高莘青，馬 釗

(航空工業(yè)西安飛行自動(dòng)控制研究所，陜西 西安 710076)

1 引言

由于直升機(jī)旋翼氣動(dòng)特性的復(fù)雜性，基于機(jī)理的正向建模方法較難獲取具有較高精度的直升機(jī)模型。在實(shí)際工程應(yīng)用中，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)式的基于辨識(shí)理論的逆向建模方法得到了較多關(guān)注。系統(tǒng)辨識(shí)建模的特點(diǎn)在于，將直升機(jī)動(dòng)力學(xué)特性抽象為黑箱或灰箱式的輸入輸出模型，利用飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)并通過(guò)優(yōu)化方法，通過(guò)優(yōu)化技術(shù)搜索能最佳擬配飛行數(shù)據(jù)的模型。系統(tǒng)辨識(shí)技術(shù)顯著降低了直升機(jī)的建模成本，取得了較大關(guān)注，相關(guān)應(yīng)用見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1-5]。

常見(jiàn)的系統(tǒng)辨識(shí)方法包括最小二乘法、預(yù)報(bào)誤差法與極大似然法等[6]。上述方法合理應(yīng)用的前提為待辨識(shí)的系統(tǒng)處于開(kāi)環(huán)條件。由于直升機(jī)氣動(dòng)具有穩(wěn)定性差、非線性與軸間耦合性強(qiáng)等特點(diǎn)，自動(dòng)飛行控制系統(tǒng)對(duì)于保障飛行試驗(yàn)的安全具有不可替代的作用。在閉環(huán)條件下，由于反饋的引入，導(dǎo)致了系統(tǒng)輸入與擾動(dòng)具有較強(qiáng)的相關(guān)性。直接應(yīng)用開(kāi)環(huán)辨識(shí)方法，將導(dǎo)致辨識(shí)結(jié)果產(chǎn)生顯著的偏差，甚至辨識(shí)結(jié)果完全不可信[7]。

閉環(huán)條件下如何克服系統(tǒng)輸入與擾動(dòng)的相關(guān)性是系統(tǒng)辨識(shí)所需解決的核心問(wèn)題。針對(duì)上述問(wèn)題，閉環(huán)子空間辨識(shí)理論利用與外擾不相關(guān)的激勵(lì)信號(hào)張成了與擾動(dòng)信號(hào)正交的數(shù)據(jù)空間，并將系統(tǒng)輸入與輸出投影向上述正交空間進(jìn)行投影，從而消除干擾的相關(guān)性對(duì)辨識(shí)造成的影響，最終得到系統(tǒng)參數(shù)的一致無(wú)偏估計(jì)[7]。閉環(huán)子空間辨識(shí)理論應(yīng)用的前提是存在與系統(tǒng)干擾無(wú)關(guān)的有效外部激勵(lì)。在實(shí)際的飛行試驗(yàn)中，系統(tǒng)激勵(lì)由飛行員桿指令進(jìn)行給定，通過(guò)合理的指令設(shè)計(jì)，能夠滿足與系統(tǒng)干擾不相關(guān)的要求。此外子空間辨識(shí)方法具有數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)，具有良好的工程可應(yīng)用性。

盡管子空間辨識(shí)技術(shù)可基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立線性空間模型，但是需要注意，上述線性空間模型僅僅能放映系統(tǒng)輸入與輸出之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，而辨識(shí)出的模型參數(shù)本身并無(wú)實(shí)際物理意義，且與直升機(jī)模型的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)并無(wú)關(guān)聯(lián)。子空間辨識(shí)方法本質(zhì)上仍可歸類與黑箱建模方法，將物理學(xué)的建模問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的黑箱建模問(wèn)題，可從大量的飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取直升機(jī)的動(dòng)態(tài)特性信息，降低了對(duì)直升機(jī)動(dòng)力學(xué)特性領(lǐng)域知識(shí)的依賴，彌補(bǔ)了物理建模的不足。盡管系統(tǒng)辨識(shí)技術(shù)具有上述優(yōu)點(diǎn)，但是在實(shí)際應(yīng)用中，并不適宜將直升機(jī)的建模視作純粹的黑箱方法。直升機(jī)模型具有高維度、多輸入、強(qiáng)耦合等特點(diǎn)。盡管理論上可將直升機(jī)建模問(wèn)題視作“純黑箱”的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模問(wèn)題，然而這將導(dǎo)致模型參數(shù)搜索空間過(guò)大、搜索難度高，并且所辨識(shí)的模型不保證符合實(shí)際物理特性，可解釋性差，因此影響模型的可用性?？紤]上述問(wèn)題，需要解析直升機(jī)的模型結(jié)構(gòu)，并融合已有的對(duì)直升機(jī)物理和氣動(dòng)特性的先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)辨識(shí)模型的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的約束，并分離關(guān)鍵出的待辨識(shí)的參數(shù)，從而保證辨識(shí)結(jié)果的合理性和準(zhǔn)確性。

需要關(guān)注的是，在實(shí)際的工程應(yīng)用中通常對(duì)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)(氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)與操縱導(dǎo)數(shù))具有一定的先驗(yàn)知識(shí)。為了進(jìn)一步提高模型的精度與合理性，在辨識(shí)的過(guò)程中需要合理融合模型先驗(yàn)知識(shí)。針對(duì)上述問(wèn)題，本文基于正則化方法，利用飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出了模型修正的兩步法：第1步通過(guò)閉環(huán)子空間辨識(shí)理論，在閉環(huán)條件下計(jì)算系統(tǒng)輸出響應(yīng)的無(wú)偏估計(jì)；第2步通過(guò)正則化方法融合先驗(yàn)的模型知識(shí)與后驗(yàn)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)式的動(dòng)態(tài)頻域信息，對(duì)已有的模型參數(shù)進(jìn)行修正，利用飛行數(shù)據(jù)提高模型的精度，并同時(shí)保證模型的合理性與可用性。通過(guò)飛行模擬器的仿真飛行試驗(yàn)，本文對(duì)模型修正方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

2 直升機(jī)橫向線性模型

線性化的直升機(jī)橫向模型形式如下

(1)

其中，v、p和r分別為體軸系下側(cè)向速度、滾轉(zhuǎn)角速度和偏航角速度，φ為滾轉(zhuǎn)角，Wx和Wz分別為橫向周期變距與尾槳距，θ0、u0和w0別為配平狀態(tài)下的俯仰角、體軸縱向速度和垂向速度。

針對(duì)上述線性化的直升機(jī)橫向模型，橫測(cè)向運(yùn)動(dòng)模態(tài)可劃分為荷蘭滾、滾轉(zhuǎn)衰減模態(tài)與螺旋模態(tài)。需要注意的是，子空間辨識(shí)方法本質(zhì)上屬于時(shí)域方法，其能應(yīng)用的前提是模型本身是穩(wěn)定的。對(duì)于直升機(jī)的橫向短周期模態(tài)，尤其是重型直升機(jī)，荷蘭滾模態(tài)與滾轉(zhuǎn)衰減模態(tài)通常是穩(wěn)定的。長(zhǎng)周期螺旋模態(tài)有可能發(fā)散，但是需要注意到，其倍幅時(shí)間較長(zhǎng)，通常在1分鐘以上，故對(duì)于短周期以及中等周期的響應(yīng)，可忽略螺旋模態(tài)的影響。盡管螺旋模態(tài)本身存在發(fā)散的可能，但是利用子空間辨識(shí)仍可從數(shù)據(jù)中估計(jì)短周期與中等周期的荷蘭滾與滾轉(zhuǎn)衰減模態(tài)，且上述短周期模態(tài)是直升機(jī)橫測(cè)向控制設(shè)計(jì)所重點(diǎn)關(guān)注的模態(tài)。綜述所述，子空間辨識(shí)對(duì)于直升機(jī)橫測(cè)向模型的辨識(shí)具有合理的工程可應(yīng)用性。

3 閉環(huán)子空間辨識(shí)算法

3.1 基于投影理論的模型辨識(shí)算法

考慮如下離散形式的線性模型

xt+1=Axt+But+Ket

yt=Cxt+Dut+et

(2)

其中，xt∈Rn，yt∈Rm，ut∈Rp分別為系統(tǒng)狀態(tài)、輸出與輸入，et為m維的殘差序列，其可視為卡爾曼濾波的新息，K為卡爾曼增益。

在子空間辨識(shí)理論的框架下，將模型狀態(tài)、輸入與輸出重新排列為Hankel矩陣形式

(3)

定義Xp=X0|i-1，Xf=Xi|2i-1。系統(tǒng)輸入矩陣Up、Uf，輸出矩陣Yp、Yf，殘差矩陣Ep和Ef定義類似。

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程，顯然

(4)

其中

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

子空間辨識(shí)算法本質(zhì)上基于投影理論，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)矩陣的估計(jì)。斜投影的示意圖如圖1所示。

圖1 斜投影示例

B的斜投影B/AC表征“沿著與空間A平行的方向，向量B到空間C上的投影”。關(guān)于斜投影的詳細(xì)定義與性質(zhì)可參考文獻(xiàn)[8]。根據(jù)斜投影的定義，顯然

A/AC=0

(10)

A/CA=A

(11)

(12)

3.2 閉環(huán)子空間辨識(shí)

在閉環(huán)辨識(shí)的框架下，輔助變量法是常見(jiàn)的閉環(huán)辨識(shí)方法。通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)妮o助變量以處理由反饋引入的辨識(shí)偏差問(wèn)題。輔助變量的選取需滿足如下兩個(gè)條件：

1)輔助變量與殘差序列不相關(guān)，以保證對(duì)系統(tǒng)矩陣的無(wú)偏估計(jì)；

2)輔助變量本身與系統(tǒng)輸入以及輸出具有顯著的相關(guān)性。

在實(shí)際飛行中，具有良好激勵(lì)條件的駕駛桿操縱數(shù)據(jù)，通常為飛行試驗(yàn)中的駕駛桿掃頻輸入信號(hào)，可作為合適的輔助變量，如圖2所示。第一，在實(shí)際的工程應(yīng)用中，掃頻數(shù)據(jù)為預(yù)先設(shè)計(jì)好的確定性數(shù)據(jù)，通常與系統(tǒng)噪聲以及外界擾動(dòng)不相關(guān)。第二，駕駛桿掃頻輸入信號(hào)為系統(tǒng)輸入與輸出的激勵(lì)數(shù)據(jù)，其本身與系統(tǒng)輸入輸出具有很高的相關(guān)性。此外，良好設(shè)計(jì)的掃頻數(shù)據(jù)可合理覆蓋直升機(jī)正常操縱區(qū)間的頻率范圍，能有效反映關(guān)鍵頻段的動(dòng)態(tài)特性。

圖2 直升機(jī)閉環(huán)控制示意

利用駕駛員操縱數(shù)據(jù)rt，按照式(3)同樣的方式構(gòu)造Hankel矩陣R。利用正交投影，將系統(tǒng)輸入、輸出和殘差矩陣投影至R的行空間

=U/R

=Y/R

=E/R

(13)

其中，符號(hào)“/”表示正交投影算子。因?yàn)閞t與et不相關(guān)，故=0。對(duì)式(4)應(yīng)用正交投影算子

(14)

4 基于正則化的直升機(jī)模型修正

圖3 直升機(jī)模型修正兩步法

需要注意的是，盡管子空間所辨識(shí)的模型并不具有真實(shí)的物理意義，但其能夠反映系統(tǒng)的真實(shí)動(dòng)態(tài)特性：所辨識(shí)的狀態(tài)空間模型可視為真實(shí)狀態(tài)空間模型的相似變換。因此，盡管所辨識(shí)的模型并不具有真實(shí)的物理意義，但其頻率或時(shí)域響應(yīng)卻與真實(shí)系統(tǒng)是相同的。直升機(jī)模型修正采用為二步法，如下圖所示。第一步通過(guò)子空間方法，利用閉環(huán)數(shù)據(jù)估計(jì)系統(tǒng)模型的無(wú)偏估計(jì)，盡管該模型不能反映系統(tǒng)真實(shí)物理參數(shù)，但能從數(shù)據(jù)中提取系統(tǒng)輸入輸出的動(dòng)態(tài)信息；第二步則是基于所辨識(shí)的模型估計(jì)的無(wú)偏頻率響應(yīng)，通過(guò)融合真實(shí)系統(tǒng)機(jī)理信息與從數(shù)據(jù)中提取的系統(tǒng)輸入輸出動(dòng)態(tài)信息，對(duì)模型進(jìn)行修正，保證模型的準(zhǔn)確性與可實(shí)用性。

對(duì)于模型的修正，可基于正則實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)信息與機(jī)理信息的融合[10]

+λ(Θ-Θ0)TW(Θ-Θ0)

(15)

其中，Θ為待優(yōu)化的模型參數(shù)，G(jωk|Θ)為給定參數(shù)Θ基于真實(shí)模型結(jié)構(gòu)所計(jì)算的頻率響應(yīng)。λ(Θ-Θ0)TW(Θ-Θ0)為正則項(xiàng)，其中Θ0表征系統(tǒng)模型參數(shù)的先驗(yàn)信息，W為正則權(quán)重矩陣。上述正則項(xiàng)可視為對(duì)模型參數(shù)的軟約束：待修正的模型參數(shù)不僅需要盡可能最小化模型誤差，同時(shí)應(yīng)盡可能符合對(duì)模型參數(shù)的先驗(yàn)認(rèn)識(shí)。通過(guò)引入正則化，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)信息與先驗(yàn)機(jī)理信息的合理融合，實(shí)現(xiàn)辨識(shí)結(jié)果準(zhǔn)確性與可靠性之間的權(quán)衡。

5 算例分析

考慮某重型直升機(jī)飛行模擬器仿真模型懸停模態(tài)的橫測(cè)向動(dòng)力學(xué)模型的模型修正問(wèn)題，其模型結(jié)構(gòu)已經(jīng)在第2節(jié)給出。直升機(jī)處于閉環(huán)控制的狀態(tài)，對(duì)橫滾桿與腳蹬注入掃頻激勵(lì)信號(hào)，對(duì)橫滾桿的響應(yīng)曲線見(jiàn)圖4，對(duì)腳蹬的響應(yīng)曲線見(jiàn)圖5。在進(jìn)行辨識(shí)之前，對(duì)數(shù)據(jù)的預(yù)處理包括：數(shù)據(jù)野點(diǎn)的剔除、數(shù)據(jù)的內(nèi)插以及數(shù)據(jù)相容性檢查等。掃頻的頻率范圍是0.2～5Hz。

圖4 橫滾桿響應(yīng)曲線

圖5 腳蹬響應(yīng)曲線

根據(jù)響應(yīng)曲線，對(duì)于橫滾桿的激勵(lì)，橫滾角速率信號(hào)具有較滿意的信噪比，而對(duì)于腳蹬的激勵(lì)，偏航角速率具有較滿意的信噪比。因此對(duì)辨識(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行如下輸入輸出數(shù)據(jù)的匹配：利用橫滾桿激勵(lì)數(shù)據(jù)辨識(shí)對(duì)滾轉(zhuǎn)角速率通道的模型，利用腳蹬激勵(lì)信號(hào)辨識(shí)對(duì)偏航角速率的模型。

基于閉環(huán)-子空間辨識(shí)方法，可實(shí)現(xiàn)頻譜的無(wú)偏估計(jì)。橫向周期變距對(duì)橫滾角速率以及尾槳距對(duì)偏航角速率的頻率特性響應(yīng)(Bode圖)分別見(jiàn)圖6與圖7。

圖6 橫向周期變距對(duì)橫滾角速率的頻率響應(yīng)

圖7 尾槳距對(duì)橫滾角速率的頻率響應(yīng)

基于上述頻域響應(yīng)曲線，可根據(jù)式(15)所定義的優(yōu)化目標(biāo)對(duì)橫向通道的模型參數(shù)進(jìn)行修正。對(duì)于式(1)所定義的模型結(jié)構(gòu)，根據(jù)對(duì)機(jī)體橫向氣動(dòng)的先驗(yàn)信息，側(cè)向力在懸停段與側(cè)向速度相關(guān)性較小，故Yv≈0；此外，滾轉(zhuǎn)阻尼Lp與航向阻尼Nr具有較高的確認(rèn)度，故對(duì)于正則的設(shè)置，Yv、Lp和Nr具有較高的正則權(quán)重，其余的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的不確定性較高，故其正則權(quán)重項(xiàng)較小。根據(jù)式(15)的優(yōu)化計(jì)算，可獲取對(duì)橫向模型的參數(shù)修正結(jié)果。

為了驗(yàn)證方法在閉環(huán)條件下的有效性，需要針對(duì)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。作為對(duì)比，采用了開(kāi)環(huán)子空間辨識(shí)算法利用上述掃頻數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)。由于掃頻輸入的頻率范圍覆蓋了正常的操縱頻率，故在飛行模擬器上對(duì)橫桿和腳蹬進(jìn)行中等周期倍脈沖操縱，通過(guò)采集系統(tǒng)的輸出，并將其與模型的預(yù)測(cè)進(jìn)行對(duì)比。橫滾與航向通道的模型校驗(yàn)結(jié)果分別見(jiàn)圖8和圖9。

圖8 橫滾通道模型驗(yàn)證

圖9 航向通道模型驗(yàn)證

根據(jù)驗(yàn)證結(jié)果，在閉環(huán)條件下，本文所提出方法的辨識(shí)結(jié)果能實(shí)現(xiàn)較為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，而直接通過(guò)開(kāi)環(huán)子空間辨識(shí)法出現(xiàn)了較大偏差，其原因是因?yàn)殚]環(huán)反饋導(dǎo)致殘差與模型輸入具有顯著的相關(guān)性，無(wú)法實(shí)現(xiàn)模型的無(wú)偏估計(jì)。上述實(shí)驗(yàn)對(duì)方法在閉環(huán)條件下的實(shí)用性進(jìn)行了有效的驗(yàn)證。

6 結(jié)論

本文提出了基于閉環(huán)子空間的直升機(jī)橫測(cè)向通道模型的修正方法。對(duì)于實(shí)際試飛，由于直升機(jī)本身操縱耦合性強(qiáng)與穩(wěn)定性弱等特性，飛行控制系統(tǒng)必須實(shí)時(shí)介入，因此必然引入較強(qiáng)的反饋。反饋的引入導(dǎo)致外擾與系統(tǒng)輸入具有強(qiáng)相關(guān)性，直接應(yīng)用開(kāi)環(huán)辨識(shí)算法難以實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)。此外，由于直升機(jī)模型參數(shù)較多，也需考慮參數(shù)相容性與適用性。針對(duì)上述問(wèn)題，一方面，本文提出的閉環(huán)辨識(shí)方法通過(guò)正交投影對(duì)輸入與輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行白化，克服了反饋對(duì)辨識(shí)精度的不利影響；另一方面，通過(guò)引入正則項(xiàng)，在模型辨識(shí)階段實(shí)現(xiàn)先驗(yàn)機(jī)理信息與后驗(yàn)數(shù)據(jù)信息的融合，降低了模型參數(shù)搜索的空間，保證了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性與辨識(shí)結(jié)果的合理性。