羅阿妮，鄒云濤，肖詩(shī)松，劉賀平

（哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

1 引言

張拉整體是由連續(xù)受拉索和離散的受壓桿構(gòu)成的空間結(jié)構(gòu)［1］，所有受拉索連續(xù)、受壓桿分散，且只承受軸向力，因而材料利用率高。在穩(wěn)定構(gòu)型中，桿、索構(gòu)件的自由度均為零，并且破壞掉任意一根桿、索構(gòu)件，整個(gè)結(jié)構(gòu)都會(huì)發(fā)生坍塌。結(jié)構(gòu)既不是冗余的，也不是過(guò)約束的，具有一定的連續(xù)性［2］，可以通過(guò)調(diào)整個(gè)別構(gòu)件來(lái)改變整體剛度。不論是自然狀態(tài)下還是受到?jīng)_擊振動(dòng)，不利因素都可以自動(dòng)分散至整個(gè)結(jié)構(gòu)，找到穩(wěn)定狀態(tài)。

張拉整體作為一種空間可展結(jié)構(gòu)，具有獨(dú)特的構(gòu)型方式，被廣泛應(yīng)用于伸展臂［3-4］、載體運(yùn)輸工具［5］、橋梁、建筑［6-7］、以及多種藝術(shù)品［8］中。Schorr［9］等人利用曲桿代替直桿，通過(guò)控制模型的整體重心使張拉整體實(shí)現(xiàn)二維平面的滾動(dòng)，張拉整體曲桿的建立方式為彎桿張拉整體彎角節(jié)點(diǎn)提供了幫助。Li［10］等人將張拉整體應(yīng)用于交通吸振，提出一種混合張拉整體支撐柱，該支撐柱可有效減少因車(chē)輛碰撞或其他因素產(chǎn)生的不利振動(dòng)，耗散因振動(dòng)而產(chǎn)生的能量，將張拉整體優(yōu)良的緩沖、吸振及自穩(wěn)定性應(yīng)用到實(shí)際工程中。Liu［11］等人將球形張拉整體部分索構(gòu)件用彈簧代替，增強(qiáng)了張拉整體的緩沖性能，為張拉整體壓縮提供一種方式，但整體剛度變小、穩(wěn)定性變差。González 等人［12］通過(guò)驅(qū)動(dòng)部分構(gòu)件或全部構(gòu)件實(shí)現(xiàn)模型從初始狀態(tài)至完全壓縮，找出模型在壓縮過(guò)程中始終保持穩(wěn)定的一種方式，為研究張拉整體在壓縮過(guò)程中的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)變化奠定基礎(chǔ)。Kan［13］等人分析了多層張拉整體節(jié)點(diǎn)的展開(kāi)速度和展開(kāi)過(guò)程中的振幅和振動(dòng)頻率。他們的分析方法同樣可應(yīng)用于研究張拉整體的壓縮過(guò)程，如壓縮速度對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)、壓縮過(guò)程系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。

張拉整體具有質(zhì)量輕、折展比大、緩沖抗振能力強(qiáng)、材料利用率高及使用條件不嚴(yán)格等特點(diǎn)，因此成為了空間結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。但是張拉整體自身幾何尺寸的限制，在某些情況下載物與壓桿間會(huì)產(chǎn)生干涉，如果偏轉(zhuǎn)角選擇不當(dāng)，自身?xiàng)U構(gòu)件也會(huì)發(fā)生干涉。這就對(duì)如何保持原有的結(jié)構(gòu)特性，增大內(nèi)部有效利用空間，提高緩沖性能，實(shí)現(xiàn)一定的自身折展［14-15］提出了更高的要求。本文對(duì)張拉整體軸向折疊方式及折展特性進(jìn)行了理論分析及實(shí)驗(yàn)研究，提出了兩種張拉整體軸向折疊的方法，不僅避免了桿構(gòu)件間的干涉，而且提高了有效利用空間。

2 張拉整體基本單元的構(gòu)建

2.1 四桿張拉整體基本單元

圖1 為四桿張拉整體基本單元（彩圖見(jiàn)期刊電子版）。構(gòu)成單元的基本要素是：下底面圓上均勻分布4 個(gè)節(jié)點(diǎn)n1，n2，n3，n4，任意兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)與下底面圓圓心均成90°，4 個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成正方形；距離下水平面為h的上方以同樣的形式均布4 個(gè)節(jié)點(diǎn)，并且上下水平面間形成一定單元內(nèi)轉(zhuǎn)角φ。藍(lán)色表示受壓桿構(gòu)件，紅色表示受拉索構(gòu)件，構(gòu)件均勻分布，并具有一定的對(duì)稱(chēng)性。每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有4 個(gè)構(gòu)件相連接，并且受力是平衡的。

圖1 四桿張拉整體基本單元結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schemati diagram of 4-bar basic tensegrity unit

2.2 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

該系統(tǒng)的基本工作原理為：張拉整體節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)是構(gòu)件張拉整體結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，得到節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)便可知任意桿、索的空間位置和長(zhǎng)度，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)也是判斷結(jié)構(gòu)是否穩(wěn)定的主要依據(jù)。四桿張拉整體共有8 個(gè)節(jié)點(diǎn)，下水平面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)用Nd表示，上水平面節(jié)點(diǎn)用Nu表示，R為上下水平面外接球半徑，節(jié)點(diǎn)矩陣表示如下：

式中i∈(0，1，2，3)。當(dāng)四桿張拉整體單元穩(wěn)定時(shí)，偏轉(zhuǎn)角φ為：

2.3 連接矩陣

連接矩陣是將節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)間相互連接的介質(zhì)，它能將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與矢量聯(lián)系在一起。構(gòu)件的兩端點(diǎn)分別為起始點(diǎn)和終點(diǎn)，對(duì)于4 桿張拉整體，每節(jié)點(diǎn)有4 個(gè)構(gòu)件與之相連，所組成的連接矩陣為連接桿構(gòu)件與桿構(gòu)件間的矩陣成為桿連接矩陣連接索構(gòu)件與索構(gòu)件間的矩陣成為索構(gòu)件矩陣，它們的關(guān)系如下：

連接矩陣中元素僅由0，-1，1 構(gòu)成，表1 為連接矩陣各元素的含義。

表1 連接矩陣中各元素的含義Tab.1 Element meanings of connection matrix

則上圖中的桿連接矩陣為：

索連接矩陣為：

2.4 矢量矩陣

張拉整體構(gòu)件矢量是將節(jié)點(diǎn)向向量進(jìn)行轉(zhuǎn)換的一種方式，通過(guò)終點(diǎn)坐標(biāo)與起始點(diǎn)坐標(biāo)做差得到構(gòu)件矢量。構(gòu)件矢量的向量長(zhǎng)度即為桿構(gòu)件長(zhǎng)度，起始點(diǎn)向量已知，便可以表示出桿構(gòu)件的空間位置。圖2 為四桿張拉整體構(gòu)件矢量示意圖。

圖2 張拉整體構(gòu)件矢量示意圖Fig.2 Schematic diagram of component vectors of tensegrity

桿構(gòu)件的矢量矩陣為：

索構(gòu)件的矢量矩陣分為上、下水平索以及分布在上下水平索中間的斜索3 部分，其表達(dá)式為：

3 四桿張拉整體軸向折疊

3.1 軸向折疊的意義

張拉整體是一種自平衡結(jié)構(gòu)，任意構(gòu)件受力時(shí)，該桿件的受力變形會(huì)發(fā)散至整體結(jié)構(gòu)，使整體結(jié)構(gòu)分散均勻受力，具有良好的穩(wěn)定性。受拉構(gòu)件分布在周?chē)?，受壓?gòu)件分布在內(nèi)部，有效地減小結(jié)構(gòu)內(nèi)部的損傷程度。由于只承受軸向力，并且構(gòu)件材料利用率高，張拉整體的構(gòu)件數(shù)目少、質(zhì)量輕。

四桿張拉整體在構(gòu)型不同時(shí)其力學(xué)性能是不同的，它共有3 種穩(wěn)定構(gòu)型。其中，第二種穩(wěn)定構(gòu)型桿構(gòu)件間是相互干涉的，并且桿數(shù)越多相互干渉越嚴(yán)重。為了使張拉整體結(jié)構(gòu)使用前占用空間小，需對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行軸向壓縮。對(duì)張拉整體軸向加力時(shí)，索構(gòu)件進(jìn)一步被拉伸，桿構(gòu)件進(jìn)一步被壓縮，但桿構(gòu)件的軸向變化率較小，超過(guò)某根桿構(gòu)件可承受強(qiáng)度，還可能造成整體模型的破壞。

3.2 軸向壓縮方式

張拉整體軸向壓縮過(guò)程中，桿構(gòu)件進(jìn)一步被壓縮，索構(gòu)件進(jìn)一步被拉伸，因此軸向壓縮主要有兩種方案：

方案一：將受拉索構(gòu)件更換為具有較大彈性的構(gòu)件，例如在索構(gòu)件中添加彈簧，將張拉整體斜索用彈簧代替［16］，如圖3 所示，也可以將水平索用彈簧代替。

圖3 張拉整體斜索等效替換Fig.3 Vertical string equivalent substitution of tensegrity

方案二：將桿構(gòu)件復(fù)雜化，將單根直桿變成帶有套管的組合構(gòu)件，套管中間放置彈簧［16］結(jié)構(gòu)，兩端分別與桿構(gòu)件相連，實(shí)現(xiàn)桿構(gòu)件的壓縮，如圖4 所示。

圖4 伸縮桿Fig.4 Telescopic bar

這兩種方法均添加了額外的彈簧結(jié)構(gòu)，當(dāng)模型下降至全模型高度的60%時(shí)，桿構(gòu)件間發(fā)生干渉，軸向無(wú)法繼續(xù)壓縮。

4 彎桿張拉整體設(shè)計(jì)

為了解決上述問(wèn)題，本文將張拉整體直桿變成彎桿。張拉整體直桿變?yōu)閺潡U不僅可以改變張拉整體承受軸向力時(shí)桿構(gòu)件的受力方式，而且解決了直桿間干涉的問(wèn)題。當(dāng)施加軸向力時(shí)，整體構(gòu)件會(huì)隨著外力的增大發(fā)生明顯的形變，這就使張拉整體在外力的作用下儲(chǔ)存了一部分能量。很多領(lǐng)域?qū)埨w作為緩沖裝置，如NASA 航天局外太空探測(cè)器的緩沖投放裝置、深海領(lǐng)域探測(cè)器的緩沖投放裝置、陸地補(bǔ)給箱的緩沖投放裝置等。張拉整體直桿變彎可實(shí)現(xiàn)軸向壓縮，減小占用空間，并且提升緩沖性能，為張拉整體的伸展性及折疊性提供了一種新的思路。

4.1 模型節(jié)點(diǎn)的構(gòu)建方式

彎桿張拉整體是在傳統(tǒng)直桿平行面張拉整體結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，添加彎曲角度θ，將內(nèi)部的直桿變彎。張拉整體彎桿節(jié)點(diǎn)在整體高度H的一半處，這樣建立起來(lái)的彎桿張拉整體仍然為完美的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，便于力學(xué)研究。

彎角處節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的求解方式有二種。首先，為保證結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性，彎角節(jié)點(diǎn)選在α=H/2 平面處，且過(guò)桿構(gòu)件端點(diǎn)nj，nj+p的中垂面β上。在這種條件約束下，彎角節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)被限制在一條直線(xiàn)上。圖5 為彎角節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與兩平面間的關(guān)系，即直線(xiàn)Am為兩平面相交所得。將直線(xiàn)njnj+p的中點(diǎn)設(shè)為A，在交線(xiàn)上除A點(diǎn)外任取一點(diǎn)m與兩端點(diǎn)相連會(huì)形成∠njmnj+p。預(yù)設(shè)彎桿張拉整體彎曲角度，可以找到確定的兩個(gè)點(diǎn)，令m'為m點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。為了增大內(nèi)部空間，m點(diǎn)與m'點(diǎn)中有一點(diǎn)是向外彎曲的，另一點(diǎn)則是向內(nèi)部彎曲（舍棄）。這樣每給出一個(gè)確定的彎曲角度就會(huì)的到一個(gè)確定的彎點(diǎn)，這種思路適用于任意桿數(shù)P的彎桿張拉整體。

圖5 彎曲節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)空間位置Fig.5 Coordinate space position of bending nodes

其次，為了方便實(shí)現(xiàn)彎桿張拉整體模型的繪制，通過(guò)向量合成方式得到圖像。欲得到m點(diǎn)的準(zhǔn)確坐標(biāo)，需要得到nj A，∠mnj A。通過(guò)水平面的法向量，即向量［0，0，1］與njnj+p方向向量做外積得到Am方向向量，方向向量取模后便得到單位方向向量。該向量長(zhǎng)度為：

A點(diǎn)坐標(biāo)為(nj+nj+p)/2，從A點(diǎn)出發(fā)做向量Am，向量終點(diǎn)m即為彎桿張拉整體彎角處坐標(biāo)。通過(guò)繪圖命令將中點(diǎn)m分別與原直桿兩端點(diǎn)相連，得到彎桿張拉整體結(jié)構(gòu)示意圖。該方法同樣適用于任何構(gòu)型，任何桿數(shù)的張拉整體。

彎桿角度為150°，H=270 mm，Ru=Rd=200 mm，P=4 的3 種結(jié)構(gòu)示意圖如圖6 所示，從左到右單元內(nèi)轉(zhuǎn)角分別為135°，180°，225°。

圖6 四桿彎曲張拉整體Fig.6 Four-bar bending tensegrity

4.2 基本參數(shù)之間的關(guān)系

張拉整體構(gòu)型具有很強(qiáng)的規(guī)律性，已知一些參數(shù)，如上底面半徑Ru，下底面半徑Rd，高度H，偏轉(zhuǎn)角φ，便可以得到p-1 種確定的構(gòu)型。當(dāng)構(gòu)型確定后，張拉整體結(jié)構(gòu)也唯一確定。然后，進(jìn)一步給出彎曲方向及彎曲角度λ，那么彎角處的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)也唯一。這里從節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)出發(fā)，推導(dǎo)出彎桿長(zhǎng)度、彎曲角度和斜索長(zhǎng)度之間的關(guān)系。

在得到彎曲前桿構(gòu)件長(zhǎng)度后，根據(jù)斜桿彎曲角度得到每一根彎桿的長(zhǎng)度，如圖7 所示。利用相同的方法對(duì)任意p桿，任意p-1 種構(gòu)型進(jìn)行推導(dǎo)，得到桿索長(zhǎng)度的一般表達(dá)式。第j種構(gòu)型節(jié)點(diǎn)1 斜索與節(jié)點(diǎn)p-（j-1）相連，節(jié)點(diǎn)1 桿構(gòu)件與節(jié)點(diǎn)p+1 相連，單元內(nèi)轉(zhuǎn)角φ=π/2+jπ/p，彎桿角度為λ。節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)p+1、節(jié)點(diǎn)p-（j-1）的坐標(biāo)如下：

圖7 彎桿長(zhǎng)度Fig.7 Bending length

其中：i=p+1，p?(j?1)。

桿構(gòu)件長(zhǎng)度為：

斜索長(zhǎng)度為：

彎桿張拉整體彎曲角度為λ，由三角函數(shù)關(guān)系得每一根彎桿長(zhǎng)為：

4.3 結(jié)構(gòu)分析

在張拉整體模型中節(jié)點(diǎn)所連接桿構(gòu)件的數(shù)目稱(chēng)為張拉整體階數(shù)，一階、二階張拉整體如圖8所示。一階張拉整體每個(gè)節(jié)點(diǎn)有且僅有一根桿構(gòu)件相連，二階張拉整體每個(gè)節(jié)點(diǎn)有且僅有兩個(gè)桿構(gòu)件相連。張拉整體的復(fù)雜程度隨著階數(shù)的增加而提高。

圖8 不同階數(shù)的張拉整體Fig.8 Tensegrity with different orders

彎桿張拉整體在直桿基礎(chǔ)上，添加角度利用彎桿代替直桿，其復(fù)雜程度介于一階與二階之間。在中間平面彎曲節(jié)點(diǎn)處，每個(gè)節(jié)點(diǎn)連接兩根桿構(gòu)件，而對(duì)于未發(fā)生變化的上、下水平面處的節(jié)點(diǎn)仍連接一根桿構(gòu)件。在同一張拉整體模型中，既有連接一根桿構(gòu)件的節(jié)點(diǎn)，也有連接兩根桿構(gòu)件的節(jié)點(diǎn)，故可將彎桿張拉整體理解為一階向二階過(guò)渡的一種結(jié)構(gòu)。相比于直桿張拉整體而言，彎桿張拉整體在中間平面增加了彎角節(jié)點(diǎn)，因而原有的節(jié)點(diǎn)矩陣、連接矩陣和構(gòu)件矩陣維度等均會(huì)發(fā)生變化。彎曲節(jié)點(diǎn)表達(dá)式稍復(fù)雜，這里僅用mx，my表示。

對(duì)于P桿直桿張拉整體，節(jié)點(diǎn)數(shù)為2P，節(jié)點(diǎn)矩陣維數(shù)為3?2P；彎桿張拉整體將直桿一分為二，因而節(jié)點(diǎn)數(shù)變?yōu)?P，節(jié)點(diǎn)矩陣維數(shù)為3?3P。當(dāng)P=4，j=1 時(shí)，節(jié)點(diǎn)矩陣為：

直桿連接矩陣2P個(gè)節(jié)點(diǎn)，P根桿，3P根索，直桿連接矩陣維數(shù)為：2P?4P；彎桿張拉整體索數(shù)量不變，桿數(shù)由P變?yōu)?P，因此彎桿連接矩陣維數(shù)為：3P?5P。當(dāng)P=4，j=1 時(shí)，連接矩陣為：

構(gòu)件矩陣是節(jié)點(diǎn)矩陣與連接矩陣的乘積。直桿張拉整體共P根桿構(gòu)件，3P根索構(gòu)件，共4P個(gè)向量，直桿構(gòu)件矩陣維數(shù)為：3?4P；彎桿張拉整體共2P根桿，索構(gòu)件數(shù)量不變，彎桿構(gòu)件矩陣維數(shù)為：3?5P。當(dāng)P=4，j=1 時(shí)，構(gòu)件矩陣為：S=，仍然是彎桿節(jié)點(diǎn)矩陣與彎桿連接矩陣的乘積。

4.4 壓縮過(guò)程中的彈性分析

圖9 彎桿張拉整體壓縮過(guò)程Fig.9 Compression process of bending bar tensegrity

對(duì)任意p桿，任意p?1 種構(gòu)型進(jìn)行推導(dǎo)，得到結(jié)構(gòu)進(jìn)行軸向壓縮過(guò)程中桿、索長(zhǎng)度及壓縮量的表達(dá)式。任何構(gòu)型節(jié)點(diǎn)1 均與節(jié)點(diǎn)p+1 以桿構(gòu)件相連，但斜索連接方式與構(gòu)型有關(guān)，第j種構(gòu)型節(jié)點(diǎn)1 與2p?j+1 相連，同一根桿構(gòu)件，下底面節(jié)點(diǎn)與上底面在下底面投影和下底面圓心間形成的角度稱(chēng)為單元內(nèi)轉(zhuǎn)角（下文均稱(chēng)單元內(nèi)轉(zhuǎn)角），其大小為：φ=π/2+jπ/p。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如下：

彎桿張拉整體軸向壓縮過(guò)程中桿構(gòu)件連接兩點(diǎn)間距離相互靠近，而繩索伸長(zhǎng)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于桿構(gòu)壓縮量，在分析過(guò)程中將繩索受拉剛度看作無(wú)限大，即繩索不可伸長(zhǎng)。在軸向壓縮過(guò)程中，上下兩端面有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)。因此，在結(jié)構(gòu)從高h(yuǎn)壓縮至上下水平面重合時(shí)，應(yīng)綜合分析高度和變化過(guò)程中偏轉(zhuǎn)角的影響，如圖10 所示。

圖10 壓縮過(guò)程參數(shù)變量分析Fig.10 Parameter variable analysis of compression pro?cess of bending bar tensegrity

圖10 中，上底面節(jié)點(diǎn)C在下底面投影為C1，下底面節(jié)點(diǎn)A、投影點(diǎn)C1及下底面圓心O形成的夾角為φ1；當(dāng)高度被完全壓縮C點(diǎn)落在下底面C2，投影點(diǎn)C1，C2及底面圓心角O形成的 夾角為φ2。

壓縮過(guò)程中，上底面相對(duì)于下底面做逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。上、下底面半徑一定，高度越高，壓縮時(shí)的相對(duì)轉(zhuǎn)角越大，但高度過(guò)大時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)至某一位置，繼續(xù)壓縮，斜索便會(huì)松弛。在壓縮過(guò)程中，C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至線(xiàn)段MM'中間某一位置，假設(shè)運(yùn)動(dòng)至圖中C3點(diǎn)，此時(shí)斜索AC為直角△AC3M斜邊，兩直角邊分別為AM'和C3M'，此時(shí)為斜索最后繃緊時(shí)刻，繼續(xù)壓縮兩直角邊長(zhǎng)度均會(huì)縮短，因而超過(guò)這一臨界位置斜索會(huì)松弛，張拉整體結(jié)構(gòu)松垮，失去軸向力而快速軸向壓縮，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。當(dāng)發(fā)生上述不穩(wěn)定情況時(shí)，桿長(zhǎng)的壓縮量超過(guò)整根原始桿長(zhǎng)的50%，在實(shí)際模型搭建過(guò)程中是不會(huì)出現(xiàn)的，實(shí)際壓縮過(guò)程中某根索發(fā)生松弛的主要原因是搭建模型精度不夠高。只考慮穩(wěn)定壓縮過(guò)程，即C點(diǎn)不會(huì)轉(zhuǎn)至C3便可完成結(jié)構(gòu)完全壓縮。

完全壓縮后斜索AC變化為AC2，△AOC2的兩邊OA和OC2長(zhǎng)度為端面半徑R，由此得到：

則在壓縮過(guò)程中上下端面的相對(duì)旋轉(zhuǎn)角度為：

同理可以得出φ1。

家族興旺，好事。講個(gè)理兒什么的呼啦來(lái)一幫，氣勢(shì)上就能把對(duì)方壓住。要不爺爺動(dòng)不動(dòng)就愛(ài)跟人顯擺：我有四個(gè)兒子，四個(gè)孫子。說(shuō)話(huà)的時(shí)候，那腰板挺得“杠杠”的。好嘛，“男人幫”的家族版原來(lái)在北京何老爺子家。瞧瞧，爺爺給孫子們起的名東南西北，他老人家統(tǒng)領(lǐng)四方！

C1點(diǎn)為C點(diǎn)在下底面的投影，C1點(diǎn)坐標(biāo)如下：

則向量AC1的長(zhǎng)度為：

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中上下端的面相對(duì)轉(zhuǎn)角為：

當(dāng)張拉整體結(jié)構(gòu)完全壓縮，C點(diǎn)落在C2點(diǎn)，桿構(gòu)件最終位置為線(xiàn)段BC2，C2點(diǎn)坐標(biāo)，壓縮后桿長(zhǎng)BC2為：

將桿長(zhǎng)壓縮率ε定義為：

將P=4，高度h=270 mm，上下底面半徑ru=rd=200 mm 的第一種構(gòu)型代入上式，通過(guò)理論計(jì)算分別求得偏轉(zhuǎn)角φ2=56.79°，壓縮率ε=13.07%。

動(dòng)力學(xué)軟件柔性建模如圖11 所示，測(cè)量桿構(gòu)件從初始狀態(tài)至完全壓縮長(zhǎng)度的變化量如圖12所示。通過(guò)動(dòng)力學(xué)軟件柔性建模，得到偏轉(zhuǎn)角和壓縮率分別為56.6°和13.46%。

圖11 彎桿張拉整體動(dòng)力學(xué)建模Fig.11 Dynamic modeling of bending bar tensegrity

圖12 壓縮過(guò)程桿構(gòu)件的長(zhǎng)度變化Fig.12 Variation of bar length during compression

搭建相同參數(shù)的張拉整體模型，并對(duì)它進(jìn)行軸向壓縮，測(cè)量偏轉(zhuǎn)角及桿長(zhǎng)變化率，如圖13 所示。壓縮前桿長(zhǎng)430 mm，壓縮后桿長(zhǎng)370 mm，得到桿長(zhǎng)壓縮率為13.95%，端面相對(duì)偏轉(zhuǎn)角為50°。

圖13 彎桿張拉整體模型測(cè)量數(shù)據(jù)Fig.13 Measuring data of tensegrity structure model

通過(guò)理論計(jì)算和動(dòng)力學(xué)柔性建模對(duì)相同參數(shù)模型進(jìn)行分析，誤差控制在0.5%以?xún)?nèi)，以驗(yàn)證推導(dǎo)偏轉(zhuǎn)角和桿長(zhǎng)壓縮率表達(dá)式的正確性。微小誤差來(lái)源是仿真軟件本身算法或剛體間的接觸力等不確定因素。而實(shí)物模型上、下端面的偏轉(zhuǎn)角誤差在7°，偏大，可能是由于壓縮過(guò)程中受拉索被拉長(zhǎng)或微小誤差的累計(jì)造成的。

4.5 壓縮過(guò)程受力分析

僅得到彎桿張拉整體桿構(gòu)件兩節(jié)點(diǎn)間的相對(duì)位移長(zhǎng)度，還不足得到彎桿的形變情況，形變情況還與彎曲角度，材料基本屬性，如彈性模量、泊松比等有關(guān)。假設(shè)兩點(diǎn)間距離為400 mm，形變后的長(zhǎng)度為280 mm，分別對(duì)90°，120°，150°的彎桿張拉整體進(jìn)行分析。

實(shí)際分析中，彎角通過(guò)三維建模后3D 打印得到，其打印材料為光敏樹(shù)脂。通過(guò)施加力得到破壞時(shí)可施加的最大外力。圖14 采用一端固定一段加力的方式?？紤]到測(cè)量關(guān)節(jié)強(qiáng)度，將實(shí)際測(cè)量過(guò)程中的竹桿變?yōu)榻饘黉X管。

圖14 彎角強(qiáng)度校核Fig.14 Strength check of bending joint

對(duì)模型加力至28.5 N，外力關(guān)節(jié)并未發(fā)生變形，此時(shí)金屬管發(fā)生明顯彎曲，說(shuō)明竹結(jié)構(gòu)先發(fā)生斷裂，彎曲關(guān)節(jié)強(qiáng)度大于桿構(gòu)件強(qiáng)度。

在有限元軟件中關(guān)節(jié)材料密度為3×102kg/m3，楊氏模量為2×105MPa，泊松比為0.3，屈服極限為50 MPa，初始應(yīng)變?yōu)榱悖恢窆?jié)類(lèi)材料的參數(shù)則與多種因素有關(guān)，例如：竹節(jié)生長(zhǎng)環(huán)境、竹節(jié)受光照時(shí)間、以及生長(zhǎng)海拔等，另外對(duì)于同一根竹節(jié)不同部位的材料參數(shù)也是不同的，這里取竹節(jié)平均值近似研究。密度為1.1×102kg/m3，楊氏模量為9.6×103，泊松比為0.3，屈服極限為30 MPa，初始應(yīng)變?yōu)榱?。建立長(zhǎng)度相同彎曲角度不同的彎角模型，竹桿最大受力點(diǎn)產(chǎn)生的應(yīng)力如圖15 所示。

圖15 不同彎角壓縮應(yīng)力云圖Fig.15 Compression stress nephogram at different bend?ing angles

由圖15 可知，最大應(yīng)力值發(fā)生在彎角關(guān)節(jié)與桿構(gòu)件連接處外側(cè)，最大應(yīng)力值分別為46，44，30 MPa。竹桿材料的屈服極限近似為30 MPa，由仿真結(jié)果可知，彎桿所成角度越小，材料越不易發(fā)生破壞，軸向折展性越好。其他尺寸的彎桿變形張拉整體可根據(jù)相同方法得到彎曲角度極限值，彎角小于極限值時(shí)變形四桿張拉整體均可完全壓縮。對(duì)于上述材料，彎桿角度不大于90°時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)軸向完全壓縮。

4.6 實(shí)物搭建

綜合上述分析論述，結(jié)合張拉整體現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)，分別搭建單層和多層四桿彎曲張拉整體模型，實(shí)現(xiàn)了它們的軸向壓縮與自動(dòng)展開(kāi)，如圖16 所示。此方法可以用于搭建任意層數(shù)的彎桿張拉整體結(jié)構(gòu)。

圖16 彎桿張拉整體壓縮前后的實(shí)物圖Fig.16 Photos of bending bar before and after compres?sion

5 結(jié)論

本文針對(duì)張拉整體基本單元的要求，即張拉整體展開(kāi)前占用空間小，展開(kāi)后空間利用率高，提出了張拉整體沿軸向進(jìn)行折疊壓縮的必要性。給出了索伸長(zhǎng)和桿壓縮兩種實(shí)現(xiàn)軸向折疊的方式，并將兩種折疊方式進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而提出了彎桿張拉整體，得出了彎桿張拉整體節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的構(gòu)建方式和節(jié)點(diǎn)矩陣與各參數(shù)間的關(guān)系。對(duì)彎桿張拉整體壓縮過(guò)程的桿長(zhǎng)壓縮率和上、下端面相對(duì)偏轉(zhuǎn)角度進(jìn)行理論推導(dǎo)和動(dòng)力學(xué)柔性建模分析，將兩種結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了結(jié)果的正確性。對(duì)材料強(qiáng)度進(jìn)行校核，利用有限元找出特定材料下彎曲角度的極限應(yīng)力值和受力形變。結(jié)果表示：將直桿張拉整體變?yōu)閺潡U張拉整體，在沒(méi)有添加其他構(gòu)件的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了軸向完全壓縮，擴(kuò)大內(nèi)部空間的利用率，有效解決了桿構(gòu)件間的干涉問(wèn)題。高度為270 mm，半徑為200 mm 的四桿張拉整體軸向完全壓縮時(shí)，上、下底面的相對(duì)偏轉(zhuǎn)角為57°，桿長(zhǎng)壓縮率為13%。利用竹節(jié)作為桿構(gòu)件時(shí)，彎曲節(jié)點(diǎn)連接兩桿構(gòu)件所成角度不得大于90°。