徐景秀,張 青

(黃岡師范學院計算機學院，湖北 黃岡 438000)

1 引言

數字圖像作為人類活動中常用的信息載體，在日常生活中扮演著重要的角色，數字圖像處理是醫(yī)療及科研教學中必不可少的技術手段。然而受相關條件影響，數字圖像在生成、傳輸以及壓縮過程中容易受到外來噪聲干擾，使圖像邊緣和紋理細節(jié)變得模糊，不利于圖像信息的識別和讀取[1]。因此，為進一步提升圖像視覺效果和圖像質量，挖掘和利用圖像內部信息，必須盡量降低圖像噪聲的影響。

目前常用的圖像去噪算法可以分為空間域去噪算法和變換域去噪算法。常見的空間域去噪算法主要有均值濾波、中值濾波、雙邊濾波、非局部均值濾波以及它們的改進算法等[2]。由于算法原理的限制，空間域去噪算法容易模糊圖像的邊緣和紋理等細節(jié)，且對于不同種類的噪聲去除效果不同[3]。變換域去噪算法主要有傅里葉變換算法、小波變換去噪算法、曲波變換去噪算法和塊匹配三維濾波BM3D(Block-Matching and 3D filtering)算法等[4]。變換域去噪算法由于參數多且很難選取合適的數值，導致去噪結果不理想，或者由于算法的復雜性導致算法效率低。還有目前較為流行的基于字典學習的去噪算法和基于深度學習的去噪算法等，然而深度學習和字典學習算法對噪聲較為敏感，在強噪聲情況下容易引入外來噪聲，不利于細節(jié)信息的保護。

小波變換以傅里葉分析為基礎，采用固定基對圖像信號進行分解，具有較好的去噪效果和細節(jié)保持能力。然而合適的閾值和閾值函數的選取較為困難，從而限制了該方法在圖像處理與信號分析等領域中的應用[5]。針對上述情況，國內外學者先后提出硬閾值函數HTF(Hard Threshold Function)小波變換、軟閾值函STF(Soft Threshold Function)數小波變換以及半軟閾值函數S-STF(Semi-Soft Threshold Function)小波變換方法，以及針對不同使用條件的閾值[6]。然而，由于既有閾值函數(硬閾值函數、軟閾值函數等)自身原因，在閾值位置附近的重構信號和原始信號差異較大，導致重構圖像失真，不利于圖像質量的提升[7]。而常規(guī)的改進算法都是改進閾值函數的連續(xù)性，沒有考慮閾值的適應性，且對閾值范圍內的小波系數變化也未深入研究。

本文對小波變換的閾值及閾值函數進行改進，改進后的閾值自適應性更強，能夠適應不同層中噪聲對應小波系數分布情況，且改進后的閾值函數連續(xù)性更好，在閾值位置處更為平滑，計算過程更為穩(wěn)定。實驗結果表明，改進后方法的去噪結果峰值性噪比和結構相似度更好，圖像細節(jié)紋理更清晰。

2 小波變換及圖像去噪

2.1 基本理論

小波變換屬于空間-頻率的一種變換，通過縮放以及平移等方式實現圖像的多尺度分解[8]，從而分離有效信號和噪聲，其計算如式(1)所示：

(1)

則小波逆變換公式如式(2)所示：

(2)

含噪圖像經過小波變換后，對小波系數進行分解，可以得到不同頻率范圍的小波系數。圖像有效信號通常分布于低頻小波系數中，而噪聲信號通常分布于高頻小波系數中[9]。為實現有效信號和噪聲信號的分離，小波閾值法采用合適的閾值識別噪聲信號對應的小波系數并將其置零，最后應用閾值量化后的小波系數重構圖像信號，從而實現圖像噪聲的去除[10]，其原理如圖1所示。

Figure 1 Flow chart of wavelet threshold denoising圖1 小波閾值法去噪示意圖

2.2 常規(guī)閾值函數

在小波變換去噪過程中，閾值的選取尤為重要，合適的閾值將會使小波變換具有較好的去噪效果和紋理細節(jié)保持能力[11,12]?，F有的閾值可以分為全局閾值和局部閾值，全局閾值為固定的閾值并應用于所有層的小波系數，局部閾值是根據某一層小波系數特征，有針對性地設定的當前層閾值[13]。相對而言，全局閾值計算效率高，但是去噪效果較差；局部閾值去噪效果好，但是計算效率低[14]。常用的閾值法主要包括通用閾值VSTS(VisuShrink ThreShold)、無偏似然估計閾值SSTS(SureShrink ThreShold)、HeurSure閾值HSTS(HeurSure ThreShold)和平移不變小波閾值等。目前較為常用的是Donoho等人[15]提出的通用閾值，如式(3)所示：

(3)

其中，(M*N)表示圖像尺寸大小，σ表示估計的噪聲標準差，其計算公式如式(4)所示：

(4)

其中，X表示小波變換的高頻小波系數，Median表示中值函數。

閾值確定后，下一步對超過閾值范圍的小波系數進行變換，常用方法主要包括硬閾值方法、軟閾值方法以及半軟閾值方法[16]。硬閾值函數HTF、軟閾值函數STF和半軟閾值函數S-STF分別如式(5)～式(7)所示：

(5)

(6)

(7)

其中，W表示式(1)中小波變換后的信號，δ表示通用閾值。

由上述公式和圖2可知，硬閾值函數閾值范圍外的小波系數保持不變；而軟閾值函數將大于閾值絕對值的小波系數進行縮放；半軟閾值函數中則存在2個閾值，分別為δ1和δ2。當2個閾值相等時，半軟閾值函數轉換為硬閾值函數，當δ2為無窮大時，半軟閾值函數轉化為軟閾值函數[17]。相對于硬閾值和軟閾值方法，半軟閾值方法具有更好的適應性，能夠取得更好的去噪效果。

Figure 2 Schematic diagram of different threshold functions圖2 不同的閾值函數示意圖

半軟閾值方法雖然能夠改善硬閾值方法和軟閾值方法的不足，但是具體應用中很難確定合適的雙閾值，且計算時間相對較長，降低了效率，不利于方法的推廣。

2.3 改進小波閾值函數

針對常規(guī)閾值函數的缺陷，王鳳等人[18]在2019年提出了改進的小波閾值函數，其表達式如式(8)所示：

(8)

其中，k表示調節(jié)因子，用于調節(jié)閾值函數值。改進后的閾值函數在閾值位置處更連續(xù)，能夠較好地解決原始小波系數和經過閾值約束的小波系數之間的偏差，具有較好的去噪效果。

2.4 新改進的小波軟閾值函數

現有的閾值函數都是采用sign函數對小波系數進行變換，然而sign函數在間斷點位置處易出現震蕩，從而影響圖像的去噪效果。因此，針對上述情況，本文采用和sign函數具有相似性質的tanh函數，該函數相對于sign函數而言，具有更好的連續(xù)性，在間斷點位置處更為平滑，2個函數的形態(tài)變化如圖3所示。

Figure 3 Schematic diagram of the change of sign function and tanh function圖3 sign函數和tanh函數的變化示意圖

由圖3可知，tanh函數和sign函數整體保持一致，在間斷點位置處，tanh函數的導數值也遠遠小于sign函數的導數值，因此能夠更加準確細致地分辨信號和噪聲所代表的小波系數。則新改進的閾值函數如式(9)所示：

(9)

其中，Wδ表示小波估計系數，W表示小波變換系數，δ表示小波閾值，k表示調節(jié)因子。其中調節(jié)參數用于維持閾值函數的穩(wěn)定性及連續(xù)性，需要反復測試選取最優(yōu)值。

常規(guī)的小波閾值函數以及文獻[18]的改進小波軟閾值函數都使用全局閾值，在所有層的小波變換中都采用相同的閾值[19]。然而實際變換中，隨著小波分解層數的增加，圖像噪聲對應的小波變換模值逐漸變小，因而全局閾值容易誤判噪聲信號，從而降低去噪效果[20]。因此，本文采用一種隨層變化的自適應小波閾值，該閾值隨著小波變換層數的增加而逐漸減小，本文的自適應閾值如式(10)所示：

(10)

其中，i表示小波變換的當前層數，σ表示噪聲標準差，M*N表示當前層的高頻小波系數尺寸。式(10)中l(wèi)n(e+2(1-i)-1)為衰減因子，隨著小波變換層的增加而逐漸縮小，能夠自適應調節(jié)閾值δi的大小，從而解決全局閾值在多層小波變換中對噪聲信號誤判的局限性，有效提升噪聲小波系數的判斷精度。

為進一步提升閾值函數在閾值位置的連續(xù)性和穩(wěn)定性，避免閾值函數截斷產生的吉布斯現象，本文在閾值絕對值范圍內應用一個非線性函數對閾值函數進行逐步壓縮，可以較好地解決原始小波系數和估計小波系數之間的偏差，將上述非線性函數和式(10)代入式(9)，則最終新改進的閾值函數表達式如式(11)所示：

(11)

其中，Wi表示小波變換的第i層系數，δi表示小波變換的第i層閾值，Wδi表示小波變換第i層的估計系數，T為壓縮系數，取 [1，3]的整數，默認值為1。

將上述閾值函數與硬閾值函數、軟閾值函數、半軟閾值函數和文獻[18]的改進軟閾值函數的函數圖像繪制在一個坐標系中，具體如圖4所示。

Figure 4 Schematic diagram of different threshold functions圖4 不同閾值函數示意圖

由圖4可知，硬閾值函數在閾值位置處是間斷點，左右不連續(xù)。軟閾值函數由于縮放，與原始小波系數存在差異[21]。半軟閾值函數雖然與原始小波系數偏差較小，但是在左右閾值位置處依舊不夠連續(xù)。文獻[18]的改進閾值函數在閾值范圍以外，以硬閾值函數為趨勢線，相對于硬、軟閾值函數而言，具有較好的穩(wěn)定性和連續(xù)性。本文提出的改進閾值函數，能夠改善硬、軟閾值函數在閾值位置處不連續(xù)的缺陷，相比半軟閾值函數而言，參數更少，且比文獻[18]的改進閾值函數連續(xù)性更好，進一步縮小了重構小波系數與原始小波系數之間的差異性。

從數學角度分析式(11)所示的新改進閾值函數連續(xù)性及偏差性，其公式推導如下所示：

推導連續(xù)性：

同理可知：

說明該閾值函數在δi處是連續(xù)的。

推導偏差性:

2.5 新改進的小波軟閾值函數方法的去噪流程及步驟

算法1改進小波軟閾值函數方法

輸入：原始圖像。

輸出：去噪后圖像。

步驟1對含噪圖像進行小波多尺度變換；

步驟2采用式(4)估計噪聲標準差；

步驟4計算小波變換后每一層級的高頻系數對應的標準差，然后采用式(10)計算自適應閾值；

步驟5采用式(11)對小波變換系數進行閾值處理，然后進行小波逆變換得到去噪后的圖像。

其去噪流程如圖5所示。

Figure 5 Flow chart of new improved wavelet soft threshold denoising 圖5 新改進的小波軟閾值去噪流程圖

3 仿真實驗及結果分析

本次實驗根據本文方法開發(fā)相關程序模塊,然后采用圖6所示的8幅標準灰度圖作為測試對象。在原始無噪圖像上分別添加不同方差的高斯白噪進行仿真測試，應用峰值信噪比PSRN(Peak Signal-to-Noise Ratio)和結構相似度SSIM(Structural SIMilarity)來評價不同去噪方法的去噪能力和效果。

Figure 6 Standard test gray images圖6 標準測試灰度圖

3.1 調節(jié)參數的確定

由式(11)可知，調節(jié)參數k影響閾值函數的穩(wěn)定性與連續(xù)性，合理有效地調節(jié)參數有利于提升去噪效果，因此，必須選定合適的調節(jié)參數。為驗證和分析不同調節(jié)參數對去噪效果的影響，在Boat圖像上添加標準差為10，20，30的高斯白噪進行測試，然后統(tǒng)計不同測試結果的PSNR值和SSIM值。不同測試結果的PSNR和SSIM數值隨調節(jié)參數k變化的曲線如圖7所示。由圖7可知，不同噪聲強度下，其PSNR和SSIM曲線變化不同，但是在調節(jié)參數k=60時，PSNR值和SSIM值最大，因此該最大值對應的調節(jié)參數就是本次實驗的最優(yōu)參數，因此在后續(xù)實驗中可選擇本次最優(yōu)參數作為調節(jié)參數。

Figure 7 Schematic diagram of PSNR and SSIM changed with adjustment parameters圖7 PSNR值和SSIM值隨調節(jié)參數變化曲線示意圖

3.2 小波閾值的對比分析與選取

為進一步分析本文的自適應閾值去噪方法去噪效果，在本文新的改進閾值函數中分別使用通用閾值VSTS、無偏似然估計閾值SSTS、HeurSure閾值HSTS和本文自適應閾值VATS(VAriable ThreShold)對Starfish和Butterfly 2幅圖像進行測試，用PSNR值和SSIM值衡量不同閾值的去噪結果，則不同仿真結果的數據如表1所示。

Table 1 PSNR and SSIM of denoising methods with different thresholds

由表1可知，不同的閾值的去噪方法的PSNR值和SSIM值不同，相對而言，本文的自適應閾值去噪方法優(yōu)勢最為明顯，其去噪結果的PSNR值和SSIM值明顯高于另外幾種閾值去噪方法的，經過去噪之后，自適應閾值去噪方法的PSNR值平均提升至33.03，SSIM值平均提升至0.916。評價指標PSNR值和SSIM值的提升幅度方面，VSTS去噪方法的評價指標分別提升了35.5%和73.4%，SSTS去噪方法的評價指標分別提升了37.1%和76.4%，HSTS去噪方法的評價指標分別提升了38.8%和77.9%，本文閾值去噪方法的評價指標平均提升幅度達到48%和80.6%，表明本文VATS閾值去噪方法去噪效果最好。

3.3 不同去噪方法結果分析

為進一步分析本文去噪方法的效果，在Baboon、Bridge、C.man 3幅圖像上添加不同噪聲強度的高斯噪聲，分別采用基于自適應閾值的硬閾值函數HTF、軟閾值函數STF、半軟閾值函數S-STF、文獻[18]的改進閾值函數ITF(Improved Threshold Function)和本文新改進的軟閾值函數進行測試，統(tǒng)計所有實驗的PSNR值和SSIM值，結果如表2所示。

Table 2 PSNR and SSIM of denoising methods with different threshold functions

由表2可知，在不同噪聲強度下，不同的閾值函數均能取得一定的去噪效果，相比較其他幾種方法，本文方法的閾值函數取得了最高的PSNR值和SSIM值，且隨著噪聲強度的加大，所有方法的PSNR值和SSIM值均有不同程度的下降，不同方法的下降幅度不同，本文方法一直保持在一個相對較高的水平，本文方法的PSNR指標高出HTF，STF，S-STF，ITF的PSNR值分別為1.32，0.72，0.41，0.26；SSIM評價指標高出值分別為0.035，0.026，0.012，0.009，上述數值說明本文方法相比較其他方法具有更好的去噪效果。

為直觀展示不同去噪方法的效果，在Jetplane圖像的基礎上添加噪聲標準差為20的高斯白噪進行分析，然后采用上述5種閾值函數的小波變換方法進行去噪，結果如圖8所示。

Figure 8 Test results of different denoising methods on Jetplane 圖8 不同去噪方法對Jetplane測試結果

圖8所示為原始無噪圖像、含噪圖像，以及不同去噪方法的結果圖像，為進一步直觀分析去噪效果，所有結果圖像選擇“機尾翼”部分進行放大顯示，放大圖像置于各圖像的右上角。由圖8可知，硬閾值函數去噪方法去噪之后，結果中依然存在部分噪聲，局部放大圖中出現“振鈴”現象。軟閾值函數去噪方法去噪之后，圖像的邊緣細節(jié)較模糊，“尾翼”中的數據編號“01568”已經很難識別判斷。半軟閾值函數去噪方法去噪結果相對硬閾值、軟閾值方法更好，但是局部放大圖中，數據編號邊緣及輪廓相對模糊。文獻[18]的改進閾值函數去噪方法結果相對較好，但是相對本文方法而言，其結果依然不夠理想。本文方法結果最好，局部放大圖中，細節(jié)紋理清晰，邊緣輪廓容易識別判斷。

為進一步對比分析不同去噪方法的差異性，在原始標準Parrot圖像上添加噪聲強度為40的高斯白噪聲，采用5種去噪方法進行測試，然后將不同去噪方法的去噪殘差進行對比。為直觀展示殘差結果，將原始圖像、噪聲圖像以及殘差圖像轉換為二值圖像，在殘差結果的二值圖像中，白色像素表示去噪徹底，黑色像素表示去噪較差。不同方法處理前后的二值圖像如圖9所示。

Figure 9 Binary image of test results on Parrot 圖9 Parrot測試結果的二值圖像

由圖9可知，對于圖像的去噪結果，邊緣/紋理等細節(jié)區(qū)域普遍存在較多的黑色區(qū)域，但是不同方法的黑色區(qū)域分布范圍不同。在圖9c和圖9d中存在較多的黑色像素，表明硬閾值函數去噪方法和軟閾值函數去噪方法去噪能力不足，或容易引入外來噪聲使結果圖像中出現“振鈴”現象。相對硬閾值函數去噪方法和軟閾值函數去噪方法處理結果，半軟閾值函數去噪方法和文獻[18]的改進閾值去噪方法結果的黑色像素相對較少，說明去噪結果較好，具體如圖9e和圖9f所示。本節(jié)方法的噪聲殘差圖像中，黑色區(qū)域最少，說明本文方法的去噪效果最好。

3.4 新改進的小波軟閾值函數方法在其他噪聲類型下的應用

數字圖像在實際的傳輸和壓縮過程中，受環(huán)境條件的影響，容易在圖像中添加不同類型的噪聲，甚至一幅圖像中存在多種類型的噪聲，目前最為常見的噪聲是脈沖噪聲和高斯噪聲。實際醫(yī)學B超圖像由于超聲脈沖的干涉，圖像含有較多的散斑脈沖噪聲，該噪聲的存在，使得圖像中的人體結構及組織細節(jié)信息難以識別，邊緣模糊，降低了圖像質量，不利于后續(xù)醫(yī)學治療手段的開展。為進一步分析本文方法對于脈沖噪聲的去除效果，本節(jié)繼續(xù)采用3.3節(jié)所述5種方法對含有脈沖噪聲的原始B超圖像進行處理，去噪結果和去噪殘差分別如圖10和圖11所示。

Figure 10 Test results of different denoising methods on B-ultrasound image圖10 不同去噪方法的B超圖像測試結果

Figure 11 Denoising residuals with different denoising methods on B-ultrasound image 圖11 不同去噪方法的B超圖像去噪殘差

由圖10和圖11可知，5種方法均能提升B超圖像質量，但是不同的去噪方法其結果有所差異。硬閾值函數去噪方法結果紋理細節(jié)較為模糊，其去噪殘差中存在較多的連續(xù)結構信息，表明對圖像的細節(jié)損傷較為嚴重；軟閾值函數去噪方法結果相對較好，但是殘差中依然存在一定的連續(xù)結構信息；半軟閾值函數去噪方法的結果圖像質量較好，但是殘差中存有少量的連續(xù)紋理；文獻[18]的改進閾值函數去噪方法去噪殘差中存在大量的“大顆?！卑郀钤肼?，說明去噪過度；本文方法去噪結果中，幾乎不含連續(xù)的紋理結構，去噪殘差中的噪聲顆粒分布均勻大小適中，表明去噪結果好，對紋理細節(jié)保護好。

常規(guī)的圖像質量評價指標，例如前文采用的PSNR和SSIM，需參考原始無噪圖像，然而實際B超圖像幾乎沒有不含噪聲的圖像，因此常規(guī)方法很難評價實際B超圖像的去噪效果。針對上述情況，本文采用圖像均方根誤差MSE(Mean Squared Error)和邊緣保護指數EPI(Edge Preservation Index)對去噪結果進行評價，同時統(tǒng)計不同結果的專家評估值，其中MSE值越大，可以認為去噪能力越強；EPI值越大，表明邊緣保護效果越好；專家評估值越大，說明圖像質量越高，B超圖像處理前后的評價值如表3所示。

Table 3 Evaluation of denoising results on B-ultrasound image

由圖10、圖11和表3可知，小波硬閾值方法直接削減噪聲小波系數，在去除噪聲的同時容易損傷邊緣信息；而軟閾值對其他小波系數進行修正后對圖像影響較大，因此MSE值高，但是也模糊了邊緣，因此EPI值較低；半軟閾值函數相對較好，但是邊緣保持能力依然有待提升；文獻[18]改進的閾值函數方法邊緣保持較好，但是和原始圖像差異性較大；本文方法在有效去噪的同時可以保護邊緣信息，提升視覺效果，表明本文方法也具有較高的去噪能力。

4 結束語

在分析小波閾值去噪原理的基礎上，對比分析不同閾值以及閾值函數的特征，提出一種改進軟閾值函數方法，該方法在閾值公式中引入一個隨小波分解層數變化的縮放參數，使得閾值能夠隨噪聲模值變化，同時改進的閾值函數在閾值位置處更加連續(xù)更加穩(wěn)定，改善了常規(guī)閾值函數在閾值位置處存在震蕩現象的缺陷，使得去噪后的圖像保真性更好。一系列實驗結果表明，在調節(jié)參數最優(yōu)時，本文方法的去噪效果明顯好于常規(guī)閾值函數方法，圖像邊緣/紋理等細節(jié)清晰完整，表明本文方法在圖像處理中具有較好的可推廣性。