竇藝萌, 何澤榮

(杭州電子科技大學(xué)運(yùn)籌與控制研究所, 浙江 杭州 310018)

1.引言

在許多不同種類的生物種群所構(gòu)成的“小社會(huì)”中, 生態(tài)學(xué)家都觀察到了個(gè)體之間存在等級(jí)或社會(huì)地位差異, 參見(jiàn)文[1]及其所引用的200余份文獻(xiàn).為了對(duì)種群的演化趨勢(shì)作出比較可靠的預(yù)測(cè), 數(shù)學(xué)模型法是一種得到普遍認(rèn)可的途徑.目前, 已有一些研究者為具有等級(jí)結(jié)構(gòu)的生物種群建立數(shù)學(xué)模型并作出理論分析.[2-8]這些工作主要關(guān)注模型的基本性質(zhì)(如適定性、數(shù)值方法), 以及種群的持續(xù)生存和滅絕條件.盡管現(xiàn)有工作還很不完善, 但其重要性不容置疑,它們是后續(xù)研究的出發(fā)點(diǎn).

與其它結(jié)構(gòu)化的種群模型(如年齡結(jié)構(gòu)、尺度結(jié)構(gòu))不同, 等級(jí)結(jié)構(gòu)模型均為非線性的, 而非線性系統(tǒng)的徹底分析都比較困難.由于受季節(jié)變化等周期性因素的影響, 種群的個(gè)體生命參數(shù)常常經(jīng)歷周期性振蕩.這種現(xiàn)象在等級(jí)結(jié)構(gòu)類建模時(shí)尚未被考慮過(guò).有鑒于此, 本文提出一類周期環(huán)境中的等級(jí)結(jié)構(gòu)種群模型, 在一組較為合理的參數(shù)條件下, 確立模型解的存在唯一性和非負(fù)性, 為后續(xù)研究種群系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間演化行為和調(diào)控問(wèn)題奠定基:.

2.模型與參數(shù)條件

假設(shè)個(gè)體的出生率和死亡率隨時(shí)間周期性變化, 考慮下列種群模型:

其中, R+=[0,+∞),Q=(0,A)×R+;A是種群個(gè)體的最大年齡,T為生命參數(shù)變化周期.其他狀態(tài)變量和參數(shù)的含義如下:p(a,t)表示t時(shí)刻年齡為a的個(gè)體密度;f(a,t)是外界向種群生存環(huán)境的遷入率;E(p)(a,t)表示在t時(shí)刻年齡為a的個(gè)體所面臨的內(nèi)部環(huán)境;β(a,t,E(p)(a,t))和μ(a,t,E(p)(a,t))分別表示t時(shí)刻年齡為a的個(gè)體的出生率和死亡率,也與內(nèi)部環(huán)境相關(guān).

本文的基本假設(shè)如下:

對(duì)?s1,s2∈[0,M],?(a,t)∈Q均成立;

(A4) 對(duì)?(a,t)∈Q, 函數(shù)β(a,t,·)在Q上是非增的,μ(a,t,·)在Q上是非減的;

(A5) 對(duì)?(a,t)∈Q, f(a,t)≥0, f(a,t)=f(a,t+T),f ∈L∞(Q).

3.解的適定性

將模型(2.1)中函數(shù)μ, β里的p固定為非負(fù)函數(shù)q, 由此得到以下線性模型:

由基本假設(shè)易知K滿足

0≤K(t,s;q)≤K(t,s;0)≤β(s,t,0),a.e.(t,s)∈R+×(0,A).

證由內(nèi)部環(huán)境的定義知

由(3.4), (3.6)及(3.8)式可得

其中M1T=L(MT)max{1,‖β(·,·,0)‖L∞(Q)}.

又由(3.4), (3.7)-(3.8)可得

其中NT=L(MT)‖f‖L1(Q)max{1,‖β(·,·,0)‖L∞(Q)}.

由于函數(shù)b具有周期性, 可限定t ∈[A,A+T].由(3.5)及Bellman不等式可得出

再利用(3.5)及(3.8)-(3.11)可知

利用(3.12)及Gronwall不等式導(dǎo)出

定義映射:

T:H →L∞(R+,L1[0,A)),

(T q)(a,t)=p(a,t;q), ?q ∈H; (a,t)∈Q,

其中p(a,t;q)是由(3.3)給出的線性系統(tǒng)(3.1)的解.

定理3.1系統(tǒng)(2.1)存在唯一的解, 且該解是非負(fù)有界的.

證由于H中的函數(shù)關(guān)于t的周期性, 可將t限定在固定區(qū)間[A,A+T]內(nèi).取定正數(shù)λ使得λ ＞在H中定義等價(jià)范數(shù):

因此, 對(duì)?q1,q2∈H, 由引理3.2可導(dǎo)出

上述不等式表明T為空間H中的壓縮映射, 它在H中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn), 該不動(dòng)點(diǎn)即為系統(tǒng)(2.1)的解.再據(jù)(3.3)知該解非負(fù)有界.定理證畢.

注3.1當(dāng)a,t,s)≡0, α →1時(shí), 上述定理3.1就退化為專著[9]中的定理2.4.2.此外, 容易驗(yàn)證: 定理3.1也推廣了文[10-11]的相應(yīng)結(jié)果.