關宏波, 郭昱杉, 曲雙紅

(鄭州輕工業(yè)大學數學與信息科學學院, 河南 鄭州 450002)

1.引言

其中Ω ?R2為有界凸區(qū)域,?Ω為Ω的邊界,T是總時間, i是虛數單位,u0=u0(x)是t= 0時刻的初值,u為未知函數,f為已知的右端源項, 這里及以后出現的函數均為復值函數.

對于時間相關的發(fā)展型偏微分方程, 連續(xù)時空有限元方法有著獨特優(yōu)勢, 其主要思想是對時間變量和空間變量同時進行有限元離散, 而傳統的全離散有限元格式則是對空間變量采用有限元離散, 對時間變量采用差分離散, 如果需要改變時間方向的計算精度, 其所對應的理論分析和數值計算差別較大, 重復性工作幾乎成倍增長.而連續(xù)時空有限元方法的理論分析和數值計算對于任意階的時間離散和空間離散都是統一處理和一致成立的, 該方法已被成功應用于熱傳導方程、波動方程、Sobolev方程、反應擴散方程等時間相關偏微分方程.[6]然而對于Schrdinger偏微分方程的時空有限元方法, 目前尚未見到有正式出版的文獻進行報道.

2.連續(xù)時空有限元方法

首先, 本文所用到的Sobolev空間及范數的記號都是標準的.[7]另外, 我們著重介紹時空Sobolev空間及范數如下:

和

原問題(1.1)所對應的變分形式為: 求u ∈U, 使得

此外, 定義關于時間變量的投影算子Pt:H1(0,T)→Skl([0,T]), 易知Ptu(tn) =u(tn)(n=0,1,··· ,N).如果u ∈H1(0,T), 則成立:

同時, 對任意的u ∈Hs(0,T), 有

文[7]還證明了投影算子Px和Pt具有如下引理1中的逼近性質:

3.誤差估計

下面進行連續(xù)時空有限元誤差分析, 得到本文主要結論如下:

根據Pt和Px的定義, 上式可變形為

在(3.6)中取vhk=PtPxu-uhk, 可得

或

比較等式(3.7)兩邊的實部, 有

利用Gronwall不等式, 得

利用三角不等式及引理1, 有

定理1中第一個結論(3.1)得證.

即

結合(3.13)與引理1, 得

故結論(3.2)得證.

下面證明(3.3).

在(3.6)中取vhk=(PtPxu-uhk)t, 可得

即

由(3.17)及引理1, 得

結論(3.3)得證.至此定理證畢.

4.小結

1) 如果對空間區(qū)域采用低階非協調元逼近, 如矩形元[8]、CNQr1ot矩形元[9]或非協調P1三角形元[10], 則其對應的有限元插值算子等價于文中針對空間變量的橢圓投影算子Px,從而會使得理論分析變得更為簡潔.另外, 由于上述兩個矩形單元滿足相容誤差比插值誤差高一階的特殊性質[11], 且具有各向異性特征[12], 我們還可以得到其在各向異性網格下的整體超逼近和超收斂性質.