陳軍
數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用于生活。用生活中的信息構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,既能解決實(shí)際問題,又能彰顯數(shù)學(xué)魅力。下面,老師以生活中的實(shí)際問題為例,與同學(xué)們談?wù)勅绾螛?gòu)建一次函數(shù)模型來解決決策性問題,希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所啟迪和幫助。
問題1:學(xué)校欲購置一批標(biāo)價(jià)為4800元的某種型號電腦,需求數(shù)量在6~15臺之間。經(jīng)與兩個(gè)商店商談,優(yōu)惠方法如下:
甲商店:購買電腦打八折;
乙商店:先贈一臺電腦,其余電腦打九折優(yōu)惠。
設(shè)學(xué)校欲購置x臺電腦,甲商店購買費(fèi)用為y甲(元),乙商店購買費(fèi)用為y乙(元)。
(1)分別寫出購買費(fèi)用y甲、y乙與所購電腦x(臺)之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)對x的取值情況進(jìn)行分析,說明這所學(xué)校購買哪家電腦更劃算。
【分析】問題(1),可直接根據(jù)甲商店和乙商店優(yōu)惠的條件,得出函數(shù)表達(dá)式;問題(2),要確定這所學(xué)校購買哪家電腦更劃算,也就是到哪家購買電腦的費(fèi)用更少,實(shí)際上就是分類討論甲商店購買費(fèi)用與乙商店購買費(fèi)用的大小關(guān)系,結(jié)合(1)的表達(dá)式,運(yùn)用方程和不等式即可解決問題。
解:(1)由題意可得,y甲=4800×0.8x=3840x(6≤x≤15);y乙=4800×0.9(x-1)=4320x-4320(6≤x≤15)。
(2)當(dāng)3840x=4320x-4320時(shí),解得x=9,即當(dāng)購買9臺電腦時(shí),到兩個(gè)商店購買費(fèi)用相同;當(dāng)3840x<4320x-4320時(shí),解得x>9,即當(dāng)10≤x≤15時(shí),到甲商店更劃算;當(dāng)3840x>4320x-4320時(shí),解得x<9,即當(dāng)6≤x≤8時(shí),到乙商店更劃算。
【點(diǎn)評】本題考查應(yīng)用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題的能力。讀懂題目信息,理解“更劃算”的實(shí)際意義,并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,再構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解決本題的關(guān)鍵。
問題2:某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共50件,已知A產(chǎn)品成本2000元/件,售價(jià)2300元/件;B種產(chǎn)品成本3000元/件,售價(jià)3500元/件。如果該廠每天最多投入成本140000元,那么該廠生產(chǎn)的兩種產(chǎn)品全部售出后,最多能獲利多少元?
【分析】由于該工廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的件數(shù)都是變量,因此,可建立該廠每天生產(chǎn)A種產(chǎn)品x(件)與兩種產(chǎn)品全部售出后共可獲利y(元)之間的函數(shù)表達(dá)式,再根據(jù)問題中的條件“該廠每天最多投入成本140000元”建立關(guān)于x的不等式,求得x的取值范圍,從而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定該廠生產(chǎn)的兩種產(chǎn)品全部售出后,最多可獲得的利潤。
解:設(shè)該廠每天生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件,兩種產(chǎn)品全部售出后共可獲利y元。由題意可得y=(2300-2000)x+(3500-3000)(50-x)=-200x+25000,
即y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=-200x+25000。
∵該廠每天最多投入成本140000元,
∴2000x+3000(50-x)≤140000,
解得x≥10。
∵y=-200x+25000,
∴當(dāng)x=10時(shí),y取得最大值,此時(shí)y=23000。
答:該廠生產(chǎn)的兩種產(chǎn)品全部售出后,最多能獲利23000元。
【點(diǎn)評】本題巧妙地利用待求問題與變化量之間的關(guān)系建立一次函數(shù)表達(dá)式,考查了同學(xué)們靈活應(yīng)用一次函數(shù)、一元一次不等式等知識解決實(shí)際問題的能力。解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)建一次函數(shù)數(shù)學(xué)模型。
總之,數(shù)學(xué)無處不在。數(shù)學(xué)知識是解決生活問題的關(guān)鍵,建模是解決實(shí)際問題的一個(gè)重要手段,而構(gòu)建一次函數(shù)模型解決實(shí)際生活中的決策問題,又是常見的方法之一。學(xué)習(xí)函數(shù)不僅能幫助同學(xué)們形成良好的數(shù)學(xué)思維,還能提高同學(xué)們解決實(shí)際問題的能力。
(作者單位:江蘇省建湖縣秀夫初級中學(xué))