王仲林,楊冬營,易思蓉

(1.廣州地鐵設(shè)計(jì)研究有限公司, 廣州 510010;2.西南交通大學(xué) a.土木工程學(xué)院，b.高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610031)

節(jié)能降耗是各類工程項(xiàng)目的研究難點(diǎn).城市軌道交通運(yùn)營中的能耗成本占總運(yùn)營成本的20%以上，列車運(yùn)行能耗又占總能耗的50%以上[1].城市軌道交通非明挖地下區(qū)間縱斷面線形不受地形限制，設(shè)計(jì)靈活，但對列車運(yùn)行能耗影響較大.我國城市軌道交通中，地下段占運(yùn)營線路總長的75%以上[2]，施工措施多為盾構(gòu)法，而盾構(gòu)區(qū)間縱斷面線形節(jié)能設(shè)計(jì)一直是線路設(shè)計(jì)的難點(diǎn).當(dāng)兩站中心標(biāo)高相差不大時(shí)，國內(nèi)外學(xué)者總結(jié)出節(jié)能型縱斷面線形的兩項(xiàng)基本特征：高站位、低區(qū)間的“V”型坡利用功能轉(zhuǎn)換方式實(shí)現(xiàn)節(jié)能，站外的第一縱坡被稱為節(jié)能坡.對于列車運(yùn)行最高速度為80 km/h的線路，李文波等[1-3]建議節(jié)能坡的長度為250 m，坡度取2%～2.6%間.胡曉丹等[4]則給出了不同區(qū)間長度的節(jié)能坡建議值.Kim等[5]定量分析了“V”型坡的節(jié)能效率.在“V”型坡的基礎(chǔ)上，當(dāng)區(qū)間中部形成高點(diǎn)時(shí)，縱斷面線形又被稱為“W”型坡.何麟輝等[6-8]對站間不同坡度組合進(jìn)行仿真分析后發(fā)現(xiàn)，“W”型坡較“V”型坡更節(jié)能，并且“W”型坡更利于區(qū)間排水和泵房設(shè)計(jì).

一般來說,符合基本特征的人工設(shè)計(jì)縱斷面線形難以與列車運(yùn)行狀態(tài)相吻合，節(jié)能效果有限.當(dāng)兩站中心標(biāo)高加大時(shí)，基本特征也逐漸失去適用性.針對人工設(shè)計(jì)的不足，國內(nèi)學(xué)者提出了多個(gè)基于種群算法的軌道交通縱斷面線形節(jié)能優(yōu)化模型.白驍?shù)萚9]以牽引能耗最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立城市軌道交通縱斷面線形節(jié)能優(yōu)化模型，并分析了單面坡、“V”型坡、“W”型坡的適用情況和優(yōu)化結(jié)果.溫馨等[10]則同時(shí)考慮能耗和工程費(fèi)兩項(xiàng)指標(biāo)建立三種坡型的節(jié)能優(yōu)化模型.陳進(jìn)杰等[11]基于高速列車節(jié)能操縱優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述，提出工況序列表與遺傳算法相結(jié)合的高速鐵路縱斷面線形節(jié)能優(yōu)化模型.但目前的節(jié)能優(yōu)化模型較難適應(yīng)縱斷面線形設(shè)計(jì)環(huán)境多變的情況.

針對現(xiàn)有研究的不足，本文作者以變坡點(diǎn)的里程和高程做為決策變量，將變量分配與編碼過程相統(tǒng)一，考慮各類幾何約束與設(shè)計(jì)條件約束，以列車雙向運(yùn)行能耗為目標(biāo)函數(shù)建立縱斷面線形節(jié)能優(yōu)化模型，采用粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法進(jìn)行模型求解.同時(shí)擬定多階段的優(yōu)化策略，逐步改進(jìn)變坡點(diǎn)的數(shù)量和分布，使優(yōu)化模型具有通用性.

1 優(yōu)化模型

1.1 決策向量與編碼

軌道交通縱斷面線形上的豎曲線半徑只取若干定值，為簡化優(yōu)化模型，可選擇變坡點(diǎn)的里程和高程作為變量，并記縱斷面線形的決策向量為[M1,E1,M2,E2,…,Mn,En]，n為變坡點(diǎn)數(shù)量，且同樣為變量.約定每個(gè)變坡點(diǎn)在各自的控制矩形內(nèi)變動(dòng)，控制矩形由相互垂直的兩條線段H1H2、V1V2確定，如圖1所示.變坡點(diǎn)PI在線段H1H2和V1V2上的投影點(diǎn)分別為Ph和Pv，線段H1H2和V1V2的交點(diǎn)為Pj，H1H2與水平軸的夾角為αh.

圖1 變坡點(diǎn)取值范圍與編碼參數(shù)

為使變坡點(diǎn)坐標(biāo)能在矩形范圍內(nèi)均勻分布，可利用線段H1H2、V1V2所確定的局部坐標(biāo)系，將縱斷面線形決策向量的各維編碼成[0,1)間的隨機(jī)數(shù)，記為[C1,C2,…,Cm]，其中0≤Ci<1,m=2n.當(dāng)需要對實(shí)際縱斷面線形進(jìn)行牽引能耗計(jì)算時(shí)，再將編碼向量解碼為實(shí)際的縱斷面決策向量，解碼公式為

(1)

(2)

(3)

1.2 目標(biāo)函數(shù)

列車運(yùn)行能耗主要包括列車牽引能耗和控制系統(tǒng)的基本能耗，其中控制系統(tǒng)能耗占比較小，可予以忽略.王月明[12]給出了按電機(jī)輸入功率計(jì)算列車牽引能耗的方法.由于城市軌道交通規(guī)范要求上、下行隧道間最多間隔600 m設(shè)置一處聯(lián)絡(luò)通道用于安全疏散，且不能設(shè)置臺(tái)階或大坡度，這使得上、下行縱斷面線形應(yīng)保持高度基本一致的相同坡向.因此，可假定上、下行方向縱斷面線形相同，以列車雙向運(yùn)行的牽引能耗為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即

MinC=C上+C下=

(4)

式中:C上為上行方向的牽引能耗；C下為下行方向的牽引能耗；Pi為牽引工況下，列車當(dāng)前速度所對應(yīng)的電機(jī)輸入功率,kW.圖2給出了某4動(dòng)2拖列車編組電機(jī)輸入功率曲線圖；Δti為列車運(yùn)行計(jì)算時(shí)間間隔,s，若采用時(shí)間作為計(jì)算步長，Δti為定值；η為牽引逆變器電氣效率.

圖2 牽引工況下列車輸入功率曲線

依據(jù)決策向量值和選取的豎曲線半徑，可計(jì)算出縱斷面線形，通過列車運(yùn)行計(jì)算得到對應(yīng)的雙向運(yùn)行速度-距離曲線，再結(jié)合列車輸入功率曲線，按式(4)計(jì)算出列車雙向運(yùn)行牽引總能耗.

1.3 約束條件

列車運(yùn)行計(jì)算前，縱斷面線形還應(yīng)滿足現(xiàn)行設(shè)計(jì)規(guī)范中的幾何約束和工程中的設(shè)計(jì)條件約束.

1.3.1 幾何約束

1)坡度約束.

區(qū)間坡度的約束表達(dá)式為

(5)

2)夾直段長度約束.

豎曲線間夾直段長度表達(dá)式為

Mi-Mi-1-(Ti+Ti-1)≥Ljmin

(6)

式中：Ti、Ti-1分別為第i、i-1個(gè)變坡點(diǎn)處的切線長.

3)豎曲線進(jìn)站約束.

第一豎曲線和末位豎曲線不能進(jìn)入車站有效站臺(tái)或車站結(jié)構(gòu)范圍.當(dāng)站端設(shè)置配線時(shí)，豎曲線還應(yīng)避開道岔區(qū)域.定義L1表示第一豎曲線起點(diǎn)距離線路起點(diǎn)的最小長度要求，L2表示末位豎曲線終點(diǎn)距離線路終點(diǎn)的最小長度要求.豎曲線進(jìn)站約束表達(dá)式為

(7)

式中：Ms為線路起點(diǎn)里程；Me為線路終點(diǎn)里程；T1為第一個(gè)變坡點(diǎn)處的切線長；Tn為第n個(gè)變坡點(diǎn)處的切線長.

1.3.2 設(shè)計(jì)條件約束

1)線路埋深約束.

考慮到盾構(gòu)隧道施工可能引起的地面隆沉對臨近地面建筑和地下構(gòu)筑物的影響，以及盾構(gòu)推力對地下管線的影響，盾構(gòu)法施工的區(qū)間隧道覆土厚度不宜小于隧道外輪廓的直徑D[13].因此，地面線以下約(2D-s)米范圍是縱斷面線形的禁區(qū),s為軌面到隧道外輪廓底的距離.

2)結(jié)構(gòu)物約束.

城市內(nèi)地下結(jié)構(gòu)物密集，盾構(gòu)隧道常需下穿或上跨結(jié)構(gòu)物，形成標(biāo)高上的約束范圍，例如：地下污水管、樓房的筏板基礎(chǔ)、相鄰線路隧道等.當(dāng)平面線路與結(jié)構(gòu)物交叉范圍不長時(shí)，可按最不利點(diǎn)原則將結(jié)構(gòu)物約束轉(zhuǎn)化為縱斷面線形必須繞避的一個(gè)或兩個(gè)垂直線段.確定垂直線段范圍的關(guān)鍵參數(shù)是施工安全凈距.結(jié)構(gòu)物約束的公式為

(8)

式中：h上為結(jié)構(gòu)物頂標(biāo)高；h下結(jié)構(gòu)物底標(biāo)高；a為施工安全凈距(常與D相等)；E為相應(yīng)里程處的線路標(biāo)高.

1.4 列車操縱策略

縱斷面線形的優(yōu)化目標(biāo)是通過坡度和坡長的調(diào)整，延長惰行時(shí)間，避免不必要的列車制動(dòng)，減少有害坡段[14].因此，列車操縱策略是節(jié)能運(yùn)行的關(guān)鍵.城市軌道交通列車采用無級調(diào)速模式時(shí)，可依據(jù)運(yùn)行速度確定工況轉(zhuǎn)換時(shí)機(jī)[15].本研究采用牽引-惰行-制動(dòng)模式仿真列車運(yùn)行，用四個(gè)工況轉(zhuǎn)換速度閾值控制列車操作，如圖3所示.k1與m2是惰行轉(zhuǎn)其他工況的閾值，k2是牽引終止閾值，m1是制動(dòng)終止閾值.

圖3 工況轉(zhuǎn)換模式

綜上所述，城市軌道交通盾構(gòu)區(qū)間縱斷面線形節(jié)能優(yōu)化模型可表述為

MinC=C上+C下

s.t.g(M,E)≤0

(9)

2 模型求解

2.1 標(biāo)準(zhǔn)PSO算法

由Kennedy 提出的標(biāo)準(zhǔn)PSO算法是一種依靠群體智能的優(yōu)化算法.該算法通過模擬鳥群和魚群活動(dòng)，利用種群內(nèi)的合作與競爭，實(shí)現(xiàn)個(gè)體位置和種群最優(yōu)位置的提升[16].

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的數(shù)學(xué)描述為：對于一個(gè)d維空間優(yōu)化問題，第i個(gè)粒子的位置和速度可分別表達(dá)為Xi=[xi,1,xi,2,…,xi,d]T和Vi=[vi,1,vi,2,…,vi,d]T，每個(gè)粒子在自身軌跡上的最好位置為Pi=[pi,1,pi,2,…,pi,d]T，至第g次迭代前種群的最好位置為Pgbest，則第g+1代粒子的飛行速度被更新為

vi,g(g+1)=w×vi,j(g)+c1×r1×

(pi,j-xi,j(g))+c2×r2×(pgbest-xi,j(g))

(10)

式中：w是慣性權(quán)重；c1和c2為學(xué)習(xí)因子；r1和r2為服從均勻分布U(0,1)的隨機(jī)數(shù)；i=1,2,…,n為粒子規(guī)模.當(dāng)w取0.729 8，學(xué)習(xí)因子c1和c2取1.496 18時(shí)，算法具有較好的收斂性[17].依據(jù)新的速度值，每個(gè)粒子的位置被更新為

xi,j(g+1)=xi,j(g)+vi,j(g+1)

j=1,2,…,d

(11)

當(dāng)種群最優(yōu)位置不變，或達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)，優(yōu)化過程終止.標(biāo)準(zhǔn)PSO算法還需設(shè)置粒子的最大速度區(qū)間[-Vmax,Vmax]，Vmax取0.3Xmax.粒子飛行速度越界時(shí)置0.標(biāo)準(zhǔn)PSO算法只針對無約束優(yōu)化，應(yīng)用于約束優(yōu)化時(shí)應(yīng)增加邊界和約束處理.

2.2 邊界處理

工程優(yōu)化中，變量都有各自的取值范圍.Venter通過改變粒子飛行速度來進(jìn)行邊界處理[18]，即當(dāng)決策向量中的某個(gè)分量越界時(shí)速度分量的計(jì)算公式為

vi,j(g+1)=c1×r1×(pi,j-xi,j(g))+

c2×r2×(pg,j-xi,j(g))

(12)

新的速度會(huì)使粒子位置分量向種群最優(yōu)位置和自身軌跡最優(yōu)位置移動(dòng)，從而指向變量的可行區(qū)域.

2.3 約束處理

1)幾何約束處理.

當(dāng)縱斷面線形不滿足幾何約束條件時(shí)，可能無法形成合理的空間線形，或受列車牽引性能限制，無法進(jìn)行正常的列車運(yùn)行計(jì)算.借鑒差分進(jìn)化算法中的直接比較法來處理幾何約束，可避免不必要的列車運(yùn)行計(jì)算[19].其處理原則包括：當(dāng)原最優(yōu)粒子和新的粒子存在約束沖突時(shí)，約束沖突數(shù)量少者更優(yōu)，若約束沖突數(shù)相等，則保留原最優(yōu)粒子；當(dāng)原最優(yōu)粒子和新的粒子均不存在約束沖突,則運(yùn)行能耗低者更優(yōu).

2)設(shè)計(jì)條件約束處理.

在目標(biāo)函數(shù)中引入懲罰因子，可處理設(shè)計(jì)條件約束.設(shè)置懲罰因子參數(shù)時(shí)，考慮逐步引導(dǎo)粒子向非約束區(qū)域過渡.包含懲罰因子的目標(biāo)函數(shù)為

(13)

式中：o1為線形與禁區(qū)的交叉次數(shù);ua為禁區(qū)約束懲罰單價(jià);li為第i次交叉長度;o2為線形與結(jié)構(gòu)物約束線段的相交次數(shù);ub為結(jié)構(gòu)物標(biāo)高約束懲罰單價(jià);lj為交點(diǎn)至約束垂直線段某端點(diǎn)的距離;Lj為結(jié)構(gòu)物約束線段的總長.

2.4 多階段優(yōu)化策略

1)初始方案搜索.

當(dāng)僅明確兩站坡度和中心標(biāo)高時(shí)，應(yīng)通過假設(shè)變坡點(diǎn)的分布來進(jìn)行初始縱斷面線形的搜索.初始方案搜索階段變坡點(diǎn)控制矩形的布置如圖4所示.矩形位置由步長S、矩形寬度W，以及縱斷面最大坡度G三個(gè)參數(shù)確定，其中S≥W.首末位控制矩形上的線段V1V2長度為0，以保持車站坡度不變.其余控制矩形上，H1H2為水平線段，V1V2為垂直線段，且兩線段的交點(diǎn)在區(qū)間線路起終點(diǎn)間的連線上.

圖4 初始方案搜索中變坡點(diǎn)控制矩形分布

考慮到坡段長度不宜小于列車長度，步長和矩形寬度可取列車長度.由于此步變坡點(diǎn)數(shù)量較多，為避免幾何約束阻礙最優(yōu)線形的搜索進(jìn)度，豎曲線半徑可取為0.優(yōu)化結(jié)果為拆線式的初始縱斷面線形.

2)深度優(yōu)化.

深度優(yōu)化前，應(yīng)刪除既有方案上坡段長度或坡度代數(shù)差較小的變坡點(diǎn).優(yōu)化中，豎曲線半徑應(yīng)取設(shè)計(jì)值，每個(gè)變坡點(diǎn)控制矩形上，線段H1H2可適當(dāng)加長，V1V2則應(yīng)適當(dāng)減小.圖5給出了深度優(yōu)化階段變坡點(diǎn)控制矩形的布置方法.若此步優(yōu)化結(jié)果上仍然存在坡段長度小或坡度代數(shù)差小的變坡點(diǎn)，可刪除后進(jìn)行下一輪深度優(yōu)化，直到優(yōu)化結(jié)果滿意為止.

圖5 深度優(yōu)化階段變坡點(diǎn)控制矩形分布

基于上述優(yōu)化模型及其求解方法，開發(fā)了相應(yīng)的“城市軌道交通盾構(gòu)區(qū)間縱斷面線形節(jié)能優(yōu)化系統(tǒng)”，優(yōu)化流程框架如圖6所示.

圖6 縱斷面線形節(jié)能優(yōu)化框架

3 算例研究

以成都地鐵7號線火車北站至駟馬橋站盾構(gòu)區(qū)間為案例進(jìn)行優(yōu)化分析.區(qū)間設(shè)計(jì)速度80 km/h，兩站中心標(biāo)高差6.96 m，均為0.2%的下坡，車站中心間距2 018.53 m，有效站臺(tái)長140 m.縱斷面線形下穿北新高架橋樁基形成結(jié)構(gòu)物約束，下穿沙河形成線路埋深約束的主要控制點(diǎn).

3.1 參數(shù)配置

基本參數(shù)取值如表1所示.當(dāng)站端豎曲線半徑為3 000 m時(shí)，首末位變坡點(diǎn)距離區(qū)間線路起終點(diǎn)的距離一般不超過50 m，因此在兩變坡點(diǎn)的控制矩形上，H1H2=50 m，V1V2=0，并在各優(yōu)化階段保持不變.中間變坡點(diǎn)控制矩形分布需兼顧坡段長度不宜小于列車長度的規(guī)范要求[19]，依據(jù)不同優(yōu)化階段進(jìn)行分配.各優(yōu)化階段種群中的粒子數(shù)均為100.

表1 基本參數(shù)取值

3.2 優(yōu)化過程

在初始方案搜索階段，按步長S=140 m，寬度W=140 m分配中部變坡點(diǎn)控制矩形.圖7給出了初始方案搜索階段種群最優(yōu)方案的能耗變化線，計(jì)算用時(shí)169.1 s，循環(huán)1 300代.在第67代之前，最優(yōu)方案未完成幾何約束處理，能耗值無窮大.在第67代至831代，最優(yōu)方案未完成設(shè)計(jì)條件約束處理，能耗值極大但不斷遞減.第831代后，最優(yōu)方案完成約束處理并在1 300代穩(wěn)定在43.178 3 kW·h.

圖7 初始方案搜索階段最優(yōu)值變化線

優(yōu)化方案及VS曲線如圖8所示,在初始方案基礎(chǔ)上，逐步刪除虛線處的變坡點(diǎn)進(jìn)行三次深度優(yōu)化.深度優(yōu)化過程中，中間變坡點(diǎn)控制矩形的中心與各既有變坡點(diǎn)重合，并使H1H2=140 m，V1V2=10 m.

圖8 優(yōu)化方案及VS曲線

另外，既有線形方案被編碼為種群中的一員，以便在深度優(yōu)化中加快約束處理，提升收斂速度.3次深度優(yōu)化平均計(jì)算用時(shí)218.7 s，能耗均略大于41.430 kW·h.

3.3 優(yōu)化結(jié)果分析

人工方案及VS曲線如圖9所示.對比圖8、圖9可知，優(yōu)化方案與人工方案一樣，均避開了北新高架樁基約束范圍，但優(yōu)化方案線路整體埋深稍淺.兩側(cè)節(jié)能坡對比，優(yōu)化方案較人工方案長度短，坡度緩，中間坡段對比，兩者相近.

圖9 人工方案及VS曲線

由于兩站高差較大，樁基約束又壓低了區(qū)間中部標(biāo)高，優(yōu)化方案和人工方案均無法避免區(qū)間中部的牽引和制動(dòng).但在上行方向上，人工方案的出站節(jié)能坡度大、坡段長，在達(dá)到最低點(diǎn)前，惰行速度增加快，觸發(fā)了區(qū)間制動(dòng).過最低點(diǎn)后，面臨大坡度，人工方案又觸發(fā)了兩次區(qū)間牽引.優(yōu)化方案沒有區(qū)間制動(dòng)，僅在進(jìn)站前需要一次區(qū)間牽引；在下行方向上，人工方案出站后加速快，較優(yōu)化方案制動(dòng)早，且制動(dòng)距離稍長.在進(jìn)站前人工方案坡度較大，惰行減速快，觸發(fā)了一次區(qū)間牽引，而優(yōu)化方案沒有區(qū)間牽引.

人工方案雙向運(yùn)行總時(shí)間為251.9 s，總能耗為51.516 kW·h，而優(yōu)化方案雙向運(yùn)行總時(shí)間為250.0 s，總能耗僅為41.431 kW·h.優(yōu)化方案較人工方案節(jié)能19.6%，且列車運(yùn)行時(shí)間稍短.

4 結(jié)論

1)構(gòu)建了以節(jié)約雙向牽引能耗為目標(biāo)的城市軌道交通盾構(gòu)區(qū)間縱斷面線形節(jié)能優(yōu)化模型，改進(jìn)PSO算法，并基于多階段優(yōu)化策略，實(shí)現(xiàn)了變坡點(diǎn)分布未知和已知情況下的縱斷面線形優(yōu)化.

2)通過邊界和約束處理上的改進(jìn)，PSO算法在工程優(yōu)化中具有較快的收斂速度.

3)變坡點(diǎn)的數(shù)量和取值范圍是影響縱斷面線形節(jié)能效果的重要因素，分階段的優(yōu)化策略可逐步確定合理的交點(diǎn)分布，提升了優(yōu)化模型的通用性.

4)工況轉(zhuǎn)換模式顯著影響節(jié)能優(yōu)化結(jié)果.應(yīng)根據(jù)不同的區(qū)間長度、限速范圍、車站高差等擬定不同的工況轉(zhuǎn)換模式來引導(dǎo)縱斷面線形優(yōu)化進(jìn)程.

5)本文僅以固定的速度閾值來控制列車的工況轉(zhuǎn)換，沒有考慮列車運(yùn)行控制上的節(jié)能.在節(jié)能控制策略下，優(yōu)化方案的上行方向和人工方案的下行方向，進(jìn)站前的牽引運(yùn)行可轉(zhuǎn)變?yōu)槎栊?如何將縱斷面線形的優(yōu)化與節(jié)能控制策略的優(yōu)化相結(jié)合是下一步的研究重點(diǎn).