天文等領(lǐng)域［4-6］。在“十四五”規(guī)劃和2035 年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要中，規(guī)劃的空間基礎(chǔ)設(shè)施體系建設(shè)、星際探測(cè)、探月工程四期、北斗產(chǎn)業(yè)化等重大航天工程均對(duì)空間可展開(kāi)天線提出了迫切的需求，開(kāi)展可展開(kāi)天線相關(guān)理論及應(yīng)用研究具有較為重要的科研價(jià)值和實(shí)際意義。

航天器與地面距離約在幾萬(wàn)至幾百萬(wàn)公里，導(dǎo)致電磁波在穿越星際的過(guò)程中會(huì)有較明顯損耗。為了增加數(shù)據(jù)傳輸和接收能力、提高分辨率、增加通信距離，可展開(kāi)天線需要向高精度化和大型化方向發(fā)展，這對(duì)天線展開(kāi)后的形面精度提出了更高的要求。MORTEROLLE 等［7］基于力密度法，提出一種計(jì)算索網(wǎng)張力的方法，即利用受拉索的節(jié)點(diǎn)力將索網(wǎng)定位在目標(biāo)表面上。此外，將這些節(jié)點(diǎn)力施加在不同的曲面上，驗(yàn)證了該方法的有效性。YANG 等［8］提出一種索網(wǎng)張力分布迭代方法，該方法具有良好的通用性，無(wú)論索網(wǎng)前后表面是否對(duì)稱，都能獲得均勻的張力。LIU 等［9］基于非線性有限元法和基因遺傳算法，綜合考慮可展開(kāi)天線結(jié)構(gòu)柔性變形的影響，提出一種張緊索預(yù)應(yīng)力分布設(shè)計(jì)方法，通過(guò)優(yōu)化確定了張緊索的最優(yōu)預(yù)緊量和預(yù)張力，提高了索肋張拉式可展開(kāi)天線結(jié)構(gòu)的形面精度和固有頻率。AGRAWAL 等［10］提出一種索網(wǎng)結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分方法，并給出了誤差計(jì)算公式。楊東武等［11］提出了用空間任意三角形逼近拋物面的軸向方均根誤差計(jì)算公式，發(fā)現(xiàn)拋物面索網(wǎng)天線形面在天線光學(xué)口徑面上投影為正三角形網(wǎng)格時(shí)原理誤差最小。范葉森等［12］提出一種等張力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形的坐標(biāo)迭代算法，使用等張力找形算法得到的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)繩索張力的均勻性好于極小范數(shù)法和等力密度法。楊癸庚等［13］提出一種基于力密度思想的找形與找力相結(jié)合的優(yōu)化迭代設(shè)計(jì)方法，將索網(wǎng)結(jié)構(gòu)初始形態(tài)設(shè)計(jì)分為前、后索網(wǎng)設(shè)計(jì)兩部分，先設(shè)計(jì)前索網(wǎng)再設(shè)計(jì)后索網(wǎng)，索網(wǎng)張力的均勻性得到了進(jìn)一步提升。索網(wǎng)結(jié)構(gòu)由柔性繩索和金屬絲網(wǎng)等組成，不同的材料受熱變形不協(xié)調(diào)會(huì)影響索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力分布與形面精度，李團(tuán)結(jié)等［14］通過(guò)建立結(jié)構(gòu)力學(xué)模型，研究了索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的力熱匹配設(shè)計(jì)問(wèn)題，提出一種索網(wǎng)結(jié)構(gòu)力熱匹配設(shè)計(jì)方法，仿真結(jié)果表明，在溫變環(huán)境下，所提出的方法可使形面精度得到一定程度的提升。日本宇宙航空研究開(kāi)發(fā)機(jī)構(gòu)［15-16］為工程試驗(yàn)衛(wèi)星Engineering Test Satellite VIII（ETSVIII）制出一種構(gòu)架式可展開(kāi)天線，該天線由14個(gè)直徑為4.8 m 的六棱柱模塊組成，天線完全展開(kāi)后的有效口徑為13 m，形面精度不大于2.4 mm。MITSUGI 等［17］介紹了ETS-VIII 可展開(kāi)天線的結(jié)構(gòu)組成及表面形狀的調(diào)整方法，通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)可展開(kāi)天線表面精度主要取決于可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)的精度。劉兆晶等［18］建立了多模塊可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)空間幾何模型，并開(kāi)展了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及展開(kāi)試驗(yàn)研究。

由上述闡述可見(jiàn)，對(duì)可展開(kāi)天線精度的研究大多集中在索網(wǎng)的初始結(jié)構(gòu)形態(tài)和索網(wǎng)張力調(diào)整等索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的精度上，對(duì)影響可展開(kāi)天線形面精度的另一重要因素，即支撐結(jié)構(gòu)的展開(kāi)精度問(wèn)題則研究較少。此外，隨著航天科技的快速發(fā)展，現(xiàn)有單一模塊構(gòu)型的可展開(kāi)天線逐漸暴露出結(jié)構(gòu)耦合度高、擴(kuò)展性差等缺點(diǎn)，展開(kāi)口徑為幾十米、甚至上百米的、超多模塊數(shù)量的大型模塊化可展開(kāi)天線將成為發(fā)展的主流，故針對(duì)這種新構(gòu)型的精度問(wèn)題開(kāi)展研究具有較為重要的研究意義。本文建立了一種可用于大口徑、超多模塊的六棱柱模塊化空間可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)形面精度分析模型。首先，分析可展開(kāi)天線的組成，研究模塊的拓?fù)湟?guī)律，確定影響結(jié)構(gòu)拓?fù)涞牡湫湍K；其次，基于結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將單模塊等效為一包絡(luò)圓，通過(guò)求解典型模塊的包絡(luò)圓方程，建立六棱柱模塊化空間可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)的形面精度分析模型；最后，從數(shù)值仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證兩個(gè)方面對(duì)所建立的模型進(jìn)行了驗(yàn)證及分析。

2 可展開(kāi)天線的組成及模塊拓?fù)湟?guī)律

2.1 可展開(kāi)天線的組成

典型六棱柱模塊化空間可展開(kāi)天線屬于金屬網(wǎng)面天線的一種類型，主要由柔性金屬反射網(wǎng)和剛性支撐結(jié)構(gòu)等組成。支撐結(jié)構(gòu)是天線的骨架，主要對(duì)金屬反射網(wǎng)起到展開(kāi)、支撐和定位等作用。支撐結(jié)構(gòu)通常由若干個(gè)六棱柱模塊組成，每個(gè)模塊又由6 個(gè)基本單元（也稱為：肋單元）組成，肋單元是構(gòu)成可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)的最小單元。肋單元如圖1 所示。

圖1 肋單元Fig.1 Rib unit

由圖1可知，肋單元是一種具有折疊與展開(kāi)功能的平面連桿機(jī)構(gòu)，依靠彈簧驅(qū)動(dòng)實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)展開(kāi)。

模塊化空間可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)的組成如圖2 所示，6 個(gè)肋單元組成一個(gè)六棱柱模塊，若干個(gè)六棱柱模塊組成空間可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)。為了增加結(jié)構(gòu)的剛度，在模塊的邊緣增加張緊索。支撐結(jié)構(gòu)的表面通常是球面，天線的工作表面為拋物面，兩者之間的形狀差異一般采用擬合及豎向拉索等方式進(jìn)行修正和調(diào)節(jié)［19］。

圖2 可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)的組成Fig.2 Composition of deployable antenna support struc?ture

2.2 模塊拓?fù)湟?guī)律

為了研究六棱柱模塊化結(jié)構(gòu)的拓?fù)湟?guī)律，按照“由少至多、由簡(jiǎn)至繁”的思想，對(duì)其開(kāi)展研究。觀察圖3 所示的模塊拓?fù)湟?guī)律示意圖可以發(fā)現(xiàn)，六邊形結(jié)構(gòu)的拓?fù)湟?guī)律既可以看作是分層拓?fù)?，也可以看作是繞中心模塊的環(huán)形陣列拓?fù)?。本文將分層拓?fù)浜铜h(huán)形陣列兩種拓?fù)浞绞浇Y(jié)合起來(lái)，即先將六邊形模塊分層，然后再研究每層模塊的陣列拓?fù)湟?guī)律。

圖3 模塊拓?fù)湟?guī)律Fig.3 Module topology rule

以中心模塊為第一層，環(huán)繞中心模塊的6 個(gè)模塊為第二層，環(huán)繞第二層的12 個(gè)模塊為第三層，依次類推。第二層的6 個(gè)模塊可看作是由模塊L2-1 陣列而成，第三層的12 個(gè)模塊可看作是由模塊L3-1 和L3-2 陣列而成（由模塊L3-1 陣列而成的六個(gè)模塊稱為第三層第一類模塊，由模塊L3-2 陣列而成的六個(gè)模塊稱為第三層第二類模塊，類似的定義下文不再贅述），第四層的18 個(gè)模塊可看作是由模塊L4-1、L4-2 和L4-3 陣列而成，第五層的24 個(gè)模塊可看作是由模塊L5-1、L5-2、L5-3 和L5-4 陣列而 成。定義模 塊L1-1、L2-1、L3-1、L3-2、L4-1、L4-2、L4-3、L5-1、L5-2、L5-3 和L5-4 等為典型模塊，其余模塊可由典型模塊經(jīng)環(huán)形陣列得到。

根據(jù)上述拓?fù)湟?guī)律，每層模塊的數(shù)量g（i）與層數(shù)i滿足關(guān)系：

同時(shí)，每層中，典型模塊的數(shù)量（fi）與層數(shù)i滿足關(guān)系：

典型模塊的總數(shù)h（i）與層數(shù)i滿足關(guān)系：

所以，當(dāng)需要建模研究一個(gè)i層的模塊化結(jié)構(gòu)時(shí)，只需要建h（i）個(gè)典型模塊的模型，其余模塊可經(jīng)過(guò)陣列或坐標(biāo)變換得到。

3 形面精度分析建模

可展開(kāi)天線的形面精度通常用均方根誤差來(lái)衡量。均方根誤差又稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差，是指測(cè)量值與其理論值偏差的均方根。均方根誤差越小，則被測(cè)物體的形面精度就越高。實(shí)測(cè)值可通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得，理論值則需要通過(guò)數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到。模塊化空間可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)是由若干個(gè)六棱柱模塊所組成，所以求取模塊間連接點(diǎn)的三維坐標(biāo)是開(kāi)展可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)形面精度分析的前提和基礎(chǔ)，故需要建立連接點(diǎn)的空間數(shù)學(xué)模型，即形面精度分析模型。

3.1 建模流程

首先，用半徑為r的圓代表六棱柱模塊，該圓即稱為對(duì)應(yīng)六棱柱模塊的包絡(luò)圓，如圖4 所示。此時(shí)，只要6 個(gè)肋單元的尺寸完全相同，無(wú)論如何調(diào)整肋單元夾角，點(diǎn)A1～A6始終在包絡(luò)圓上。由于可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)的所有肋單元尺寸相等，所以所有六棱柱模塊均可等效為半徑相等的包絡(luò)圓，這將有利于后續(xù)的建模過(guò)程。

圖4 包絡(luò)圓Fig.4 Envelope circle

其次，將每個(gè)六棱柱模塊都用一個(gè)包絡(luò)圓表示，就得到了可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)的包絡(luò)圓模型。最后，求出包絡(luò)圓交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到對(duì)應(yīng)模塊連接點(diǎn)的坐標(biāo)。形面精度分析模型建模流程如圖5 所示。

圖5 形面精度分析模型建模流程Fig.5 Modeling process of surface accuracy analysis model

3.2 形面精度分析模型

將六棱柱模塊等效為包絡(luò)圓之后，需要計(jì)算出所有包絡(luò)圓在空間直角坐標(biāo)系中的方程，進(jìn)而通過(guò)聯(lián)立方程組解出相鄰包絡(luò)圓的交點(diǎn)坐標(biāo)（即對(duì)應(yīng)模塊連接點(diǎn)的坐標(biāo)）。下面分別介紹包絡(luò)圓方程在空間中的表示方法、交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算和肋單元夾角的計(jì)算方法這3 個(gè)具體建模過(guò)程。

3.2.1 包絡(luò)圓數(shù)學(xué)模型

在空間中，球面與平面的交線為一個(gè)空間圓。平面的點(diǎn)法式方程可由平面上的一點(diǎn)和平面的一個(gè)法向量所確定，假設(shè)空間直角坐標(biāo)系建在球心，那么任何一個(gè)包絡(luò)圓的方程均可表示為：

其中：Sn為圓n的圓心，其坐標(biāo)為(xSn，ySn，zSn)，R為球面半徑。所以，求包絡(luò)圓n方程的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求包絡(luò)圓n的圓心坐標(biāo)。

3.2.2 圓心坐標(biāo)計(jì)算

圖6 是圖5 中空間直角坐標(biāo)系的俯視示意圖（并非嚴(yán)格的俯視圖，只是為了說(shuō)明位置關(guān)系的一種示意圖），圖6 中的包絡(luò)圓為圖3 中提到的典型模塊所對(duì)應(yīng)的包絡(luò)圓。

圖6 典型包絡(luò)圓Fig.6 Typical envelope circle

根據(jù)模塊的拓?fù)湟?guī)律可知，包絡(luò)圓1，2，4，7，11 的圓心在平面y=x?tan(π/6)上，包絡(luò)圓3 和8 的圓心在平面y=0 上，包絡(luò)圓5 和6、9 和10 的圓心分別關(guān)于平面xoz對(duì)稱。也就是說(shuō)，包絡(luò)圓1～11 中，一類包絡(luò)圓的圓心在某個(gè)平面上，另一類包絡(luò)圓的圓心雖然不在特殊位置，但相互間關(guān)于某些平面對(duì)稱。

基于對(duì)上述包絡(luò)圓圓心在空間中兩類特殊位置關(guān)系的分析，針對(duì)每類位置關(guān)系提出一種圓心坐標(biāo)的計(jì)算方法。

3.2.2.1 點(diǎn)面法

點(diǎn)面法是一種根據(jù)兩個(gè)已知條件來(lái)求圓心坐標(biāo)的方法。兩個(gè)已知條件分別為：a.已知所求包絡(luò)圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)；b.已知所求包絡(luò)圓的圓心在某平面上且該平面的方程為已知。點(diǎn)面法適用于所求包絡(luò)圓的圓心在某已知平面上的情況。

以圖6 中包絡(luò)圓2 的圓心S2為例，假設(shè)點(diǎn)A1的坐標(biāo)已知，點(diǎn)S2在平面y=x?tan(π/6)上，那么點(diǎn)S2滿足以下方程組：

其中：r為包絡(luò)圓半徑，R為球面半徑。式（5）有兩個(gè)解，一個(gè)為點(diǎn)S1的坐標(biāo)，另一個(gè)為點(diǎn)S2的坐標(biāo)。

3.2.2.2 兩點(diǎn)法

兩點(diǎn)法是一種根據(jù)一個(gè)已知條件來(lái)求圓心坐標(biāo)的方法。這個(gè)已知條件為：已知所求包絡(luò)圓上某不重合兩點(diǎn)的坐標(biāo)。兩點(diǎn)法適用于所求包絡(luò)圓的圓心不在特殊位置的情況。

以圖6 中包絡(luò)圓5 的圓心S5為例，假設(shè)點(diǎn)D3和點(diǎn)C1的坐標(biāo)為已知，那么點(diǎn)S5的坐標(biāo)滿足以下方程組：

上式有兩個(gè)解，一個(gè)為點(diǎn)S3的坐標(biāo)，另一個(gè)為點(diǎn)S5的坐標(biāo)。

下面介紹用點(diǎn)面法和兩點(diǎn)法求解圖6 中11個(gè)圓的圓心坐標(biāo)的方法。通過(guò)點(diǎn)面法，包絡(luò)圓1，2，4，7，11，3，8 的圓心坐標(biāo)可以計(jì)算出來(lái)；通過(guò)兩點(diǎn)法，包絡(luò)圓5，9 的圓心坐標(biāo)可以計(jì)算出來(lái)，包絡(luò)圓6，10 的圓心坐標(biāo)可根據(jù)對(duì)稱關(guān)系（包絡(luò)圓5 和6，9 和10 的圓心分別關(guān)于平面xoz對(duì)稱）得到，具體的計(jì)算流程如圖7 所示。

圖7 圓心坐標(biāo)計(jì)算流程Fig.7 Calculation process of center coordinates

參考圖4 和5，點(diǎn)S1和點(diǎn)A1的坐標(biāo)可以用列向量的形式表示為：

所以，將點(diǎn)A1的坐標(biāo)作為輸入，用點(diǎn)面法可得點(diǎn)S2的坐標(biāo)。

包絡(luò)圓2 的方程與平面y=0 聯(lián)立方程組可解得點(diǎn)B1的坐標(biāo)：

上式有兩個(gè)解，一個(gè)為點(diǎn)A1的坐標(biāo)，另一個(gè)為點(diǎn)B1的坐標(biāo)。

所以，將點(diǎn)B1的坐標(biāo)作為輸入，用點(diǎn)面法可得點(diǎn)S3的坐標(biāo)。

點(diǎn)S4，S7，S8，S11的計(jì)算方法與點(diǎn)S2～S3類似。

用兩點(diǎn)法計(jì)算點(diǎn)S5的過(guò)程見(jiàn)式（6），點(diǎn)S9的計(jì)算方法與點(diǎn)S5類似。

另外，圖7 中關(guān)于平面的對(duì)稱關(guān)系（包絡(luò)圓5和6、9 和10 的圓心分別關(guān)于平面xoz對(duì)稱）是指，點(diǎn)S6和點(diǎn)S10的坐標(biāo)可通過(guò)點(diǎn)S5和點(diǎn)S9的坐標(biāo)得到：

所以，按照?qǐng)D7 所示的圓心坐標(biāo)計(jì)算流程，典型包絡(luò)圓的圓心坐標(biāo)S1～S11均可被計(jì)算出來(lái)，代入式（4），即可得到對(duì)應(yīng)包絡(luò)圓的方程。

將圖3 中的61 個(gè)模塊編號(hào)，得到模塊對(duì)應(yīng)包絡(luò)圓的編號(hào)，如圖8 所示。

圖8 包絡(luò)圓編號(hào)Fig.8 Envelope circle number

根據(jù)模塊的拓?fù)湟?guī)律，其余包絡(luò)圓的圓心坐標(biāo)可由典型包絡(luò)圓（包絡(luò)圓1～11）的圓心坐標(biāo)經(jīng)坐標(biāo)變換得到：

其中：n為包絡(luò)圓編號(hào)，取值范圍為：1～61；Rot（z，θ）為機(jī)器人學(xué)中繞z軸旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換矩陣：

式（12）給出了剩余50 個(gè)包絡(luò)圓圓心坐標(biāo)的計(jì)算方法，所以，五層共61 個(gè)模塊包絡(luò)圓的圓心坐標(biāo)均已得到，將其代入式（4），即可得到對(duì)應(yīng)包絡(luò)圓方程。

3.2.3 包絡(luò)圓交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算模型

模塊連接點(diǎn)的三維坐標(biāo)是可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及形面精度分析過(guò)程中的一個(gè)重要參數(shù)。上述包絡(luò)圓模型中，相鄰包絡(luò)圓的交點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)六棱柱模塊的連接點(diǎn)，包絡(luò)圓交點(diǎn)坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)六棱柱模塊連接點(diǎn)的準(zhǔn)確坐標(biāo)。確定包絡(luò)圓模型中所有包絡(luò)圓交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，即為包絡(luò)圓交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算模型。

若包絡(luò)圓m和k相交，交點(diǎn)分別為W1和W2，那么點(diǎn)W1和W2的坐標(biāo)可通過(guò)聯(lián)立兩個(gè)空間圓的方程來(lái)求解，即：

其中：Sm，Sk分別為包絡(luò)圓m和k的圓心坐標(biāo)；m和k的取值范圍均為1～61；Sm，Sk的確定方法見(jiàn)式（12）。式（14）有兩個(gè)解，分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)W1和W2的坐標(biāo)。

3.3 肋單元夾角數(shù)學(xué)模型

在保證所有肋單元的尺寸均相等的情況下，通過(guò)調(diào)整肋單元夾角的方法實(shí)現(xiàn)六棱柱模塊連接點(diǎn)均在同一個(gè)球面上的目標(biāo)，所以，肋單元夾角與模塊連接點(diǎn)坐標(biāo)一樣，是可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及形面精度分析過(guò)程中必須要確定的一組參數(shù)。由前文模塊拓?fù)湟?guī)律可知，只拓?fù)湮鍖訒r(shí)，一共有61 個(gè)六棱柱模塊，其中50 個(gè)模塊可由11 個(gè)典型模塊經(jīng)陣列得到，所以，只需要研究典型模塊的肋單元夾角。典型模塊1～11 以及每個(gè)模塊的肋單元夾角，如圖9 所示。

確定所有肋單元夾角的方法（例如，五層時(shí)，圖9 中的α1～α66），即為肋單元夾角數(shù)學(xué)模型。

圖9 典型模塊肋單元夾角Fig.9 Rib unit angles of typical module

圖4 所示的六棱柱模塊有6 個(gè)肋單元夾角，分別為 ：∠A1S1A2，∠A2S1A3，∠A3S1A4，∠A4S1A5，∠A5S1A6，∠A6S1A1。以肋單元夾角∠A1S1A2為例說(shuō)明肋單元夾角的計(jì)算方法，在△A1S1A2中，由余弦定理，可得：

六棱柱模塊內(nèi)的其他5 個(gè)肋單元夾角以及其他模塊內(nèi)的肋單元夾角計(jì)算公式均與肋單元夾角∠A1S1A2具有相同的形式，不同的僅是這一項(xiàng)。所以，為了用一個(gè)比較統(tǒng)一的形式來(lái)表達(dá)肋單元夾角的計(jì)算，定義函數(shù)F(x)：

其中，r為包絡(luò)圓半徑。

若W1和W2為空間中的兩點(diǎn)，那么，點(diǎn)W1和W2的距離為：

所以，圖9 中66 個(gè)肋單元夾角α1～α66的數(shù)學(xué)模型可表示為：

4 數(shù)值仿真分析

采用數(shù)值仿真軟件MATLAB，分別對(duì)包絡(luò)圓模型和形面精度分析模型進(jìn)行驗(yàn)證，并對(duì)肋單元夾角的變化規(guī)律進(jìn)行分析。

4.1 包絡(luò)圓模型驗(yàn)證

取參數(shù)R=4 701 mm，r=600 mm，五層共61個(gè)包絡(luò)圓的仿真模型，如圖10 所示，灰色半球面的半徑為R，61 個(gè)圓的半徑均為r，每個(gè)圓都是某個(gè)平面與球面的交線。

圖10 包絡(luò)圓模型（5 層共61 個(gè)包絡(luò)圓）Fig.10 Envelope circle model（61 envelope circles in 5 layers）

由圖10 可以看出：

（1）第一層包絡(luò)圓的數(shù)量為1，第二層為6，第三層為12，第四層為18，第五層為24。這表明每層模塊的數(shù)量與層數(shù)的關(guān)系正確，即式（1）是正確的，也即模塊的分層拓?fù)湟?guī)律正確。

（2）五層共61 個(gè)包絡(luò)圓與球面吻合良好。這表明式（4）和式（12）所表示的包絡(luò)圓模型是正確的，同時(shí)也表明模塊的陣列拓?fù)湟?guī)律正確。

（3）任意相鄰三個(gè)包絡(luò)圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，前四層中每個(gè)包絡(luò)圓上均有6 個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)分布較為均勻。這表明不改變肋長(zhǎng)而僅改變肋單元夾角的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)思路可行，用包絡(luò)圓代表六棱柱模塊的建模思路（即包絡(luò)圓思想）可以準(zhǔn)確地確定模塊連接點(diǎn)的坐標(biāo)。

4.2 形面精度分析模型驗(yàn)證

構(gòu)成六棱柱模塊化空間可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)的所有肋單元尺寸相等。肋單元的主要尺寸取表1 中的值，肋單元夾角由式（17）確定，參數(shù)R的值取4 701 mm，參數(shù)r的值取600 mm。

表1 肋單元主要尺寸Tab.1 Main dimensions of rib unit

將模塊化空間可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)的形面精度分析模型在MATLAB 中用可視化的方式呈現(xiàn)出來(lái)，仿真結(jié)果如圖11 所示。由于模塊數(shù)量較多，部分繪圖細(xì)節(jié)無(wú)法全部展示，所以取第三層與第四層之間的A位置、第二層與第三層之間的B位置、第一層與第二層之間的C位置、第四層與第五層之間的D位置等4 個(gè)位置增加局部放大圖，以此來(lái)說(shuō)明模塊是否實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確連接。

圖11 形面精度分析模型的MATLAB 仿真結(jié)果Fig.11 MATLAB simulation results of surface accuracy analysis model

由圖11 可以看出：

（1）通過(guò)對(duì)圖11 中的模型整體及4 個(gè)特征位置的局部放大圖的分析，發(fā)現(xiàn)模塊間可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確連接，連接處的偏差為0。這說(shuō)明通過(guò)形面精度分析模型計(jì)算得到的模塊連接點(diǎn)坐標(biāo)和肋單元夾角是正確的。

（2）模塊數(shù)量越多，整個(gè)可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)的外形越像一個(gè)“大六邊形”。這說(shuō)明整個(gè)模塊化結(jié)構(gòu)滿足60°環(huán)形陣列拓?fù)湟?guī)律，整個(gè)模塊化結(jié)構(gòu)可由若干個(gè)典型模塊經(jīng)陣列得到。

（3）通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，隨著模塊數(shù)量的增加，越往外層，肋單元夾角需要調(diào)整的幅度（以60°為基準(zhǔn)，下同）越大。

4.3 肋單元夾角與模型參數(shù)的關(guān)系分析

式（17）是肋單元夾角數(shù)學(xué)模型，該模型與模塊連接點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，式（14）是模塊連接點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算模型，該模型與參數(shù)R、r有關(guān)，所以肋單元夾角數(shù)學(xué)模型受參數(shù)R，r影響。由于模塊化可展開(kāi)天線的拓?fù)浞绞届`活，可通過(guò)改變模塊的大小和數(shù)量來(lái)實(shí)現(xiàn)口徑的快速縮放，所以研究參數(shù)r對(duì)肋單元夾角的影響規(guī)律，對(duì)于實(shí)現(xiàn)相同口徑情況下模塊大小和數(shù)量的最優(yōu)配置問(wèn)題具有參考意義。

最外層模塊由于部分肋單元不受約束（在圖9 中，點(diǎn)F2，F(xiàn)3，G1，H1，J1，J2不受約束，故肋單元夾角α59，α60，α55，α43，α48，α54，α49，α66，α61，α62可 在一定范圍內(nèi)隨意給定），第一層模塊由于肋單元夾角α1～α6始終為60°而不受參數(shù)r的影響，所以本文僅研究參數(shù)r對(duì)肋單元夾角α7～α42的影響。令參數(shù)r為變量，變化范圍為1～600 mm，參數(shù)R為：4 701 mm。由肋單元夾角數(shù)學(xué)模型得到角α7～α42隨參數(shù)r的變化曲線，如圖12 所示。

由圖12 可以看出：

圖12 肋單元夾角與參數(shù)r 的關(guān)系Fig.12 The relationship between rib unit angle and the parameter r

（1）當(dāng)r趨于0 時(shí)，角α7～α42均趨于60°；當(dāng)r逐漸增大時(shí)，肋單元夾角α8，α23，α20，α41，α38，α13，α28，α25，α31，α18，α33，α36，α30隨r增大而減 小，角α7，α15，α9，α11，α16的值一直為60°，其余18 個(gè)角隨r增大而增大。說(shuō)明在R不變的情況下，r越大，肋單元夾角需要調(diào)整的幅度越大。

（2）在r增大的過(guò)程中，肋單元夾角α32和α29是角α7～α42中的最大角，肋單元夾角α38是角α7～α42中的最小角。說(shuō)明隨著r的變化，角α38，α32和α29是肋單元夾角α7～α42中的一組極值，角α38，α32和α29的角度 可用于判斷r的取值 是否合理，若角α38，α32和α29偏離60°太多，則說(shuō) 明r的取值不合適。

（3）模塊2 中，肋單元夾角α7，α9和α11隨參數(shù)r的變化曲線重合，α10和α12的曲線重合；模塊3 中，肋單元夾角α13和α18的曲線重合，α14和α17的曲線重合，α15和α16的曲線重合；所以模塊2 和3 的肋單元夾角變化線圖看起來(lái)只有3 條曲線。從模塊4 開(kāi)始，曲線條數(shù)逐漸增多，說(shuō)明模塊數(shù)量越多，肋單元夾角變化規(guī)律越復(fù)雜、對(duì)稱關(guān)系越不明顯。

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

數(shù)字近景攝影測(cè)量是一種通過(guò)分析記錄在照片上的影像，來(lái)確定被測(cè)物體的位置、大小和形狀的非接觸式測(cè)量方法，具有測(cè)量精度高、速度快、適應(yīng)性好、便攜性高等特點(diǎn)。本文采用美國(guó)GSI 公司研制的工業(yè)數(shù)字近景攝影測(cè)量系統(tǒng)V-STARS/S8 進(jìn)行測(cè)量，該系統(tǒng)在10 m 范圍內(nèi)測(cè)量精度可以達(dá)到0.08 mm，被測(cè)物體尺寸從0.5 m 到100 m 均可測(cè)量。

采用該方法對(duì)由7 個(gè)模塊組成的模塊化可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行形面精度測(cè)量試驗(yàn)，分析影響形面精度的特征點(diǎn)的誤差。單模塊樣機(jī)如圖13 所示。將模塊化可展開(kāi)天線原理樣機(jī)安裝在微重力實(shí)驗(yàn)裝置中，試驗(yàn)布置如圖14 所示。以兩層共7 個(gè)模塊為試驗(yàn)對(duì)象，研究模塊之間的連接精度。將模塊與模塊之間的連接點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，如圖15 所示。

圖13 單模塊樣機(jī)Fig.13 Prototype of single module

圖14 形面精度測(cè)量試驗(yàn)布置Fig.14 Test layout of surface accuracy measurement

圖15 特征點(diǎn)編號(hào)Fig.15 Feature point number

選取了12 個(gè)模塊連接點(diǎn)和7 個(gè)模塊中心點(diǎn)，共19 個(gè)特征點(diǎn)。通過(guò)攝影測(cè)量的方式測(cè)量圖15中19 個(gè)特征點(diǎn)的坐標(biāo)，共開(kāi)展10 次試驗(yàn)，并取測(cè)量值的平均值。特征點(diǎn)坐標(biāo)的理論值可通過(guò)第3小節(jié)計(jì)算得到，將19 個(gè)特征點(diǎn)坐標(biāo)的理論值與測(cè)量值通過(guò)可視化的方式呈現(xiàn)出來(lái)，如圖16 所示。由圖16 可以看出，19 個(gè)特征點(diǎn)的實(shí)測(cè)值與理論值從宏觀角度觀察，其吻合度較高。

圖16 特征點(diǎn)測(cè)量值與理論值對(duì)比Fig.16 Comparison of measured and theoretical values

進(jìn)一步分析，特征點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)測(cè)值與理論值間的距離為特征點(diǎn)的絕對(duì)誤差，實(shí)測(cè)坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離相對(duì)于理論坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離為特征點(diǎn)的相對(duì)誤差，特征點(diǎn)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別如圖17（a）和17（b）所示，絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的頻率分布直方圖分別如圖17（c）和17（d）所示。

由圖17（a）和17（b）可以看出，點(diǎn)17 的絕對(duì)誤差最大，點(diǎn)3 的相對(duì)誤差最大。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)點(diǎn)17 處于支撐結(jié)構(gòu)的最外層，由于運(yùn)動(dòng)鏈較長(zhǎng)，構(gòu)件間連接后產(chǎn)生了積累誤差；點(diǎn)3 的相對(duì)誤差最大，其可能原因是由于該點(diǎn)離中心模塊的距離較近，相對(duì)誤差對(duì)這個(gè)距離參數(shù)比較敏感，一個(gè)較小的絕對(duì)誤差增量都可能引起相對(duì)誤差較大的變化。由圖17（c）和17（d）可以看出，絕對(duì)誤差主要分布在5～10 mm，共包含9 個(gè)點(diǎn)；相對(duì)誤差主要分布在0.05%～0.1%，共包含7 個(gè)點(diǎn)，表明誤差值是普遍偏小的。本文被測(cè)試對(duì)象的模塊化可展開(kāi)天線原理樣機(jī)其展開(kāi)尺寸約為3 m×3 m，測(cè)量系統(tǒng)的誤差約占絕對(duì)誤差的0.4%～1.6%，由此可見(jiàn)測(cè)量系統(tǒng)的誤差對(duì)結(jié)果影響較小，可以忽略。

將特征點(diǎn)的理論值和測(cè)量值代入式（15）～（17），可計(jì)算出肋單元夾角的理論值和測(cè)量值，測(cè)量值與理論值之差的絕對(duì)值為肋單元夾角的絕對(duì)誤差。由于第一層模塊中肋單元間的夾角均為60°，故取第二層模塊中受結(jié)構(gòu)約束的肋單元夾角進(jìn)行分析，即圖9 中角α10（因α10=α12，選擇其一即可），研究第二層中6 個(gè)α10的絕對(duì)誤差。如圖18 所示。

圖18 肋單元夾角的絕對(duì)誤差Fig.18 Absolute error of rib unit angle

由圖18 可以看出，肋單元夾角絕對(duì)誤差的最大值為0.5°，其余多分布在0.05°～0.1°之間，誤差較小。在樣機(jī)的裝配過(guò)程中，該誤差值可通過(guò)桿件的彈性變形進(jìn)行補(bǔ)償。

由以上分析可見(jiàn)，在加工誤差、安裝誤差等因素的影響下，特征點(diǎn)的測(cè)量值與理論值偏差較小，支撐結(jié)構(gòu)展開(kāi)后具有較高的精度，表明所提出的模型是正確的。

6 結(jié)論

本文提出一種超多模塊六棱柱模塊化空間可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)形面精度分析模型，采用數(shù)值仿真軟件對(duì)模型進(jìn)行了仿真分析，并開(kāi)展了支撐結(jié)構(gòu)特征點(diǎn)空間坐標(biāo)測(cè)量試驗(yàn)。通過(guò)研究，得到如下主要結(jié)論：

（1）六棱柱模塊的拓?fù)渥儞Q具有較強(qiáng)的規(guī)律性，模塊化可展開(kāi)天線支撐結(jié)構(gòu)可由若干個(gè)典型六棱柱模塊經(jīng)環(huán)形陣列形成。

（2）數(shù)值仿真模型表明，依據(jù)所建立的形面精度分析模型可以實(shí)現(xiàn)各模塊間的準(zhǔn)確連接，并能夠求解出形面精度分析用連接點(diǎn)的空間坐標(biāo)。

（3）肋單元夾角是影響支撐結(jié)構(gòu)連接精度的一個(gè)重要參數(shù)，主要受拓?fù)鋵訑?shù)i、擬合球半徑R和包絡(luò)圓半徑r的影響。當(dāng)參數(shù)R=4 701 mm、r=600 mm、i=4 時(shí)，肋單元夾角的最大值和最小值分別為：68.57°和45.35°，改變這3 個(gè)參數(shù)的配置，可讓夾角的最值更趨于60°。

（4）特征點(diǎn)的測(cè)量值與理論值偏差較小，絕對(duì)誤差主要分布在5～10 mm 之間，相對(duì)誤差主要分布在0.05%～0.1%之間，支撐結(jié)構(gòu)具有較高的展開(kāi)精度，該模型可為超多模塊可展開(kāi)天線形面精度的研究提供理論參考。