蘇秀健，吳國(guó)強(qiáng)，周文雅，賀從園

(1.大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109)

1 引言

伴隨著對(duì)火箭運(yùn)載能力等方面的不斷追求，火箭系統(tǒng)朝著大型、重型發(fā)展，新一代運(yùn)載火箭彈性振動(dòng)模態(tài)頻率偏低，且隨著其尺寸的增加，考慮到試驗(yàn)規(guī)模、研制周期和研制成本等方面，擬取消全箭模態(tài)實(shí)驗(yàn)，改用子結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)與模態(tài)綜合技術(shù)代替，因此需要將基于精確模型的PID控制改進(jìn)為先進(jìn)的自適應(yīng)控制等方法[1]。由Cao和Naira提出的L1自適應(yīng)控制能夠在飛行器模型參數(shù)發(fā)生不確定變化的情況下依然具有良好的目標(biāo)信號(hào)跟蹤性能[2-5]，但針對(duì)運(yùn)載火箭尤其是剛—彈耦合箭體的穩(wěn)定控制而言，L1自適應(yīng)方法的研究目前比較匱乏。

目前，國(guó)內(nèi)關(guān)于L1自適應(yīng)控制理論的研究主要集中于狀態(tài)反饋形式，且控制對(duì)象皆為剛體，如：無人飛艇[6]，高超音速飛行器[7]等。考慮到被控系統(tǒng)存在狀態(tài)變量不可測(cè)或者不可控的特點(diǎn)，采用全狀態(tài)反饋的狀態(tài)反饋L1自適應(yīng)控制就不再適用[8]，其中包括本文研究對(duì)象運(yùn)載火箭，因此采用輸出反饋L1自適應(yīng)方法對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定控制，目前關(guān)于該形式的研究在外文文獻(xiàn)中有所涉獵[9-11]，但針對(duì)運(yùn)載火箭進(jìn)行相關(guān)參數(shù)設(shè)計(jì)、討論以及仿真的情況較少。

本文以運(yùn)載火箭俯仰通道為研究對(duì)象，基于L1輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)方法設(shè)計(jì)控制器以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制，創(chuàng)新點(diǎn)在于探究利用L1控制器自身結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)剛—彈耦合箭體穩(wěn)定時(shí)低階頻率分布規(guī)律，并且結(jié)合校正網(wǎng)絡(luò)思想提出一種實(shí)現(xiàn)低頻模態(tài)運(yùn)載火箭穩(wěn)定控制的L1自適應(yīng)方法。

2 運(yùn)載火箭動(dòng)力學(xué)模型

依據(jù)文獻(xiàn)[12]，剛體火箭俯仰通道姿態(tài)角動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：Δφ為俯仰角，Δα為攻角，舵偏角δφ為控制變量，b1、b2、b3為剛體運(yùn)動(dòng)方程系數(shù)。

火箭的彈性振動(dòng)方程可由下面二階常微分方程描述

(2)

式中：qi為第i階彈性振動(dòng)對(duì)應(yīng)的廣義位移，ωi和ξi為第i階彈性振動(dòng)廣義位移對(duì)應(yīng)的頻率和阻尼比系數(shù)。

另外姿態(tài)測(cè)量元件除測(cè)量出剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)信號(hào)外，還測(cè)量出彈性振動(dòng)產(chǎn)生的附加姿態(tài)信號(hào)

(3)

則完整的剛—彈耦合箭體動(dòng)力學(xué)方程如下

(4)

3 L1輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制理論

3.1 基本結(jié)構(gòu)

L1輸出反饋控制系統(tǒng)由被控對(duì)象、狀態(tài)觀測(cè)器、自適應(yīng)律、控制律四部分組成。狀態(tài)觀測(cè)器負(fù)責(zé)估計(jì)和監(jiān)視被控對(duì)象的輸出及變化，自適應(yīng)律調(diào)節(jié)待估計(jì)的參數(shù)，控制律由初步控制律及低通濾波器組成，初步控制律根據(jù)自適應(yīng)律提供的估計(jì)參數(shù)和給定的參考信號(hào)及時(shí)調(diào)整控制信號(hào)，低通濾波器將控制量中的高頻信號(hào)濾掉[13]。

1)被控系統(tǒng)

將一個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng)描述為以下形式

y(s)=A(s)[u(s)+d(s)]

(5)

式中：u(s)是輸入信號(hào)，y(s)是系統(tǒng)輸出，A(s)是嚴(yán)格正則的傳遞函數(shù)，d(s)是描述模型不確定性及干擾信號(hào)d(t)的Laplace變換。

設(shè)r(t)為給定的有界連續(xù)參考輸入信號(hào)，控制系統(tǒng)的目標(biāo)就是設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)輸出反饋控制器u(t)，保證系統(tǒng)輸出y(t)跟蹤參考輸入r(t)經(jīng)理想傳遞函數(shù)M(s)后的信號(hào)，即y(s)≈M(s)r(s)，其中M(s)是最小相位穩(wěn)定傳遞函數(shù)，則式(5)可重新描述為如下形式

y(s)=M(s)[u(s)+σ(s)]

(6)

式中

(7)

(8)

2)狀態(tài)觀測(cè)器

狀態(tài)觀測(cè)器與被控對(duì)象形式類似，定義如下

(9)

3)自適應(yīng)律

(10)

式中：Q是正定矩陣，由P是正定對(duì)稱矩陣可知，總是存在非奇異矩陣使下式成立

(11)

(12)

并且令

(13)

(14)

(15)

式中

(16)

(17)

4)控制律

由式(9)可得，狀態(tài)觀測(cè)器輸出為

(18)

被控對(duì)象與狀態(tài)觀測(cè)器具有一致的動(dòng)力學(xué)特性，結(jié)合控制器設(shè)計(jì)目標(biāo)y(s)≈M(s)r(s)，可得經(jīng)過低通濾波器C(s)之后的控制律表達(dá)式為

(19)

綜上所述，L1輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 L1輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制框圖

3.2 系統(tǒng)性能分析

引入閉環(huán)參考系統(tǒng)式(20)-(22)，它是L1自適應(yīng)輸出反饋控制器的非自適應(yīng)形式。

yref(s)=M(s)[uref(s)+σref(s)]

(20)

(21)

uref(s)=C(s)[r(s)-σref(s)]

(22)

由(21)和(22)可知

(23)

由式(20)和(21)得：

yref(s)=A(s)[uref(s)+dref(s)]

(24)

將式(23)代入式(24)中得：

yref(s)=H(s){C(s)r(s)+[1-C(s)]dref(s)}

(25)

式中

(26)

由式(25)可得，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(即C(s)和M(s)的選取)應(yīng)滿足H(s)是穩(wěn)定的，而H(s)的穩(wěn)定等價(jià)于通過下述負(fù)反饋環(huán)節(jié)使被控系統(tǒng)A(s)趨于穩(wěn)定。

(27)

依據(jù)文獻(xiàn)[10]可知，通過選擇合適的采樣時(shí)間T，可使下式成立

(28)

(29)

(30)

根據(jù)上述關(guān)系可進(jìn)一步推得

(31)

(32)

上式表明可通過減小采樣時(shí)間T提升跟蹤性能，但也對(duì)計(jì)算機(jī)硬件提出了更高的要求[10]。

4 L1自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)及仿真

本節(jié)首先對(duì)剛體火箭設(shè)計(jì)L1輸出反饋控制器參數(shù)，其次考慮帶有一階彈性振動(dòng)信息的剛—彈耦合箭體，考慮到低通濾波器環(huán)節(jié)一定程度上減小彈性振動(dòng)的影響，分析實(shí)現(xiàn)箭體穩(wěn)定時(shí)火箭低階頻率的分布規(guī)律，并提出一種結(jié)合校正網(wǎng)絡(luò)思想設(shè)計(jì)L1自適應(yīng)控制器的方法，同時(shí)考慮彈性頻率發(fā)生變化，觀察該方法的有效性。被控對(duì)象模型參數(shù)選取如下[1]

b1=0.0465，b2=-0.0421，b3=0.5674

ω1=8.5，ζ=0.005，D31=16.4286

W′1(XT)=0.0375，W′1(XgT)=0.0375

4.1 剛體火箭控制器參數(shù)設(shè)計(jì)

將理想傳遞函數(shù)M(s)及低通濾波器C(s)選為如下形式

(33)

(34)

式中：ξM和ξC分別為M(s)和C(s)的阻尼比，ωM和ωC分別為M(s)和C(s)的帶寬。

1)理想傳遞函數(shù)M(s)選取

理想傳遞函數(shù)M(s)可理解為被控系統(tǒng)響應(yīng)的參考模型，其對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)中穩(wěn)定時(shí)間，超調(diào)量等暫態(tài)性能起決定性作用。M(s)的選取應(yīng)當(dāng)參照被控對(duì)象特性選取。M(s)參數(shù)包括阻尼比ξM和帶寬ωM，一般將阻尼比設(shè)為良性阻尼比0.7，而M(s)帶寬ωM應(yīng)當(dāng)與被控對(duì)象帶寬相近，這樣可保證系統(tǒng)響應(yīng)可實(shí)現(xiàn)性。

經(jīng)分析，被控對(duì)象帶寬約為0.88rad/s，根據(jù)上述內(nèi)容，選定理想傳遞函數(shù)帶寬ωm=1rad/s。

2)采樣時(shí)間T選取

自適應(yīng)律中待設(shè)計(jì)參數(shù)為采樣時(shí)間T，在一定范圍內(nèi)，減小T可提升系統(tǒng)跟蹤性能，但T設(shè)置過小時(shí)，也對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求更高，結(jié)合工程應(yīng)用中計(jì)算機(jī)處理性能一般為5ms-20ms，因此將T設(shè)為10ms，即0.01s。

3)低通濾波器C(s)選取

低通濾波器C(s)待設(shè)計(jì)參數(shù)包括阻尼比ξC和帶寬ωC，一般將阻尼比選為良性阻尼比0.7。在根據(jù)性能要求確定好理想傳遞函數(shù)M(s)之后，依據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定條件(即式(26)穩(wěn)定條件)確定ωC。為維持系統(tǒng)穩(wěn)定，C(s)帶寬選取有一個(gè)下限值，其物理含義是保證實(shí)現(xiàn)剛體火箭穩(wěn)定所需的最小信息量，因此一般C(s)帶寬取值越大越好，但到某特定值之后，性能就不再有明顯提升，且?guī)捲O(shè)置過大時(shí)，控制輸入中含有高頻振蕩，考慮到剛—彈耦合箭體的設(shè)計(jì)，為避免高頻彈性振動(dòng)信息對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定的影響，將低通濾波器帶寬設(shè)為ωC=6rad/s。

4.2 剛—彈耦合箭體仿真

在火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，對(duì)于剛—彈耦合箭體的控制，一般需借助于濾波器實(shí)現(xiàn)彈性振動(dòng)信息的過濾，鑒于L1控制結(jié)構(gòu)中具有低通濾波器環(huán)節(jié)，因此考慮能否利用上節(jié)所設(shè)計(jì)參數(shù)實(shí)現(xiàn)剛—彈耦合箭體的穩(wěn)定控制，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 俯仰角輸出曲線(剛—彈耦合箭體)

由上圖可知，在原參數(shù)組成的控制系統(tǒng)作用下，剛—彈耦合箭體最終發(fā)散，其原因是低通濾波器帶寬與一階彈性頻率點(diǎn)較近，致使控制信號(hào)中依然具有較強(qiáng)的彈性振動(dòng)信息。

為探究利用L1輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制自身結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)剛—彈耦合箭體穩(wěn)定的條件，下面通過假設(shè)模型進(jìn)行分析?？刂破鲄?shù)與上述一致，通過假設(shè)彈性對(duì)象一階彈性頻率分布情況，觀察控制效果，仿真結(jié)果如下：

圖3 俯仰角輸出曲線(假設(shè)箭體)

由上圖可知，當(dāng)C(s)帶寬與一階彈性振動(dòng)頻率之間存在2倍關(guān)系時(shí)，抑制彈性振動(dòng)的作用開始顯現(xiàn)，但仿真后半段被控對(duì)象響應(yīng)發(fā)散，說明此時(shí)不足以完全抑制彈性振動(dòng)；當(dāng)二者存在3倍關(guān)系時(shí)，效果相對(duì)大有改觀，總體效果看似能趨于穩(wěn)定，但將仿真延長(zhǎng)后，后半段仍會(huì)出現(xiàn)小幅度發(fā)散；當(dāng)二者存在4倍關(guān)系時(shí)，C(s)帶寬與一階彈性頻率之間有充足的余量，可使剛—彈耦合對(duì)象完全趨于穩(wěn)定。因此通過假設(shè)模型可知，若通過L1輸出反饋?zhàn)赃m應(yīng)控制自身結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)剛—彈耦合箭體的穩(wěn)定，需保證C(s)帶寬和一階彈性頻率之間滿足4倍左右的比例關(guān)系，此時(shí)低通濾波器能充分抑制彈性振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

4.3 結(jié)合校正網(wǎng)絡(luò)的控制器設(shè)計(jì)與仿真

由上可知，低通濾波器帶寬與系統(tǒng)帶寬存在相互制約關(guān)系，無法通過低通濾波器消除低階彈性振動(dòng)影響，故結(jié)合校正網(wǎng)絡(luò)思想設(shè)計(jì)L1輸出反饋控制器實(shí)現(xiàn)剛—彈耦合箭體的穩(wěn)定。

對(duì)于彈性振動(dòng)的穩(wěn)定來說，有幅值穩(wěn)定和相位穩(wěn)定之分。在本例中只考慮一階彈性振動(dòng)，因一階彈性振動(dòng)模態(tài)頻率低，相位偏差小，故結(jié)合相位穩(wěn)定思想設(shè)計(jì)校正網(wǎng)絡(luò)對(duì)剛—彈耦合箭體進(jìn)行穩(wěn)定控制[14]。

依據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件(即式(26)穩(wěn)定條件)可知，彈性被控對(duì)象A(s)在原反饋控制器C(s)/M(s)[1-C(s)]下的開環(huán)頻率特性曲線如圖4黑線所示。

圖4 頻率特性曲線對(duì)比圖

由上可知，在原反饋控制器作用下，系統(tǒng)一階彈性振動(dòng)頻率處幅頻曲線L(ω)>0且相頻曲線穿越π這條線，故不能保持穩(wěn)定。因此設(shè)計(jì)校正網(wǎng)絡(luò)的思想是：通過設(shè)計(jì)相位滯后濾波器，使得某頻率處之前的幅頻曲線及相頻曲線與原來保持一致，而在其之后整體向下，以保證在一階彈性頻率處，系統(tǒng)相頻曲線不穿越π這條線。

選取如下形式的二階最小相位滯后濾波器

(35)

式中，ξz和ξp分別為阻尼比，ωp為濾波器帶寬，其決定頻率特性曲線發(fā)生變化的分離點(diǎn)，幅值變化量為-40lg(ωz/ωp)。

根據(jù)本文研究對(duì)象，設(shè)定濾波器數(shù)值如下：ξz和ξp選為良性阻尼比0.7，ωp設(shè)為5.5rad/s，幅值變化量為-16dB，由此可得

將二階最小相位滯后濾波器Glag(s)與原M(s)做結(jié)合，則可得到如下新配置的M(s)

剛—彈耦合箭體在新配置的M(s)和C(s)組成的負(fù)反饋環(huán)節(jié)作用下，頻率特性曲線如下結(jié)合相位穩(wěn)定思想可知，通過引入校正網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)了一階彈性振動(dòng)穩(wěn)定。

圖5 俯仰角輸出曲線(ω1變化)

5 結(jié)論

針對(duì)火箭剛-彈耦合模型開展了L1輸出反饋?zhàn)藨B(tài)控制器設(shè)計(jì)，給出了依據(jù)火箭特性參數(shù)設(shè)計(jì)規(guī)則以及火箭低階頻率的分布對(duì)于控制系統(tǒng)的影響情況，同時(shí)研究了利用結(jié)構(gòu)濾波器實(shí)現(xiàn)彈性抑制的設(shè)計(jì)方法，取得如下結(jié)論：

對(duì)于剛—彈耦合箭體而言，當(dāng)?shù)屯V波器帶寬與一階彈性頻率之間滿足4倍左右關(guān)系時(shí)，L1控制器可同時(shí)實(shí)現(xiàn)剛—彈耦合箭體的穩(wěn)定；當(dāng)兩者小于上述比例關(guān)系時(shí)，帶寬的選擇應(yīng)優(yōu)先滿足剛性箭體的設(shè)計(jì)要求，同時(shí)必須引入校正網(wǎng)絡(luò)來消除彈性振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)控制器控制效果良好，且彈性頻率變化下具有較強(qiáng)的魯棒性。