成 晟
(泰州市公路事業(yè)發(fā)展中心,泰州 225300)
先張法預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)因其構(gòu)筑工藝較為簡單,被廣泛應(yīng)用于相關(guān)工程中,先張法預(yù)應(yīng)力混凝土簡支空心板也在我國公路中、小橋工程中普遍使用。預(yù)應(yīng)力空心板的典型病害為梁底縱向裂縫,其裂縫數(shù)量明顯多于普通鋼筋混凝土板,但裂縫成因目前尚未明確統(tǒng)一。
預(yù)應(yīng)力筋和混凝土的界面黏結(jié)是先張法預(yù)應(yīng)力體系的基礎(chǔ),一般認(rèn)為界面黏結(jié)力由化學(xué)黏附力、摩擦力和機械咬合力等組成,受力筋直徑、初始應(yīng)力以及混凝土強度等因素影響。力筋放張后,混凝土自由端未立即形成有效應(yīng)力,含有一段傳遞長度,在傳遞長度內(nèi)混凝土縱向應(yīng)力逐漸增大,力筋與混凝土相對滑移逐漸減少,最終形成穩(wěn)定黏結(jié)。
對先張法預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的試驗研究較多,成果多為試驗數(shù)據(jù)和經(jīng)驗公式[1-2],試驗研究的缺點一是受成本限制,難以建立全尺寸模型;二是受測量技術(shù)限制,不易獲取全部數(shù)據(jù)。由于計算機技術(shù)的發(fā)展,近年來利用有限元方法對混凝土、預(yù)應(yīng)力筋以及層間黏結(jié)建模取得一定成果[3-4],我國《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(JTG 3362—2018)[5]也給出了彈性收縮和傳遞長度的計算公式。
先張法研究總體缺乏系統(tǒng)的力學(xué)理論與模型,對預(yù)應(yīng)力的傳遞和形成以及局部應(yīng)力分布等認(rèn)識不足,有必要建立有效的力學(xué)模型對結(jié)構(gòu)受力進行解析描述?;诤癖趫A筒理論,研究采用彈性力學(xué)方法對先張法預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)的應(yīng)力損失、傳遞長度、滑移距離和應(yīng)力應(yīng)變分布等進行解析,推導(dǎo)出通用計算公式,并對不同計算方法進行比較。
已有研究者嘗試用厚壁圓筒理論分析先張法預(yù)應(yīng)力,Benítez等[6]給出了預(yù)應(yīng)力損失的解析解,Abdelatif等[3]演示了傳遞長度的部分推導(dǎo),并用有限元方法證明了厚壁圓筒模型的適用性。但計算所需假定條件、變量定義、初始與終止?fàn)顟B(tài)的界定、滑移距離和應(yīng)力分布計算以及解析解的數(shù)值實現(xiàn)等在相關(guān)文獻中有所欠缺。為理清思路,方便復(fù)現(xiàn)和驗證,本研究從彈性力學(xué)基本理論出發(fā),明確假設(shè)條件與變量定義,逐步推演,給出應(yīng)力損失、傳遞長度、滑移距離和應(yīng)力應(yīng)變分布的全部解析解。
厚壁圓筒模型如圖1所示,預(yù)應(yīng)力筋為內(nèi)筒,外徑由r1表示,內(nèi)徑由a表示(因預(yù)應(yīng)力筋內(nèi)部無孔隙,故a→0);混凝土為外筒,外徑由b表示,內(nèi)徑由r1表示,b取預(yù)應(yīng)力筋最小覆蓋層厚度處預(yù)應(yīng)力筋中心到混凝土外表面的距離。因預(yù)應(yīng)力筋內(nèi)部無外力作用,故內(nèi)徑a處徑向應(yīng)力恒為0;因混凝土自由表面無正應(yīng)力,故外徑b處徑向應(yīng)力亦恒為0。界面r1處內(nèi)外桶的徑向應(yīng)力都為-p(壓應(yīng)力),由對稱性可知剪應(yīng)力τrθ=τθr=0。
圖1 厚壁圓筒模型
放張前預(yù)應(yīng)力筋和混凝土處于初始狀態(tài),放張后二者在外力作用下變形,并最終達到平衡狀態(tài)。
1.1.1 初始狀態(tài)
預(yù)應(yīng)力筋截面積為As,半徑為r1,縱向應(yīng)力為0,半徑a處徑向應(yīng)力為0。
混凝土截面積為Ac,縱向應(yīng)力為0,半徑b處徑向應(yīng)力為0。
1.1.2 平衡狀態(tài)
預(yù)應(yīng)力筋縱向應(yīng)力σzs=-Δσ(z),半徑a處徑向應(yīng)力為0。
注意事項如下。
(1) 根據(jù)彈性力學(xué)小變形假設(shè),計算時不考慮變形前后預(yù)應(yīng)力筋、混凝土半徑及截面積的變化,全部取初始狀態(tài)值。
(2) 預(yù)應(yīng)力筋初始半徑r1為張拉后放張前的半徑。
(3) 雖然預(yù)應(yīng)力筋放張前有初始縱向應(yīng)力σ0,但計算力筋放張后的變形時,只考慮變化量-Δσ,故初始應(yīng)力取變化前的相對值0;而計算混凝土縱向應(yīng)力時,需考慮初始應(yīng)力σ0。
用厚壁圓筒理論進行先張法預(yù)應(yīng)力分析,應(yīng)明確下列假定條件。
(3) 彈性力學(xué)基本假定[7]:物體連續(xù)、彈性、均勻且各向同性,位移和形變微小。
系統(tǒng)為軸對稱體系,三維應(yīng)力如圖2所示,坐標(biāo)原點位于自由端的預(yù)應(yīng)力筋圓心處,系統(tǒng)位于z軸正方向。
圖2 三維應(yīng)力
因體力為0,故徑向平衡方程[7]如下:
(1)
幾何方程[7]如式(2)和式(3)所示。
(2)
(3)
對式(3)求導(dǎo),可得
(4)
物理方程[7]如式(5)和式(6)所示。
(5)
(6)
式中,E為楊氏模量;υ為泊松比。
由式(5)和式(6)可得
(7)
式(4)與式(7)聯(lián)立可得
(8)
(9)
式(8)與式(9)聯(lián)立可得
(10)
式(1)與式(10)聯(lián)立可得
(11)
由式(1)可知
(12)
對式(12)求導(dǎo),可得
(13)
式(13)代入式(11)可得
(14)
解微分方程式(14),得到
(15)
式中,A和B為積分常數(shù),可根據(jù)邊界條件求得。
式(15)代入式(12),得到
(16)
預(yù)應(yīng)力筋和混凝土的徑向受力如圖3所示。
圖3 預(yù)應(yīng)力筋和混凝土的徑向受力
對于預(yù)應(yīng)力筋,利用邊界條件σr|r=r1=-p,σr|r=a=0(a→0),求得
(17)
對于混凝土,利用邊界條件σr|r=b=0,σr|r=r1=-p,求得
(18)
預(yù)應(yīng)力筋和混凝土的縱向受力如圖4所示。
圖4 預(yù)應(yīng)力筋和混凝土的縱向受力
預(yù)應(yīng)力筋內(nèi)縱向應(yīng)力放張前為σ0,放張后為σzs=σ0-Δσ(z),混凝土內(nèi)縱向應(yīng)力放張前為0,放張后為σzc。則z處有縱向平衡方程:σzcAc+[σ0-Δσ(z)]As=0,解此得到
(19)
對于預(yù)應(yīng)力筋,聯(lián)立式(6)、式(15)、式(16)和式(17),得到
(20)
(21)
(22)
對于混凝土,聯(lián)立式(6)、式(15)、式(16)和式(18),得到
(23)
(24)
(25)
(26)
預(yù)應(yīng)力筋縱向受力如圖5所示。
圖5 預(yù)應(yīng)力筋縱向受力
根據(jù)文獻[3]和文獻[6],界面上的切應(yīng)力主要和徑向壓應(yīng)力有關(guān),大致滿足庫侖定律τrz=f×p,f值通常為0.3~0.7,本文暫取0.4。
力筋縱向平衡方程為
解此得到
(27)
(28)
式(28)為預(yù)應(yīng)力損失計算式。
對式(28)求反函數(shù)得到
(29)
文獻[3]認(rèn)為可直接利用式(29)計算傳遞長度,即求解預(yù)應(yīng)力筋Δσ=0.05σ0時對應(yīng)的z值。
取一微段構(gòu)件dz,力筋與混凝土的相對滑移距離ds取決于二者的應(yīng)變差:
ds=(εzs-εzc)dz
(30)
圓柱坐標(biāo)縱向物理方程為[7]
(31)
(32)
為方便計算,假定預(yù)應(yīng)力筋與混凝土的相對滑動為一維應(yīng)變問題,忽略徑向和環(huán)向應(yīng)力影響,則有
(33)
聯(lián)立式(20)、式(21)、式(23)、式(24)、式(30)和式(33),得到
(34)
聯(lián)立式(28)和式(34),并令
(35)
根據(jù)文獻[2]取同樣尺寸的試件和張拉力,計算預(yù)應(yīng)力傳遞長度。試件參數(shù)如表1所示,試件截面尺寸如圖6所示。
表1 試件參數(shù)
圖6 試件截面尺寸(單位:mm)
分別計算混凝土95%縱向應(yīng)變、鋼絞線5%應(yīng)力損失對應(yīng)的傳遞長度,并與規(guī)范值和實測值進行比較,傳遞長度比較如表2所示。
表2 傳遞長度比較
計算結(jié)果表明,基于混凝土縱向應(yīng)變和預(yù)應(yīng)力筋縱向應(yīng)力的傳遞長度計算結(jié)果差別較大,原因是按此模型計算時,跨中處鋼絞線預(yù)應(yīng)力損失不為0,致使按混凝土95%跨中縱向應(yīng)變和按鋼絞線5%應(yīng)力損失計算的位置不一致。
此外還發(fā)現(xiàn)摩擦系數(shù)f對傳遞長度影響明顯,C80混凝土在f取0.4時應(yīng)變傳遞長度為625 mm,f取0.6時應(yīng)變傳遞長度為416 mm。
解析解基于彈性力學(xué)假設(shè),未考慮混凝土開裂和失效等情況,因此計算的傳遞長度與實測數(shù)據(jù)有差距,且與張拉力不相關(guān)。
以10 m空心板為例,采用Φs15.2鋼絞線,混凝土標(biāo)號C50,鋼絞線距離底板外緣50 mm。在混凝土達到齡期7 d以上且設(shè)計強度90%以上后分批放松鋼絞線。
空心板參數(shù)如表3所示。
表3 空心板參數(shù)
分別求得預(yù)應(yīng)力損失、預(yù)應(yīng)力傳遞長度、混凝土環(huán)向拉應(yīng)力和混凝土縱向壓應(yīng)力的解析解,應(yīng)力傳遞解析解如表4所示。其中εm為95%的跨中混凝土應(yīng)變。
表4 應(yīng)力傳遞解析解
接觸面切應(yīng)力分布如圖7所示。
圖7 接觸面切應(yīng)力分布
接觸面附近混凝土應(yīng)力分布如圖8所示,接觸面附近混凝土應(yīng)變分布如圖9所示。
圖8 接觸面附近混凝土應(yīng)力分布
圖9 接觸面附近混凝土應(yīng)變分布
可見端部環(huán)向拉應(yīng)力和拉應(yīng)變已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過混凝土抗拉強度和極限拉應(yīng)變,如果不對該部位進行補強,混凝土開裂后握裹力降低,會導(dǎo)致初始裂縫沿縱向發(fā)展,影響結(jié)構(gòu)安全性和耐久性。
分別用三向應(yīng)力法和一維簡化法計算預(yù)應(yīng)力筋滑移距離,滑移距離計算如表5所示,數(shù)值解表明兩者差別不大。
表5 滑移距離計算
預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力損失和滑移距離如圖10所示。
圖10 預(yù)應(yīng)力筋的應(yīng)力損失和滑移距離
按相關(guān)規(guī)范和厚壁圓筒模型分別進行計算,應(yīng)力損失、傳遞長度和滑移距離計算所得如表6所示。
表6 應(yīng)力損失、傳遞長度和滑移距離計算所得
其中厚壁圓筒的應(yīng)力損失值取Δσ|z=L/2。
從彈性力學(xué)基礎(chǔ)方程出發(fā),基于厚壁圓筒模型,對先張法預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力傳遞、滑移和應(yīng)力分布進行計算,逐步推導(dǎo)出應(yīng)力損失、傳遞長度、滑移距離和應(yīng)力應(yīng)變分布公式,為先張法預(yù)應(yīng)力研究提供理論工具。算例顯示:①《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》(JTG 3362—2018)中對應(yīng)力損失和傳遞長度的計算比較保守;②預(yù)應(yīng)力空心板的梁底縱向裂縫是由端部初始裂縫延伸形成的,預(yù)應(yīng)力筋放張時,端部混凝土環(huán)向拉應(yīng)力和拉應(yīng)變明顯超限,必須在該部位進行補強設(shè)計,防止混凝土失效導(dǎo)致裂縫縱向發(fā)展。