李鳳， 劉俊利

(1.西安醫(yī)學高等?？茖W校，陜西 西安 710309;2.西安工程大學，陜西 西安 710032)

1 前言

漢坦病毒生存并繁殖在鼠類體內,也在鼠類之間傳播,然而感染這種病毒的鼠類沒有任何的癥狀和明顯病變，但是人類若感染這種病毒便會導致流行性出血熱[1-3].人類被感染的主要方式是被鼠類直接咬傷或誤食被鼠類排泄物污染的食物,它的潛伏期一般為2周左右[4-5]，且可通過自然感染獲得動態(tài)的免疫屏障(即感染過的人不會再次感染).目前醫(yī)學上已研制出出血熱疫苗，人類可以通過接種獲取90%以上的保護率.

傳染病數學模型可以為傳染病的發(fā)展及控制提供理論依據.2002年,Abramson和Kenkre提出了一類漢坦病毒鹿鼠模型,分析了漢坦病毒在鼠種群間的傳播[6]；2003年,他們又提出了帶有反應擴散的漢坦病毒模型,表明環(huán)境參數控制著兩種傳播方式間的過渡[7].2017年,姜黎和姚美萍基于國內疫情防護措施,建立了一類人鼠耦合漢坦病毒模型,得出加強防控措施可對其進行控制的結果[8].結合前人的研究,本文在考慮染病鼠對易感人群和鼠群直接傳播[9]的同時加入了接種因素,并對模型的局部穩(wěn)定性及持久性進行了分析.

2 模型建立

根據漢坦病毒的傳播途徑并考慮接種因素，給出倉室圖(見圖1)，并建立模型

圖1 模型倉室圖

(1)

其中，SH、IH和RH表示t時刻人群中的易感者數量、染病者數量和恢復者數量(即SH(t)、IH(t)和RH(t))，SH+IH+RH為總人數;SM和IM表示t時刻易感鼠和染病鼠的數量(即SM(t)和IM(t));x表示t時刻具有傳染性的出血熱病毒數量(即x(t));A1和A2分別表示人和鼠的輸入率;β1和β2分別表示人群中易感者被染病鼠類咬傷和被環(huán)境中出血熱病毒感染的傳染率;ρ表示易感者的疫苗接種率;σ表示感染了出血熱病毒后人的恢復率系數;β3和β4分別表示易感鼠被染病鼠類咬傷和被環(huán)境中出血熱病毒感染的傳染率;a表示染病鼠的出血熱病毒釋放率;d1和d2表示人和鼠的自然死亡率系數;病毒離開寄體后的消亡率系數用d3表示.

假設模型(1)的所有解均滿足初值條件

SH(0)>0,IH(0)>0,RH(0)>0,SM(0)>0,IM(0)>0,x(0)>0.

(2)

對于任意常數ε>0,定義

當t充分大時,模型(1)的全部正解滿足初始條件(2),且進入或停留在區(qū)域Γε中，因此本文只在Γε中考慮模型(1)的動力學性質.

3 基本再生數與平衡點的局部穩(wěn)定性

顯然模型(1)有唯一無病平衡點E0=(SH0,0,RH0,SM0,0,0)，這里

根據基本再生數計算方法[10],定義

則有

基本再生數由ρ(FV-1)給出,經計算得

其中

且令R01=C0+C1,易得R0-1與R01-1符號相同.

顯然,只有R01>1時，R0>1，此時模型(1)有唯一的地方病平衡點E*.

定理1如果R0<1，則無病平衡點E0局部漸近穩(wěn)定; 如果R0>1,則E0不穩(wěn)定.

證明模型(1)在E0處的雅可比矩陣為

則E0處的特征方程為

(3)

顯然(3)有四個負實根,令上式中的行列式為零,展開得

(4)

定理2如果R0>1,則地方病平衡點E*局部漸近穩(wěn)定.

證明模型(1)在E*處的雅可比矩陣為

則E*處的特征方程為

(5)

其中

計算得

由Routh-Hurwitz判據[11]可知,(5)的所有解均有小于零的實部,所以當R0>1時,E*局部漸近穩(wěn)定.

4 疾病的持久性

引理1[10]若R0>1?r(F-V)>0，若R0<1?r(F-V)<0.

定理3若R0>1，則模型(1)是持久的,即存在常數η>0，使得模型(1)具有非負初值條件且IH(t)+IM(t)+x(t)>0的解(SH(t),IH(t),RH(t),SM(t),IM(t),x(t))滿足

證明定義X={(SH,IH,RH,SM,IM,x)∈Γε},X0={(SH,IH,RH,SM,IM,x)∈X∶IH+IM+x>0},?X0=XX0={(SH,IH,RH,SM,IM,x)∈X∶IH=IM=x=0}.

下證對于(X0,?X0)，模型(1)是一致持久的.

易證X和X0是模型(1)的正向不變集，設B是它的一個列緊集,則它的解從X中出發(fā)最終進入B.關于X的緊度條件(C4.2)也很容易驗證[13].

定義M?={(SH(0),IH(0),RH(0),SM(0),IM(0),x(0))∶(SH(t),IH(t),RH(t),SM(t),IM(t),x(t))∈?X0,t≥0}.下證

M?={(SH,0,RH,SM,0,0)∶SH≥0,RH≥0,SM≥0}.

(6)

設(SH(0),IH(0),RH(0),SM(0),IM(0),x(0))∈M?.只需要證明?t≥0，IH(t)=IM(t)=x(t)=0.設存在t0≥0，使得IH(t0)>0或IM(t)>0或x(t0)>0,則(SH(t0),IH(t0),RH(t0),SM(t0),IM(t0),x(t0))∈X0,與(SH(0),IH(0),RH(0),SM(0),IM(0),x(0))∈M?矛盾，(6)得證.

令Ω=∪{ω(SH(0),IH(0),RH(0),SM(0),IM(0),x(0))∶(SH(0),IH(0),RH(0),SM(0),IM(0),x(0))∈M?},ω(SH(0),IH(0),RH(0),SM(0),IM(0),x(0))是以(SH(0),IH(0),RH(0),SM(0),IM(0),x(0))為初值的模型(1)解的ω極限集.限制系統(tǒng)(1)在M?上得

(7)

其中(SH(t),IH(t),RH(t),SM(t),IM(t),x(t))是初值在X0中的任意解,根據Leebheer和Smith的引理3.5[14],只需證明WS(E0)∩X0=?，其中WS(E0)是E0的穩(wěn)定流形.

假設WS(E0)∩X0=?不成立,則當t→∞時,在X0中存在一個解(SH(t),IH(t),RH(t),SM(t),IM(t),x(t))，有

SH(t)→SH0,RH(t)→RH0,SM(t)→SM0,IH(t)→0,IM(t)→0,x(t)→0.

(8)

當R0>1時,對足夠小的δ>0，存在T>0,當t>T時有

SH0-δ

SM0-δ

0≤x(t)<δ,IH(t)+IM(t)+x(t)>0.

當t>T時,由模型(1)可得

即

5 結語

構建了在兩種傳播途徑的基礎上加入接種因素的出血熱模型,計算了模型的無病平衡點和基本再生數R0，利用Routh-Hurwitz判據等判斷了模型平衡點的局部穩(wěn)定性,如果R0<1，E0局部漸近穩(wěn)定,疾病滅絕；如果R0>1，E*局部漸近穩(wěn)定.證明了R0>1時流行性出血熱的持久存在性.由R0的表達式知滅鼠和環(huán)境管理相結合對控制出血熱的傳播起著至關重要的作用.