甄 冬 李 堃 劉曉昂 張佳琪

1.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津，3001302.天津市新能源汽車動(dòng)力傳動(dòng)及安全技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津，300130

0 引言

線性吸振器只在其固有頻率等于結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率時(shí)才能有效抑制振動(dòng)，為實(shí)現(xiàn)更理想的減振效果，VAKAKIS[1]提出了非線性能量阱(nonlinear energy sink，NES)的概念。NES由質(zhì)量塊、立方剛度元件和線性阻尼元件組成，它利用靶能量傳遞來實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的抑制[2]，魯棒性好且無需外界能量。

求解NES這種具有強(qiáng)非線性特性的振子周期解的方法有解析法、數(shù)值法和半數(shù)值半解析法。有學(xué)者對(duì)NES的參數(shù)優(yōu)化方法開展研究。MANEVITCH[3]提出的復(fù)變量-平均法適用于強(qiáng)非線性條件下的動(dòng)力學(xué)特性分析。ZANG等[4]采用數(shù)值仿真法計(jì)算了諧波激勵(lì)下的線性結(jié)構(gòu)與NES耦合系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。STAROSVETSK等[5-7]對(duì)受簡諧激勵(lì)的NES系統(tǒng)產(chǎn)生的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)進(jìn)行研究，結(jié)合復(fù)變量-平均法與多尺度法發(fā)現(xiàn)NES產(chǎn)生非周期響應(yīng)時(shí)的吸振效果比NES產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)的吸振效果好，通過參數(shù)(激勵(lì)幅值、NES阻尼和激勵(lì)頻率失諧)揭示并描述了周期解的局部鞍結(jié)分岔現(xiàn)象，并提出預(yù)測發(fā)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的方法。HUANG等[8]分析了諧波和白噪聲激勵(lì)下Duffing系統(tǒng)耦合NES后的分岔現(xiàn)象。劉良坤等[9]利用強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的特點(diǎn)來設(shè)計(jì)最優(yōu)NES剛度。孔憲仁等[10]將二自由度NES耦合到單自由度主結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)二自由度NES因產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)而產(chǎn)生比單自由度NES更好的振動(dòng)抑制效果。TRIPATHI等[11]研究發(fā)現(xiàn)NES能使受脈沖激勵(lì)的二自由度主系統(tǒng)的能量高效轉(zhuǎn)移至NES。劉麗蘭等[12]對(duì)有色噪聲激勵(lì)下NES系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)和能量傳遞進(jìn)行研究，以主系統(tǒng)振動(dòng)能量最小為優(yōu)化目標(biāo)，獲得了最優(yōu)調(diào)諧頻率比、最優(yōu)質(zhì)量比、最優(yōu)阻尼。SUN等[13]針對(duì)通信衛(wèi)星在微振動(dòng)環(huán)境下飛輪產(chǎn)生徑向振動(dòng)的問題進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)NES可以令飛輪實(shí)現(xiàn)約50%的振動(dòng)衰減。ZHANG等[14]分別在飛機(jī)機(jī)翼的前端、后端安裝2個(gè)NES來控制自由流引起的振動(dòng)，發(fā)現(xiàn)升沉模式和俯仰模式的能量可以傳遞到不同的NES，表明安裝這2個(gè)NES可極大提高能量的傳遞效率。王悅[15]在汽車的簧載質(zhì)量上附加NES，以減小路面激勵(lì)引起的振動(dòng)。ANUBI等[16]在懸架系統(tǒng)水平方向安裝的變剛度NES能高效吸收汽車簧載質(zhì)量中的振動(dòng)能量，從而減弱了道路干擾激勵(lì)傳遞到車身的振動(dòng)。

除上述立方剛度NES外，一些學(xué)者提出了負(fù)剛度(由立方剛度和線性負(fù)剛度構(gòu)成)NES。作為新興的NES，負(fù)剛度NES被證明具有較高的能量傳遞效率。FANG等[17]將負(fù)剛度NES安裝到伯努利-歐拉梁，發(fā)現(xiàn)該NES可以實(shí)現(xiàn)高效的能量轉(zhuǎn)移效率。QIU等[18]探究了負(fù)剛度NES的多種響應(yīng)機(jī)制，根據(jù)位于強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)和穩(wěn)定周期響應(yīng)之間的最佳點(diǎn)提出一種用于二自由度系統(tǒng)的負(fù)剛度NES設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，以使NES的效率最高、主結(jié)構(gòu)振幅最小。姚紅良等[19]設(shè)計(jì)的一種可調(diào)負(fù)剛度NES結(jié)構(gòu)對(duì)受周期激勵(lì)的懸臂梁具有良好的減振效果。

目前，對(duì)NES的研究主要集中于立方剛度NES，且應(yīng)用于汽車時(shí)考慮的是路面激勵(lì)。動(dòng)力總成激勵(lì)是汽車主要振動(dòng)源之一，激勵(lì)通過懸置引起車身振動(dòng)，因此筆者利用NES抑制車身振動(dòng)，提升汽車行駛平順性，通過汽車動(dòng)力學(xué)模型的對(duì)比來分析立方剛度NES和負(fù)剛度NES的動(dòng)力學(xué)特性及兩種NES對(duì)車身振動(dòng)抑制效果的差異，以選擇更適合汽車減振的NES。

本文首先建立車身分別增加立方剛度NES和負(fù)剛度NES的動(dòng)力總成-車身-輪胎模型， 運(yùn)用復(fù)變量-平均法得到系統(tǒng)的慢變方程，求得平衡點(diǎn)并判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，推導(dǎo)系統(tǒng)邊界方程，然后對(duì)比兩種NES在各自不穩(wěn)定解時(shí)的響應(yīng)，對(duì)立方剛度NES進(jìn)行優(yōu)化，驗(yàn)證減振效果，最后分析了兩種NES系統(tǒng)的能量譜。

1 動(dòng)力總成-車身-NES-輪胎模型

將整車系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)，建立基于動(dòng)力總成-車身-輪胎-負(fù)剛度NES的1/4汽車動(dòng)力學(xué)模型，如圖1示，其中，mp、ms、mu分別為動(dòng)力總成、車身和輪胎的質(zhì)量；Kp、Ks、Ku分別為懸置、懸架和輪胎的剛度；Cp、Cs分別為懸置和懸架的阻尼，由于輪胎的阻尼很小，因此模型忽略輪胎阻尼；mn、Kn、Km、Cn分別為非線性能量阱的質(zhì)量、立方剛度、負(fù)剛度、線性阻尼；F為動(dòng)力總成的激勵(lì)。將圖1中的負(fù)剛度項(xiàng)Km去掉即為立方剛度NES系統(tǒng)。

圖1 1/4汽車動(dòng)力學(xué)模型(負(fù)剛度NES系統(tǒng))Fig.1 One-quarter vehicle dynamics model((negative stiffness NES system))

假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)在穩(wěn)態(tài)工況下，根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型建立附加負(fù)剛度NES系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：

(1)

式中，Xp、Xs、Xn、Xu分別為動(dòng)力總成、車身、NES和輪胎的位移。

負(fù)剛度Km為0時(shí)，式(1)變?yōu)楦郊恿⒎絼偠萅ES系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。對(duì)式(1)引入新的時(shí)間尺度τ=ωt，則式(1)變換為

(2)

2 基于復(fù)變量-平均法的附加NES系統(tǒng)非線性分析

2.1 系統(tǒng)慢變方程及平衡點(diǎn)分析

(3)

將φ1=φs-φu，φ2=φs-φn，φ3=φp-φs引入式(3)并進(jìn)行變量替換，可得

(4)

(5)

求解式(5)得

(6)

NES與車身的相對(duì)位移φ2、動(dòng)力總成與車身的相對(duì)位移φ3、車身與車輪的相對(duì)位移φ1、車輪的位移φu可表示為

(7)

C=-BD=A+1

2.2 系統(tǒng)邊界方程

推導(dǎo)系統(tǒng)產(chǎn)生鞍結(jié)分岔的邊界方程[12]。將式(6)寫成如下形式：

(8)

對(duì)式(8)中的N2求導(dǎo)后得

(9)

將式(9)代入式(8)消去N2，得系統(tǒng)鞍結(jié)分岔的邊界方程：

(10)

通過求解式(10)可得鞍結(jié)分岔邊界圖。

2.3 穩(wěn)定性分析

由于式(7)的周期解可能穩(wěn)定，而解的穩(wěn)定性影響NES對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的抑制效果，因此需要分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性[10]。

將式(4)在平衡點(diǎn)附近展開，取φ1=φ10+Δ1，φ2=φ20+Δ2，φ3=φ30+Δ3，φu=φu0+Δu，其中，φ10、φ20、φ30、φu0分別為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，Δ1、Δ2、Δ3、Δu為對(duì)應(yīng)平衡點(diǎn)附近的微小增量。將φ1、φ2、φ3、φu代入式(4)得有關(guān)增量的方程：

(11)

將Δu=pu+iqu，Δ1=p1+iq1，Δ2=p2+iq2，Δ3=p3+iq3，φ2=N2exp(ia2)代式(11)進(jìn)行變量替換并分離實(shí)部和虛部，可得

(12)

式(12)右側(cè)系數(shù)矩陣的特征值方程為

|λΛ-A8×8|=0

(13)

式中，Λ為8階對(duì)角單位陣。

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即式(13)所有特征值的實(shí)部均小于0時(shí)，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)才是穩(wěn)定的，所以平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性可通過最大特征值來確定。

3 計(jì)算實(shí)例

3.1 系統(tǒng)參數(shù)

基于動(dòng)力總成-車身-輪胎的1/4汽車模型參數(shù)如表1所示[20]。系統(tǒng)各部分的固有圓頻率如表2所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

表2 系統(tǒng)各部分的固有圓頻率

3.2 系統(tǒng)鞍結(jié)分岔邊界對(duì)比分析

根據(jù)式(10)，選取不同的NES參數(shù)，令NES與車身質(zhì)量比εns分別為0.10、0.07和0.02(對(duì)應(yīng)的NES質(zhì)量分別為22.3 kg、15.61 kg和0.45 kg)，取立方剛度Kn為10 kN/m、50 kN/m和100 kN/m，繪制動(dòng)力總成激勵(lì)幅值隨NES阻尼系數(shù)變化的鞍結(jié)分岔邊界，如圖2示。圖3所示為負(fù)剛度NES系統(tǒng)鞍結(jié)分岔邊界。

由圖2、圖3可知，鞍結(jié)分岔邊界類似于三角形，當(dāng)阻尼系數(shù)λn和激勵(lì)幅值F處于三角形區(qū)域內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)有3個(gè)周期解，處于三角形區(qū)域外時(shí)，系統(tǒng)有1個(gè)周期解；阻尼系數(shù)λn和激勵(lì)幅值F增大到某一臨界值后，鞍結(jié)分岔現(xiàn)象消失。

(a)質(zhì)量比εns=0.10

由圖2a、圖3a可以看出，立方剛度Kn的變化對(duì)鞍結(jié)分岔邊界影響較大，Kn增大，阻尼系數(shù)λn臨界值減小，3個(gè)周期解的區(qū)域(曲線與Y軸圍成的封閉區(qū)域)減小。由圖3a可以看出，當(dāng)NES存在負(fù)剛度且負(fù)剛度系數(shù)km的絕對(duì)值增大時(shí)，3個(gè)周期解的區(qū)域向外擴(kuò)張，出現(xiàn)鞍結(jié)分岔所需的激勵(lì)幅值F也大。對(duì)比圖2可得，質(zhì)量比εns增大，出現(xiàn)鞍結(jié)分岔所需的激勵(lì)幅值F也增大，立方剛度NES的系統(tǒng)3個(gè)解的區(qū)域增大。對(duì)比圖3可得，負(fù)剛度NES質(zhì)量減小引起3個(gè)解的區(qū)域縮小。文獻(xiàn)[12]同樣研究了3個(gè)解的區(qū)域與參數(shù)的關(guān)系，通過調(diào)整NES參數(shù)得到飛輪-支撐板系統(tǒng)在其一階共振頻率附近的鞍結(jié)分岔邊界，發(fā)現(xiàn)隨著激勵(lì)頻率的增高，3個(gè)解的區(qū)域擴(kuò)大。

(a)質(zhì)量比εns=0.10

3.3 系統(tǒng)鞍結(jié)分岔及穩(wěn)定性對(duì)比分析

選取NES參數(shù)為質(zhì)量比εns=0.1、阻尼系數(shù)λn=0.01、負(fù)剛度NES的負(fù)剛度系數(shù)km=-0.5，激勵(lì)幅值F為500 N、800 N，激勵(lì)圓頻率等于車身固有圓頻率即ω=8.33 rad/s，繪制不同激勵(lì)幅值F下的系統(tǒng)鞍結(jié)分岔(圖4)，并根據(jù)2.3節(jié)判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

(a)立方剛度NES(F=500 N)

立方剛度NES和負(fù)剛度NES的系統(tǒng)鞍結(jié)分岔及平衡點(diǎn)穩(wěn)定性類似，隨著立方剛度Kn增大，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)都從1個(gè)(穩(wěn)定)變?yōu)?個(gè)(高、低分支穩(wěn)定，中間分支不穩(wěn)定)再變?yōu)?個(gè)(穩(wěn)定)。圖4a～圖4d中，相對(duì)位移存在3個(gè)解的立方剛度Kn范圍分別為48.22～117.21 kN/m、53.54～135.67 kN/m、12.32～41.23 kN/m、13.39～47.19 kN/m。

對(duì)比圖4可知，激勵(lì)幅值F增大導(dǎo)致立方剛度NES和負(fù)剛度NES系統(tǒng)相對(duì)位移存在3個(gè)平衡點(diǎn)的立方剛度Kn范圍均縮??；NES和車身的相對(duì)位移φ2的模|φ2|在相同的立方剛度Kn范圍內(nèi)小幅增大。對(duì)比圖4a、圖4b可知，在相同激勵(lì)幅值下，負(fù)剛度NES系統(tǒng)的3個(gè)解的立方剛度Kn范圍更大。

如圖5a、圖5b所示，當(dāng)NES與車身相對(duì)位移的絕對(duì)值在0.05～0.08 m時(shí)，穩(wěn)定解析解和數(shù)值解十分接近；當(dāng)NES與車身相對(duì)位移的絕對(duì)值在0.12～0.22 m時(shí)，穩(wěn)定解析解略小于數(shù)值解。復(fù)變量-平均法和龍格庫塔法計(jì)算得到的位移幅值偏差較小，因此解析分析與數(shù)值結(jié)果總體上是吻合的。

(a)立方剛度NES系統(tǒng)

通過時(shí)域曲線和相軌跡的分析來研究負(fù)剛度NES系統(tǒng)的不穩(wěn)定周期解能否觀察到非周期響應(yīng)，對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定解的系統(tǒng)參數(shù)如下：動(dòng)力總成激勵(lì)幅值F=500 N，立方剛度Kn=58 kN，負(fù)剛度系數(shù)km=-0.5。圖6a所示為負(fù)剛度NES系統(tǒng)的動(dòng)力總成位移、車身位移以及動(dòng)力總成與車身相對(duì)位移(位移差)的時(shí)域響應(yīng)，圖6b所示為系統(tǒng)相軌跡。

負(fù)剛度NES系統(tǒng)的初始條件即動(dòng)力總成的位移xp、速度vp，NES的位移xs、速度vs，車身的位移xn、速度vn，及輪胎的位移xu、速度vu全為0，結(jié)合負(fù)剛度NES的響應(yīng)機(jī)制類型分析[18]混沌阱間內(nèi)振蕩運(yùn)動(dòng)的相軌跡，可以看出外部曲線和內(nèi)部曲線存在交叉，并且與圖6的相軌跡類似，從而得出系統(tǒng)響應(yīng)為非周期響應(yīng)中的混沌阱間振蕩運(yùn)動(dòng)。經(jīng)計(jì)算驗(yàn)證，當(dāng)初始條件為較低穩(wěn)定平衡點(diǎn)(xp=-7.9 mm，vp=9.9 mm/s，xs=-55.4 mm，vs=3.3 mm/s，xn=1.1 mm，vn=-0.73 mm/s，xu=-5.7 mm，vu=3.2 mm/s)和較高穩(wěn)定平衡點(diǎn)(xp=-37.0 mm，vp=5.7 mm/s，xs=-35.5 mm，vs=0.7 mm/s，xn=-15.2 mm，vn=-126.2 mm/s，xu=-3.8 mm，vu=1.7 mm/s)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)均為混沌阱間振蕩響應(yīng)。

(a)時(shí)域響應(yīng)

下文討論相同系統(tǒng)參數(shù)及初始條件下的立方剛度NES系統(tǒng)的響應(yīng)。初始條件分別為0、較低穩(wěn)定平衡點(diǎn)(xp=-57.4 mm，vp=10.4 mm/s，xs=-55.2 mm，vs=3.8 mm/s，xn=4.7 mm，vn=-8.7 mm/s，xu=-5.7 mm，vu=3.2 mm/s)時(shí)的立方剛度NES系統(tǒng)的響應(yīng)如圖7示。初始條件為較高穩(wěn)定平衡點(diǎn)(xp=-24.9 mm，vp=1.4 mm/s，xs=-23.9 mm，vs=-4.9 mm/s，xn=-36.6 mm，vn=-196.2 mm/s，xu=-2.8 mm，vu=0.7 mm/s)時(shí)的立方剛度NES系統(tǒng)的響應(yīng)如圖8示。

(a)時(shí)域響應(yīng)

結(jié)合對(duì)立方剛度NES位移隨NES質(zhì)量變化的全局分岔圖的時(shí)域分析結(jié)論發(fā)現(xiàn)[4]，在初始條件為0、較低穩(wěn)定平衡點(diǎn)和較高穩(wěn)定平衡點(diǎn)下，立方剛度NES系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)均為周期運(yùn)動(dòng)，如圖7、圖8所示。

和負(fù)剛度NES相比，相同條件下，立方剛度NES系統(tǒng)未出現(xiàn)非周期響應(yīng)。鞍結(jié)分岔點(diǎn)為系統(tǒng)非周期響應(yīng)機(jī)制的存在提供了可能，但并不能保證出現(xiàn)非周期響應(yīng)，非周期響應(yīng)與系統(tǒng)慢不變流形上的吸引子有關(guān)，此系統(tǒng)未出現(xiàn)非周期響應(yīng)可能是因?yàn)楫?dāng)從一個(gè)穩(wěn)定分支跳躍到另一個(gè)分支時(shí)，非周期響應(yīng)被另一穩(wěn)定響應(yīng)吸引。

3.4 立方剛度NES系統(tǒng)吸振效果優(yōu)化

由于發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速不斷改變，因此下面分析激勵(lì)頻率變化的情況。根據(jù)3.3節(jié)立方剛度NES的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)分析可知立方剛度NES系統(tǒng)的響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，所以可以用幅值變化來衡量立方剛度NES的減振效果，利用四階龍格庫塔法直接對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程(式(2))進(jìn)行求解，得到的幅頻響應(yīng)曲線如圖9示。

(a)時(shí)域響應(yīng)

(a)動(dòng)力總成的幅頻曲線

原系統(tǒng)的動(dòng)力總成和車身幅頻曲線是上凸的，附加立方剛度NES后的幅頻曲線在系統(tǒng)一階固有頻率附近的峰值大幅降低，隨著立方剛度Kn的變大，動(dòng)力總成和車身幅值的第一個(gè)共振峰幾乎不變，凹口和第二個(gè)共振峰向右偏移且逐漸減小，吸振帶寬有所增大。

對(duì)立方剛度NES進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化子目標(biāo)為動(dòng)力總成和車身整體幅頻響應(yīng)的均方根、動(dòng)力總成和車身幅頻響應(yīng)的峰值，總的優(yōu)化目標(biāo)為兩個(gè)子目標(biāo)之和最小。

子目標(biāo)中的均方根峰值選取頻率范圍均為0～15 rad/s，圓頻率間隔均為0.1 rad/s，總點(diǎn)數(shù)均為150，則動(dòng)力總成、車身幅頻響應(yīng)的峰值分別為Ap,max、As,max，動(dòng)力總成和車身的幅值均方根為

(14)

式中，Api、Asi分別為點(diǎn)i的動(dòng)力總成和車身的幅值。

最終總的優(yōu)化目標(biāo)定義為Ap,max、As,max、Ap,RMS、As,RMS這四項(xiàng)的和的最小值：

J=min(Ap,max+As,max+Ap,RMS+As,RMS)

(15)

固定其他參數(shù)，改變立方剛度Kn，使J達(dá)到最小的剛度即為最優(yōu)立方剛度。繪制J隨立方剛度變化的曲線，如圖10所示，立方剛度Kn增大的過程中，J在剛度Kn=82.98 kN/m處出現(xiàn)最小值。將最優(yōu)立方剛度代入立方剛度NES系統(tǒng)，對(duì)比無NES的原系統(tǒng)和優(yōu)化后的立方剛度NES系統(tǒng)的動(dòng)力總成和車身的振動(dòng)幅值，如圖11示。

圖10 立方剛度對(duì)振動(dòng)優(yōu)化目標(biāo)的影響Fig.10 Influence of cubic stiffness on optimizationof vibration

圖11 原系統(tǒng)和立方剛度NES優(yōu)化后的幅頻響應(yīng)Fig.11 Amplitude-frequency response of the originalsystem and the optimized cubic stiffness NES

由圖11可見，無NES的動(dòng)力總成和車身幅頻響應(yīng)的峰值分別為6.2 mm、5.8 mm，對(duì)應(yīng)的頻率分別為7.8 rad/s、8.0 rad/s。立方剛度NES優(yōu)化后的動(dòng)力總成和車身幅頻響應(yīng)的第一個(gè)峰值分別為5.9 mm、55.0 mm，對(duì)應(yīng)的圓頻率為6.7 rad/s、6.9 rad/s；第二個(gè)峰值分別為48.0 mm、47.0 mm，對(duì)應(yīng)的圓頻率為8.9 rad/s、9 rad/s；最低點(diǎn)幅值分別為24.0 mm、23.0 mm，對(duì)應(yīng)的圓頻率均為9.3 rad/s。由圖11可以看出，優(yōu)化后的立方剛度NES對(duì)動(dòng)力總成和車身的振動(dòng)吸收有一定的效果，對(duì)車身固有頻率處的振動(dòng)有明顯衰減作用。

3.5 兩種NES系統(tǒng)的能量譜分析

剛度Kn=82.98 kN/m時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，立方剛度NES系統(tǒng)的振動(dòng)是穩(wěn)態(tài)的，但負(fù)剛度NES系統(tǒng)的振動(dòng)是非穩(wěn)態(tài)的。

從能量的角度來分析非周期響應(yīng)對(duì)NES吸振效果的影響。動(dòng)力總成和車身的平均能量為

(16)

式中，N為時(shí)間段t1～t2內(nèi)位移(速度)的個(gè)數(shù)。

利用龍格庫塔法求解能量隨頻率變化的曲線，取時(shí)間t為500～600 s。動(dòng)力總成激勵(lì)幅值F取500N，NES與車身的質(zhì)量比εns均為0.1，阻尼系數(shù)λn均為0.01，負(fù)剛度NES的負(fù)剛度系數(shù)km為-0.5，立方剛度NES的立方剛度Kn為82.98 kN/m，負(fù)剛度NES的立方剛度Kn為82.98 kN/m和58.00 kN/m。原系統(tǒng)、立方剛度NES系統(tǒng)、負(fù)剛度NES系統(tǒng)的能量譜如圖12示。

(a)動(dòng)力總成

由圖12可知，和原系統(tǒng)相比，優(yōu)化后的立方剛度NES對(duì)動(dòng)力總成和車身在一階固有頻率處的能量衰減有一定的作用，且負(fù)剛度NES效果更好，說明負(fù)剛度NES系統(tǒng)混沌阱間振蕩響應(yīng)的吸振效果更好。動(dòng)力總成的能量衰減程度小于車身的能量衰減程度，原因是NES附加在車身上，對(duì)車身的振動(dòng)抑制作用更明顯。因此當(dāng)兩類NES的立方剛度相同時(shí)，負(fù)剛度NES的振動(dòng)抑制效果更加明顯。對(duì)比負(fù)剛度NES的兩條曲線可見，最優(yōu)立方剛度情況下的能量衰減更多。

由圖12還可以看出，附加負(fù)剛度NES的系統(tǒng)在激勵(lì)圓頻率大于12 rad/s時(shí)，平均能量有所升高，經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，此時(shí)動(dòng)力總成的位移增加6 mm，由于圓頻率升高，頻域下的速度明顯增大，達(dá)0.07 m/s；車身的位移增加3 mm，速度增大0.05 m/s左右，使得圓頻率增大，動(dòng)力總成和車身的平均能量有所增加。

4 結(jié)論

(1)對(duì)于立方剛度NES和負(fù)剛度NES，NES質(zhì)量增大使鞍結(jié)分岔邊界擴(kuò)大；立方剛度越小，3個(gè)解區(qū)域越大；立方剛度相同時(shí)，負(fù)剛度NES比立方剛度NES的鞍結(jié)分岔邊界更大，且負(fù)剛度絕對(duì)值越大，3個(gè)解區(qū)域越大。

(2)對(duì)于立方剛度NES和負(fù)剛度NES，動(dòng)力總成激勵(lì)幅值越小，系統(tǒng)出現(xiàn)鞍結(jié)分岔的立方剛度越大；激勵(lì)幅值相同時(shí)，負(fù)剛度NES比立方剛度NES出現(xiàn)鞍結(jié)分岔的立方剛度范圍更大，對(duì)應(yīng)非周期響應(yīng)的剛度范圍更大。

(3)在不穩(wěn)定周期解的立方剛度下取相同初始條件，負(fù)剛度NES系統(tǒng)有非周期響應(yīng)，立方剛度NES系統(tǒng)無非周期響應(yīng)。

(4)以動(dòng)力總成和車身幅頻響應(yīng)的均方根和峰值為優(yōu)化目標(biāo)，得到的最優(yōu)立方剛度NES對(duì)動(dòng)力總成和車身在一階固有頻率處的振動(dòng)有明顯抑制效果。

(5)當(dāng)立方剛度NES和負(fù)剛度NES的立方剛度相同時(shí)，因非周期響應(yīng)負(fù)剛度NES的振動(dòng)抑制效果更加明顯，更適于汽車車身的減振。