姚 澤，張 歆,2

（1.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，陜西西安 710072；2.鵬城實(shí)驗(yàn)室，廣東深圳 518000）

關(guān)鍵字：雙平行線陣；傳播算子算法；二維波達(dá)方向估計(jì)；自主式水下航行器

0 引 言

自主水下航行器（Autonomous Underwater Vehicles,AUV）在進(jìn)行水下搜救、環(huán)境監(jiān)測(cè)、數(shù)據(jù)采集等領(lǐng)域的需求越來(lái)越多，其工作也越來(lái)越復(fù)雜[1]。單個(gè)AUV所實(shí)現(xiàn)的工作是有限的，而集群AUV協(xié)同系統(tǒng)具有空間、時(shí)間、功能的分布性，能擴(kuò)展單AUV的功能，但是同時(shí)也提高了工作的復(fù)雜度[2]。在集群AUV進(jìn)行水下作業(yè)時(shí)，協(xié)同作業(yè)成為了其完成復(fù)雜任務(wù)的重要環(huán)節(jié)，而多個(gè)AUV水下協(xié)同工作時(shí)，彼此之間的位置信息就十分重要。對(duì)多個(gè)AUV目標(biāo)的二維波達(dá)方向（Direction of Arrival,DOA）估計(jì)是AUV水下協(xié)同作業(yè)必須要解決的問(wèn)題。目前水下AUV一般采用通信、定位一體化方法進(jìn)行位置信息的確定，利用通信信號(hào)時(shí)延進(jìn)行距離估計(jì)，再進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行二維DOA估計(jì)，通常使用長(zhǎng)、短基線對(duì)水下目標(biāo)進(jìn)行估計(jì)。在小型AUV上，基陣陣列長(zhǎng)度等受載體體積和換能器尺寸的限制；小尺寸、低功耗的工作環(huán)境條件對(duì)于水下DOA估計(jì)提出了更高的要求。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，所采用的算法和尺寸需要結(jié)合上述條件進(jìn)行選擇，還要保證一定的估計(jì)精度。

DOA估計(jì)應(yīng)用于雷達(dá)、生物、聲吶等領(lǐng)域[3-4]，其中，二維DOA估計(jì)得到了廣泛關(guān)注[5-7]。要獲得高精度的DOA估計(jì)需要合適的陣型和DOA估計(jì)算法。在二維DOA估計(jì)中，一般采用直線陣、L型陣、平面陣或矢量傳感器，并且按照陣元排布也可以分為均勻陣、非均勻陣。近年來(lái)，非均勻陣中的互質(zhì)陣[8-9]得到了關(guān)注，其通過(guò)互質(zhì)關(guān)系對(duì)陣列進(jìn)行虛擬重構(gòu)的特性使得陣列測(cè)向自由度得到提升，但其重構(gòu)造成計(jì)算量加大，導(dǎo)致整體處理過(guò)程的復(fù)雜度提高。在常用平面陣列結(jié)構(gòu)中，由等距線陣構(gòu)成的衍生陣近年來(lái)由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)施、估計(jì)效果良好等受到人們的廣泛重視，平行陣就是其中的一種。

二維多重信號(hào)分類算法（Multiple Signal Classification,MUSIC）[10]和二維旋轉(zhuǎn)不變子空間算法（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques,ESPRIT）[11]是DOA估計(jì)的經(jīng)典算法，并且都屬于子空間算法。子空間算法的核心就是對(duì)接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解或奇異值分解，從而獲得信號(hào)子空間或者噪聲子空間，進(jìn)行二維譜峰搜索，這類計(jì)算較為復(fù)雜，往往涉及到龐大的計(jì)算量。文獻(xiàn)[12]中指出，子空間算法在大規(guī)模多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output,MIMO）系統(tǒng)中，這種劣勢(shì)尤為明顯，這在多源信號(hào)估計(jì)的條件下同樣存在。文獻(xiàn)[13]中提出了最大似然法，根據(jù)最大似然準(zhǔn)則，對(duì)輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)空二維處理來(lái)獲得估計(jì)結(jié)果。之后又提出了子空間算法的改進(jìn)算法，但算法計(jì)算復(fù)雜度較高。復(fù)雜度過(guò)高不利于算法在處理能力較弱、或?qū)挠邢拗频膱?chǎng)景應(yīng)用，AUV作為低功耗水下平臺(tái)，其分配在定位方面的處理資源有限，無(wú)法進(jìn)行高復(fù)雜度的定位處理計(jì)算。二維傳播算子（Propagator Method,PM）算法不需要互相關(guān)矩陣的特征值分解和接收數(shù)據(jù)的奇異值分解就可以快速得到噪聲子空間[14]，計(jì)算復(fù)雜度大大降低，陣列信號(hào)的處理性能也得到了極大地提高，更多地應(yīng)用于低功耗系統(tǒng)中。近些年來(lái)PM算法的應(yīng)用越來(lái)越多，基于PM算法的二維DOA估計(jì)方法得到了廣泛關(guān)注。

本文設(shè)計(jì)適合了AUV平臺(tái)的水下二維DOA估計(jì)算法，選取了雙平行線陣。雙平行線陣由兩組平行線陣組成，兩者相互垂直構(gòu)成陣列模型，具有平移不變性，有較好的陣列分辨率，易于構(gòu)造協(xié)方差矩陣。且本文采用的PM算法可以通過(guò)協(xié)方差矩陣快速得到噪聲子空間，不需要對(duì)協(xié)方差矩陣的特征分解計(jì)算。輸出DOA估計(jì)結(jié)果時(shí)，避免了二維譜峰搜索，可以得到自動(dòng)配對(duì)的二維DOA估計(jì)結(jié)果，具有較好的二維DOA估計(jì)性能，減少了計(jì)算量，計(jì)算方法復(fù)雜度相對(duì)較低。這種復(fù)雜度較低的算法，對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)的功耗控制較好，利用通信信號(hào)與聲學(xué)定位一體化方法，將高頻通信信號(hào)作為AUV水下信號(hào)源進(jìn)行DOA定位處理，高頻信號(hào)的短波長(zhǎng)特性，使得小尺寸陣列在水下DOA估計(jì)中得以使用，整體估計(jì)方法滿足了AUV水下DOA估計(jì)平臺(tái)對(duì)于小尺寸、低功耗的要求，并且有較好的估計(jì)精度。

1 算法模型

1.1 雙平行線陣陣列模型

陣列幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示，在平行線陣基礎(chǔ)上，進(jìn)行垂直方向的擴(kuò)展，得到雙平行線陣。在x-y平面中，有Lx1，Lx2，Ly1，Ly2四條均勻線陣，其中Lx1和Ly1由相鄰陣元間距為d的N+1個(gè)陣元組成；Lx2和Ly2由陣元間距為d的N個(gè)陣元組成；Lx1和Lx2平行于x軸放置，彼此平行間距為d，構(gòu)成沿x軸方向的平行線陣，Ly1和Ly2平行于y軸放置，彼此平行間距為d，構(gòu)成沿y方向的平行線陣。

圖1 雙平行線陣陣列結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Configuration of double parallel linear array

式中：λ是信號(hào)波長(zhǎng)，Lx2的導(dǎo)向矢量矩陣Ax2是Ax1的前N行，定義：

其中，diag（·）表示對(duì)角矩陣。同理可得與y軸平行的平行線陣Ly1和Ly2的陣列輸出信號(hào)yy1和yy2，表示為

Ly2的導(dǎo)向矢量矩陣Ay2是Ay1的前N行，定義：

兩種平行線陣的信號(hào)形式相似，本文以與x軸平行的平行線陣為主進(jìn)行二維DOA算法介紹，同理可得與y軸平行的線陣結(jié)果。

1.2 二維DOA估計(jì)算法

1.2.1 陣列輸出重構(gòu)

將與x軸平行的平行線陣的陣列輸出合并表示為

其中，Ax為與x軸平行的平行線陣的矢量導(dǎo)向矩陣

1.2.2 基于PM算法的二維DOA估計(jì)

將上一步重構(gòu)得到的x軸方向平行線陣的矢量導(dǎo)向矩陣Ax進(jìn)行分塊：

其中：右上角表示矩陣的行列數(shù)，且A1是非奇異矩陣，這樣分解得到的A1、A2是具有線性關(guān)系的兩個(gè)子矩陣，這種關(guān)系可以表示為

這里的PH是一個(gè)行列數(shù)為K×（2N+1-K）的矩陣，定義為傳播算子矩陣，之后的算法圍繞這里的PH矩陣進(jìn)行?？紤]接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

由于實(shí)際應(yīng)用中，快拍數(shù)為有限值，所以無(wú)法精確得到式（14）中的Rx理論值，一般使用離散形式的計(jì)算進(jìn)行近似，即：

同樣，對(duì)此協(xié)方差矩陣進(jìn)行分塊處理：

理論上，這種分塊處理得到的R1、R2也是具有線性關(guān)系的兩個(gè)子矩陣，在無(wú)噪聲情況下可表示為

這里的P就是傳播算子矩陣。但是實(shí)際應(yīng)用中要考慮到噪聲的情況，無(wú)法得到上述精確的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一般使用近似值來(lái)估計(jì)傳播算子矩陣P：

得到傳播算子的估計(jì)值后，對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)：

取Pxx的前N行得到矩陣Px1，由式（12）和式（20）可得[15]：

分別取Pxx的后N行、Pxy的前（N-1）行和Pxy的后（N-1）行得到矩陣Px2、Px3、Px4。定義矩陣：

其中，amp（·）表示取幅度值，angle（·）表示取相角值。同理可得y軸方向平行線陣的二維DOA估計(jì)結(jié)果。

將兩個(gè)方向的平行線陣進(jìn)行并行處理方式，獨(dú)立進(jìn)行DOA估計(jì)，當(dāng)兩個(gè)獨(dú)立估計(jì)結(jié)果得出后，進(jìn)行融合操作，提高DOA估計(jì)精度。

融合規(guī)則：第m次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)得到的估計(jì)結(jié)果，將兩個(gè)方向方位角和俯仰角的估計(jì)值進(jìn)行均值處理，得到最終DOA角度估計(jì)結(jié)果。

算法具體實(shí)現(xiàn)步驟總結(jié)如下：

（1）根據(jù)式（15）構(gòu)建協(xié)方差矩陣；

（2）式（18）和（19）利用協(xié)方差矩陣分解重構(gòu)得到估計(jì)值P和Pc；

（3）對(duì)矩陣pc分解重構(gòu)得到Px1、Px2、Px3、Px4，并且得到bk和A′；

（5）同理進(jìn)行y軸方向平行陣的參數(shù)計(jì)算，基于y軸方向平行線陣進(jìn)行二維DOA估計(jì)；

（6）結(jié)果融合得到雙平行線陣的DOA估計(jì)結(jié)果。

2 仿真分析

為驗(yàn)證本文算法的性能指標(biāo)，使用Matlab仿真軟件對(duì)算法進(jìn)行仿真。仿真中，所采用的雙平行線陣的兩個(gè)子陣陣元數(shù)分別為4和3，仿真使用水下通信定位信號(hào)的頻率為37.5 kHz，對(duì)應(yīng)的陣列陣元間距為1 cm，進(jìn)行算法性能測(cè)試。采用求均方根誤差（Root Mean Square Error,RMSE）作為衡量算法DOA估計(jì)性能的標(biāo)準(zhǔn)，定義為

式中：M表示蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)，θmk和φmk分別表示第m次實(shí)驗(yàn)中、第k個(gè)信號(hào)的估計(jì)值。仿真結(jié)果中誤差單位均為（°）。

2.1 估計(jì)效果測(cè)試

圖2給出了在信噪比（Signal to Noise Ratio,SNR）為15 dB的情況下，進(jìn)行200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，快拍數(shù)S=200，信源數(shù)K=3，角度分別為（?25°,45°）、（5°,15°）和（30°,60°）時(shí)算法的仿真情況。

從圖2可以看出，本文采用的算法在設(shè)置條件下可以較好地對(duì)目標(biāo)方位進(jìn)行估計(jì)，得到的DOA估計(jì)結(jié)果基本和目標(biāo)位置吻合，驗(yàn)證了本文所使用高頻通信信號(hào)配合小尺寸陣列進(jìn)行水下DOA估計(jì)的可行性。

圖2 SNR為15dB情況下雙平行線陣及傳播算子算法的二維DOA估計(jì)結(jié)果（S=200,K=3）Fig.2 Two-dimensional DOA estimation result of double parallel linear arrays and propagator method when SNR is 15 dB （S=200,K=3）

2.2 估計(jì)誤差隨參數(shù)變化情況

下面測(cè)試算法的多源信號(hào)估計(jì)性能，進(jìn)行 200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，快拍數(shù)為200，計(jì)算均方根誤差，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 SNR為15dB情況下DOA估計(jì)的均方根誤差隨信源數(shù)變化情況（S=200）Fig.3 Variation of RMSE of DOA estimation with number of sources when SNR is 15 dB （S=200）

從圖3可以看出信源數(shù)對(duì)本文所用水下DOA估計(jì)算法的影響，由于本文采用小尺寸陣列，子陣陣元數(shù)分別為4和3，進(jìn)而當(dāng)信源數(shù)為4時(shí)，由于陣元個(gè)數(shù)的限制，本文算法精度下降。當(dāng)信源數(shù)小于4時(shí)，本文算法在考慮小尺寸陣列的情況下有較好的估計(jì)效果。圖4、5測(cè)試了算法估計(jì)誤差隨快拍數(shù)和信噪比的變化情況。

從圖4～5可以看出，與圖3相對(duì)應(yīng)，在SNR為15 dB、S=200的條件下，對(duì)于3個(gè)目標(biāo)的估計(jì)RESM最大在1°左右，有較好的估計(jì)效果。

圖4 SNR為15 dB情況下DOA估計(jì)的均方根誤差隨快拍數(shù)變化情況（K=3）Fig.4 Variation of RMSE of DOA estimation with number of snapshots when SNR is 15 dB （K=3）

圖5 DOA估計(jì)的均方根誤差隨SNR變化情況（K=3,S=200）Fig.5 Variation of RMSE of DOA estimation with SNR（K=3,S=200）

3 結(jié) 論

本文為解決集群AUV水下協(xié)同工作所遇到的定位問(wèn)題，并且滿足AUV水下平臺(tái)對(duì)于小尺寸、低功耗的要求，提出了一種雙平行線陣結(jié)合PM方法的二維水下DOA估計(jì)算法，利用雙平行陣列融合提高了一定的估計(jì)精度；使用PM算法，避免二維譜峰搜索造成的大量計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了二維角度自動(dòng)配對(duì)，降低了復(fù)雜度，從而達(dá)到低功耗要求；采用通信與水下定位一體化方法，利用高頻通信信號(hào)作為定位信號(hào)源，使用小尺寸基陣，開展集群 AUV水下定位方法，對(duì)多源信號(hào)估計(jì)精度較好，滿足了集群AUV協(xié)同工作時(shí)的定位要求。本文所采用的陣列結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，算法復(fù)雜度較低，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)功耗控制較好，在載體限制陣列尺寸以及平臺(tái)低功耗的要求下，有較好的角度估計(jì)性能。