才讓當知

（甘南自治州合作市高級中學 甘肅甘南 747000）

數(shù)形結(jié)合的思想在我們高中數(shù)學是非常重要的思想之一，簡單來說就是數(shù)與形的有機地結(jié)合來解決問題，達到數(shù)與形的完美地結(jié)合，以數(shù)制型，以形得數(shù)。數(shù)學是以“數(shù)”與“形”為基本研究對象的自然科學，該學科內(nèi)容在現(xiàn)實生活中得到廣泛應用的同時，也對社會發(fā)展發(fā)揮著重要的推動作用。將圖形和數(shù)式進行相互的轉(zhuǎn)化，可以讓獲取的數(shù)量關(guān)系更加精準，以便得出準確的數(shù)字結(jié)論。數(shù)形結(jié)合思想實現(xiàn)了數(shù)學信息的相互轉(zhuǎn)化，為學生解題提供了新的解題方法。通過數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學語言與直觀的幾何圖形有機地結(jié)合起來，促使抽象思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。

一、數(shù)形結(jié)合思想的意義

（一）化抽象為形象

隨著我國教育水平的不斷發(fā)展和要求，數(shù)學作為學生高中階段的基礎學科，教師要創(chuàng)新教學模式來適應時代發(fā)展對學生數(shù)學素養(yǎng)提出的新要求。在高中數(shù)學教學中，教師要改變傳統(tǒng)的數(shù)學教學模式，將教學的重點放在對學生理解能力和應用能力的培養(yǎng)上面。教師可將數(shù)形結(jié)合的思想靈活應用于教學的各個環(huán)節(jié)，讓學生能夠真正實現(xiàn)對數(shù)學概念的內(nèi)化，使其根據(jù)數(shù)學知識構(gòu)建出對應的數(shù)學圖像。與此同時，采用該方法，可以讓學生解決問題的道路更加寬廣。原本抽象的問題內(nèi)容也會變得更加簡單，學生圖形與數(shù)式相結(jié)合的能力也會有所提升。另一方面，通過將高考與該思想結(jié)合，學生的想象能力、思維能力以及抽象能力都可以得到有效培養(yǎng)，在層層遞進的推理關(guān)系中，學生的思維能力也會得到極大拓展[1]。

（二）有助于初高中知識的銜接

數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學教學中的滲透，能夠讓學生盡早樹立數(shù)形結(jié)合的意識，使其在未來的學習中有更好的方式解決問題，實現(xiàn)初高中知識的有效銜接，也讓高中知識和初中知識可以融會貫通。初中階段的數(shù)學知識抽象性較強，且概念性也比較突出，解題方法的模仿性方面也很強，教學的實際中，需要學生具備較強的思維能力、空間構(gòu)造能力與計算能力等。學生歷經(jīng)必要的過渡期之后，數(shù)學學習過程也就會更加順利，數(shù)形結(jié)合思想也能夠讓學生對數(shù)學知識的認知更加深刻。

（三）有助于培養(yǎng)學生解題意識

數(shù)形結(jié)合意識在學生腦中的滲透絕不僅僅是簡單的理論講解即可，而是需要教師將其應用到實際的教學中，讓學生能夠洞悉數(shù)形結(jié)合思想的深意，學會分析問題并解決問題。在教師潛移默化的培養(yǎng)下，學生也能學會立足于不同視角，去分析數(shù)學問題，將解題中的障礙一一掃除。經(jīng)過實際的教學來看，將數(shù)形結(jié)合思想運用于數(shù)學解題中，可以讓學生對較為抽象的數(shù)學知識更加了解，也可以進一步深化學生的應用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識[2]。

（四）有助于提升學生應用能力

數(shù)形結(jié)合的思想在學生學習中的滲透絕不是一朝一夕可以完成的，學生也無法在短時間內(nèi)形成一種超能力。想要培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合意識，就需要教師真正將數(shù)與形能夠結(jié)合起來，讓學生可以應對數(shù)學問題。另一方面，教師還要將數(shù)形結(jié)合的思想滲透于學習的全過程中，讓學生的學習負擔能夠減輕，并進一步提升學生的主動性與積極性。

二、高考數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想的滲透

例1：（2017年全國卷Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=ax2-axxlnx，且f(x)≥0。

（1）求a。

（2）證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e-2＜f(x0)＜2-2。

分析：針對本題的求解主要思路如下：第一，已知條件提到f(x)≥0是恒成立的，一般這類題型需要求出a的取值區(qū)間。根據(jù)題干，由于本題要求明確a的值，所以可對函數(shù)f(x)圖像和x軸的關(guān)系進行預判，即相切，并且切點之外的所有點都應該落于x軸的上方，所以遷移分拆的兩個函數(shù)圖象也具備同樣特征；第二，f(x)有唯一極大值x0存在，這就代表該函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，圖象最終呈現(xiàn)為“N”或“反N”型；第三，最后想要證明不等式成立，就需要參考已經(jīng)求出的數(shù)值和已證結(jié)論，選擇適宜的方法。

（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且只有兩個零點；

（2）假設x0是f(x)的零點之一，證明y=lnx在點A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex2的切線。

分析：根據(jù)本題已知的條件，完成（1）的求解時，可采用下列三種方式解，具體如下。

第一種思路：學生可以先求出f(x)的導數(shù)，再參照定義域來對函數(shù)單調(diào)性進行斟酌。學生可以先畫出f(x)的圖形，選擇部分較為特殊的函數(shù)值，根據(jù)零點存在定理，來驗證函數(shù)f(x)有且只有兩個零點。在實際的求解中，大部分考生可能因多種原因，并沒有想到將函數(shù)畫出圖形。事實上，根據(jù)函數(shù)的圖像，才更容易聯(lián)想到一些具有特殊性的數(shù)值。在考生熟知且和題目密切相關(guān)的內(nèi)容輔助下，解題過程將會更加順利。因此，我們也可以理解為圖形猶如一根杠桿，具有四兩撥千斤的作用，可為考生順利求解指引方向。

第二種思路：如第一種思路，同樣需要求出函數(shù)的導數(shù)，并定義域結(jié)合來對函數(shù)單調(diào)性進行預判，再畫出函數(shù)圖形，以此求出極值，并將其與0進行對比，得到大小的結(jié)論。隨后，根據(jù)零點存在定理，來驗證函數(shù)有且只有兩個零點。在實際的解題中，需要學生注意的是x→0+是指變量x從0的右側(cè)逐漸趨向于0，以此類推同理可得。這種方式是將解法1逐漸地推向于極限情形，對于解決問題可以產(chǎn)生直接作用，需要考生具備扎實的知識基礎和較強的數(shù)學推理能力。

在對第（2）題求解時，由于函數(shù)的抽象性極為顯著，并且成為了很多學生學習路上的攔路虎，所以往往是學生感到極度頭疼的問題。但本題中，如果應用數(shù)形結(jié)合的思想，則可以順利解決存在的問題。通過數(shù)形結(jié)合，原本抽象的題干意思直觀地呈現(xiàn)了出來，并且也不再復雜，學生理解起來也更加容易。按照圖象，就可以求得切線斜率是1x0，相關(guān)問題也就自然而然地解決了。

三、高考例題中數(shù)形結(jié)合思想應用的啟示

（一）數(shù)學概念與數(shù)形結(jié)合思想的融合

高中數(shù)學包含的內(nèi)容較為廣泛，其中數(shù)學概念就占據(jù)了一定比例。可以說，數(shù)學概念是學習數(shù)學的基礎，更是數(shù)學內(nèi)容的基本元素，如果學生能夠深入理解相關(guān)概念，有利于其對數(shù)學定理和公式的理解，也能夠讓學生實現(xiàn)從感性到理性的飛升。所以筆者從教師教學中可以將數(shù)形結(jié)合的思想運用于數(shù)學課程，給學生進行引導，讓學生能夠主動探尋事物內(nèi)在的聯(lián)系，總結(jié)其本質(zhì)特征。在不斷地積累和總結(jié)中，學生的表達能力可以有效增強，對此學生也能夠更好地理解數(shù)學題目，對數(shù)學思想更加了解[3]。

（二）數(shù)學例題與數(shù)形結(jié)合思想的融合

高中數(shù)學教學的過程中，有效運用案例是很重要的一個部分。在案例分析中，教師可以將新知識融入其中，學生不僅可以鞏固已學知識，還能夠?qū)φ莆战忸}的技巧，以此提升自己的解題能力。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學課程中的重要思想之一，想要培養(yǎng)學生該思想，就要將其融入例題分析中，加深學生的印象，讓其知道數(shù)形結(jié)合思想應該用在哪一類的解題中，致力于提升自身的綜合能力。

（三）數(shù)學實踐與數(shù)形結(jié)合思想的融合

數(shù)學教學除了課堂上的集體授課，教師也會根據(jù)教學內(nèi)容適當組織教學活動，以實踐驗證真知，在實踐中獲得的感悟?qū)由羁??；跀?shù)學學習目標，學生要對數(shù)形結(jié)合思想有深刻的認識，并掌握應用技巧。教師可根據(jù)學生的身心特點和愛好，開展不同的實踐活動，讓學生可以積極地參與進來。在不斷地探索進程中，學生也可以對數(shù)形結(jié)合思想的了解更深，內(nèi)心的興趣也被激發(fā)出來，調(diào)動起自己的學習積極性，提升整體的教學質(zhì)量[4]。

（四）數(shù)學方法與數(shù)形結(jié)合思想的融合

在數(shù)形結(jié)合教學方法應用中，主要采取圖形。具體來講，數(shù)形結(jié)合教學方法的應用，借助于直觀的圖形表達知識點的深層含義。首先，數(shù)形結(jié)合意識是教師所具備的，教學工具主要采取的是圖形，對學生的圖形感知能力進行培養(yǎng)：學生遇到數(shù)學問題時.首先分析采用數(shù)形結(jié)合方法是否可以對這道題進行解決.將問題中隱藏條件給找出來，對相應的圖形進行繪制，這樣方可以正確解題。那么教師就需要對學生的數(shù)形互譯能力進行培養(yǎng)；教師還可以應用先進的多媒體技術(shù)，將數(shù)形轉(zhuǎn)化過程展示給學生，促使學生空間立體思維能力的提高。

（五）提升學生數(shù)形結(jié)合的綜合能力

對學生數(shù)形轉(zhuǎn)化和整合能力進行訓練。如果學生已經(jīng)具備基本繪圖能力，那么就需要引導學生轉(zhuǎn)化和整合數(shù)形，將數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法傳授給他們，用數(shù)解形，或者用形來助教。數(shù)解形就是數(shù)量化高中數(shù)學中的集合問題。通過數(shù)的計算或者簡化.對數(shù)學中的幾何問題進行處理。向量法、三角方法和解析法等都可以來處理高中數(shù)學知識中的幾何問題。比如，借助于向量法對幾何問題進行解決.構(gòu)建圖形，就有一種對應關(guān)系形成于平面向量和坐標之間，可以更好地進行數(shù)的計算，降低問題難度。

（六）結(jié)合信息技術(shù)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

目前，很多高中生在數(shù)學上都有一定的“畏難心理”。這是因為高中數(shù)學知識具有很強的邏輯性和理論性，很多數(shù)學教師不知道如何通過適當?shù)姆椒ń档蛯W生學習理論知識的難度。高中數(shù)學知識的邏輯性導致很多缺乏抽象思維的學生學習困難，針對這種問題，教師充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的作用，通過視聽化教學語言的設計，使抽象的數(shù)學知識更加形象化，這樣不僅能夠深化學生的知識理解，同時還能夠培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合、空間思維等數(shù)學核心素養(yǎng)[5]。

以線與圓的方程式課程的教學活動為例，在本課程中，筆者運用PPT的動畫效果，向?qū)W生演示了“現(xiàn)有的圓經(jīng)過A（5，8）點和B（9，4）點，圓心在y=0線上，求圓的方程式，同時，結(jié)合CAD繪圖軟件，為學生制作平面直角坐標系，并通過精確的繪圖方式向?qū)W生展示數(shù)學模型。這樣，學生就可以在直觀的數(shù)學模型的影響下深化思維，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（七）結(jié)合學生差異，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

課堂訓練對學生鞏固知識很有幫助。但是在數(shù)學課堂訓練活動的設計上，我們要避免學生形成疲憊感，由于學生思維能力和學習特點的差異性，教師在設計課堂訓練內(nèi)容的過程中也要堅持層次性的特點，逐漸提高數(shù)學訓練活動的難度，通過階梯式的數(shù)學訓練內(nèi)容逐步調(diào)動學生的參與度，吸引學生的注意力、培養(yǎng)學生參與數(shù)學訓練的新型，促進高中數(shù)學教學質(zhì)量的提高[6]。數(shù)形結(jié)合思想實現(xiàn)了數(shù)學信息的相互轉(zhuǎn)化，為學生解題提供了新的解題方法。通過數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學語言與直觀的幾何圖形有機地結(jié)合起來，促使抽象思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。

例如，在進行“數(shù)列”課程的教學活動時，筆者為基礎較差的學生設計了這樣的練習：“數(shù)列的公式{an}為an=13N，找出數(shù)列的前五項”。那么學生在面對這種相對簡單的數(shù)學習題時往往會產(chǎn)生一定的自信心，然后在此基礎上逐步增加數(shù)學習題的難度，這種方式可以有效地促進學生主動鍛煉自己的數(shù)學思維核心素養(yǎng)。對于學習能力強的學生，筆者設計了這樣一個例子：“判斷16和45是否是數(shù)列{3N+1}中的項目。如果是的話，請指出這兩個數(shù)字是第幾項？”這樣，筆者在這一階段不斷提高學生的知識拓展能力，通過層層設計數(shù)學題目的方式，有效培養(yǎng)了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

四、結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合思想實現(xiàn)了數(shù)學信息的相互轉(zhuǎn)化，為學生解題提供了新的解題方法。通過數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學語言與直觀的幾何圖形有機地結(jié)合起來，促使抽象思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。由于數(shù)學知識的抽象性，常常會讓學生陷入死胡同中，而這時數(shù)形結(jié)合思想的作用就被凸顯了出來。在解題過程中，筆者認為學生應該演算、思考與畫圖同步進行，在畫出和其相匹配的圖形之后，利用數(shù)形結(jié)合的思想，讓原本復雜的問題變得更加簡單，不但可以讓學生快速抓住銜接點，探尋到有效的解題思路，弄清楚問題所要求得的真相，還能夠讓學生在解題中不再畏懼。總之，教師在日常教學中應該將該思想和高考結(jié)合起來，培養(yǎng)學生的解題能力，并且提高解題的效率。