江蘇省揚(yáng)州市新華中學(xué) (225009) 王梅蓉

江蘇省揚(yáng)州中學(xué) (225009) 戚有建

很多高考題看起來很平凡，實(shí)際上卻平而不凡、豐富多彩，都是專家經(jīng)過精心思考編制出來的，是專家智慧的集中體現(xiàn)，所以有很大的研究價(jià)值，本文從2021年新高考Ⅰ卷的一道解幾題出發(fā)，首先研究問題的各種解法，然后對問題進(jìn)行了推廣研究、類比，最后給出結(jié)論的相關(guān)應(yīng)用．

一．考題展示

點(diǎn)評：本題是2021年新高考Ⅰ卷的21題，是壓軸題、選拔題.第(1)問學(xué)生很容易上手，先確定曲線的類型，再確定基本量.第(2)問實(shí)際上是個(gè)定值問題，意在考查用方程來研究曲線的性質(zhì)，即用代數(shù)方法(坐標(biāo)法)來研究幾何問題(定值問題).本題看起來很平凡，實(shí)際上卻有一定難度和區(qū)分度，有很大的研究價(jià)值，我們重點(diǎn)研究第(2)問.

二．解法研究

即cos2θ=cos2β，∵θ≠β，∴cosθ=-cosβ，∵k1≠k2，∴k1+k2=0.

點(diǎn)評：解法2是借助直線的參數(shù)方程來處理，其中參數(shù)t的幾何意義是關(guān)鍵，但2017版新課標(biāo)對直線的參數(shù)方程不做要求，所以學(xué)生不容易想到這個(gè)方法.

點(diǎn)評：解法3是構(gòu)建二次曲線系來處理問題，運(yùn)算量大大簡化．因?yàn)樵摱吻€系(即①式)表示圓，所以等式的左邊應(yīng)該不含xy，所以k1+k2=0．解法3是站在方程的高度來處理幾何問題，充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想.

三．研究推廣

題目中|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|實(shí)際上相當(dāng)于A,B,P,Q四點(diǎn)共圓，將本題推廣為一般雙曲線可得如下結(jié)論：

將結(jié)論1中的“雙曲線”改為“橢圓、拋物線”，結(jié)論成立嗎？研究后發(fā)現(xiàn)仍然成立，即有下面結(jié)論：

結(jié)論2 已知兩條直線y=k1x+b1,y=k2x+b2與圓錐曲線ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)交于四個(gè)點(diǎn)A,B,P,Q，則A,B,P,Q四點(diǎn)共圓的充要條件是k1+k2=0．

結(jié)論1、結(jié)論2的證明過程與上面類似，從略．

四．結(jié)論應(yīng)用

解析： (1)y2=4x(過程從略).