安徽省合肥市第四中學(xué) (233000) 管良梁

導(dǎo)數(shù)中不等式恒成立問題，對于學(xué)生而言一直都是一個難點.處理此類問題一般有兩種方法：分類討論、參數(shù)分離.學(xué)生遇到“不等式恒成立”問題，首選的方法就是“參數(shù)分離”.本文簡要呈現(xiàn)師生應(yīng)用“參數(shù)分離”解決一道“不等式恒成立”問題的思考與解答歷程，嘗試對這類方法進行梳理，希望能起到拋磚引玉的作用.

1 問題呈現(xiàn)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)當a>0時，對任意x∈(0,+∞)，不等式aex+(a+1)x≥(a+1)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

2 解答探究

本題的第(1)問比較簡單，學(xué)生基本能獨立完成.第(1)問答案：當a>0時，單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2)和(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,0)；當a<0時，單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2)和(0,+∞).第(2)問學(xué)生解答展示：

評注：解法1在對xex+1-2x正負的判斷過程中計算量較大，花費的時間較多，學(xué)生很難獨立完成.

在解法1的基礎(chǔ)下引導(dǎo)學(xué)生能不能通過不同的變形簡化計算？

解法2雖然比解法1要簡單一點，但是計算還是比較繁瑣，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生變形簡化計算.

評注：由于解法3在變形的過程中除以的a+1和ex都大于0，所以計算量大幅減小，從而提高了解題效率.

在解法3的提示下，有學(xué)生提出了解法4.

評注：解法4和解法3類似，在變形的過程中除以的a+1和ex都大于0，所以計算量也大幅減小，解題效率也得以提高.

3 解后反思

相比較而言解法3和解法4，雖然沒有分“干凈”，但是解答起來比較方便.所以遇到此類問題時，需要我們結(jié)合條件觀察不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇合適的分參方式，簡化計算，提高解題效率.