王躍, 鐘榮花, 郝雪妍, 魏其萍

(1.貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 貴州 貴陽 550025;2.天津財經(jīng)大學(xué)管理工程與科學(xué)學(xué)院, 天津 300222;3.貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院, 貴州 貴陽 550025)

1.引言和主要結(jié)論

傳輸問題在工程制造等行業(yè)中始終或多或少困擾著人們, 在工業(yè)制作中, 人工搬運下偶然因素較多, 例如工人體力支撐有限以及觀察存在盲區(qū)等外界影響, 時效性得不到保證, 解決這一系列問題的過程促進了流水線的產(chǎn)生.流水線型工業(yè)生產(chǎn)中, 傳送帶在轉(zhuǎn)運傳輸過程中起著不可忽視的作用, 由于傳送帶運行時往往會發(fā)生振動, 傳送帶上的材料時常會因為傳送帶的振動而發(fā)生掉落, 為了更好地解決該問題, 不得不對傳送帶本身的振動作相關(guān)研究, 如果已經(jīng)充分了解傳送帶的振動狀態(tài), 便可以對癥下藥, 利用其他因素控制振動帶來的負(fù)面影響.

振動問題的數(shù)學(xué)描述, 需要追溯到達朗貝爾和歐拉提出的波動方程和弦振動方程, 此后的研究中, 當(dāng)不同外力和源項作用使f(t,x,u)≡0時Kirchhoff[1]提出了如下引人注目的振動模型:

其中v為無量綱化的傳送帶速度,vT ＞0是與勻速度相關(guān)的正常量.從方程自身來看, 傳送帶邊界振動問題于Kirchhoff型問題而言其非局部系數(shù)中模量為負(fù).我們通過文獻查閱發(fā)現(xiàn)有這樣的事實: 當(dāng)兩個原子靠得很近時表現(xiàn)出排斥力而離得遠時表現(xiàn)出吸引力, 糧食供需等關(guān)系中的勁度系數(shù)有時為正有時為負(fù)等, 此中所表現(xiàn)出的便是負(fù)模量, 文[6]立足于該事實考慮了帶有臨界指數(shù)的負(fù)模量Kirchhoff問題后, 許多關(guān)于負(fù)模量Kirchhoff型數(shù)學(xué)問題解的存在性研究也沿用文[6]所敘述的物理意義.文[7]中對v進行了必要的說明, 0＜v ＜1時是常態(tài)的轉(zhuǎn)速,v= 1時是臨界速度, 達到臨界速度后振動將變得極不穩(wěn)定, 就算帶片自身的固有振動頻率可以忽略不計, 都隨時可能會產(chǎn)生不可估計的負(fù)面問題.例如, 交流電驅(qū)動下的傳送帶中, 常態(tài)速度下帶片的速度大約等價于電動機的轉(zhuǎn)速, 交流電一旦不穩(wěn)定, 這個等價就失去平衡.如果電流過大, 電動機轉(zhuǎn)速將提高, 其自身轉(zhuǎn)子與傳送帶之間的摩擦力將隨著轉(zhuǎn)動速度而發(fā)生變化, 這將導(dǎo)致傳送帶的速度與電動機轉(zhuǎn)速不匹配(一般小于電動機轉(zhuǎn)速), 一旦傳送帶的速度v ＞1, 那么一方面會導(dǎo)致傳送帶上的材料顛簸而帶來嚴(yán)重的負(fù)面影響, 另一方面也可能損壞電動機.為了保證流水線正常運作, 預(yù)防負(fù)面問題的發(fā)生, 需要添加適當(dāng)?shù)脑O(shè)備f(x,u)0以使得控制振動在一定的頻率范圍內(nèi), 其中f(x,u)的系數(shù)1表示抑制作用, 系數(shù)-1表示促進作用.由于在某些問題中所需要的結(jié)果可能與這里的相反, 例如需要振動頻率越高越好, 因此是抑制還是促進需要根據(jù)實際出發(fā).

設(shè)f(x,u)=λg(x)u3, 下面推廣抑制作用的傳輸問題到高維, 即考慮帶權(quán)函數(shù)的問題:

注記1定理1中, 由于臨界值向上遞增, 解序列{um}所對應(yīng)的泛函值最后將趨于

2.預(yù)備知識

則直接可以證明I可微并且I的臨界點就是問題(1.1)的解.

為了運用山路引理和對稱山路引理[16]證明本文的結(jié)論, 現(xiàn)將其滿足的條件列出如下:

引理1[16]設(shè)E是可分的實Banach 空間,I ∈C1(E,R)滿足I(0)=0, 給出假設(shè):

(I1)存在常數(shù)r,α ＞0使得對任意的u ∈Br{0}有I(u)＞0; 對任意的u ∈Sr有I(u)≥α ＞0;

(I2) 存在函數(shù)e ∈E,0, 滿足I(e)≤0;

(I3) 存在常數(shù)M ＞0, 使得同時滿足的任意序列{un}?E有收斂子列;

(i) 記Γ={h ∈C([0,1],E)|h(0)=0,h(1)=e}, 如果條件(I1)-(I3)成立, 則

21世紀(jì)初，由Operstein提出了以植被覆蓋來增強邊坡穩(wěn)定性，相對于傳統(tǒng)土釘墻法，植被覆蓋能完美地達到穩(wěn)定邊坡和美化環(huán)境的雙贏效果。

是I的一個臨界值且滿足0＜α ≤c ＜M.

記Γ={h ∈C(E,E)|h是E到E的同胚映射且h(Br)∈A0}, 則:

(ii) 如果h(τ)分離0和e, 那么滿足條件(I1)-(I3)時,

是I的一個臨界值且滿足0＜α ≤c ＜M;

(iii) 如果h是奇映射, 那么滿足條件(I1)和(I3)-(I5)時, 對每一個i ∈N*,

是I的一個臨界值且滿足0＜α ≤ci ≤ci+1＜M.由此推導(dǎo)出I有無窮多對臨界點;

(iv) 如果h是奇映射且則(I3)-(I6)成立時對每個k ＞i,

通常, 結(jié)論(i)叫做山路引理, 結(jié)論(ii)-(iv)叫做對稱山路引理.

3.定理1的證明

下面將對所考慮的問題進行逐項檢驗, 并與對稱山路引理成立的條件作比較, 以此來證明次臨界情形下問題(1.1) 無窮多解的存在性.

對上述的兩式進行適當(dāng)比較可得出

第四步 驗證條件(I5)-(I6).事實上, 取Ei=Hi, 則條件(I5)-(I6) 都成立.

4.定理2的證明

由定理1的證明過程可見, 山路引理和對稱山路引理的前提條件和(I1)-(I2)以及(I4)對N=4同樣成立, 但當(dāng)N= 4時Sobolev不等式嵌入不緊, 而且在RN上的達到函數(shù)不能張成整個空間, 從而空間分解失去作用.下面我們將證明當(dāng)N=4時對稱山路引理的條件(I3)也成立, 即證明所謂的(PS)c條件, 從而可以用山路引理證明方程(1.1)解的存在性.

由于數(shù)列極限具有保號性, 從而根據(jù)(4.3)式和Sobolev嵌入不等式可得出可得

因此l2=0, 若不然就有

由此推出

一方面, 從(4.2)式以及(4.3)式的最后一個式子可得出

另一方面, 結(jié)合(4.3)式和(4.4)式知

可達到, 從而根據(jù)山路引理,c是I的一個臨界值且滿足0＜α ≤c ＜M.

證I的Nehari流形表示為

如果u是問題(1.1)的非平凡解, 則u ∈N.因此, 變分問題通常對應(yīng)可以在Nehari流形上考慮,對問題(1.1)而言, 便是在N上考慮泛函I的極小值點, 既考慮極小化問題

根據(jù)引理3, 便得到了臨界值c可以達到, 也就是說, 再聯(lián)系到泛函的偶性便存在相應(yīng)的一正一負(fù)兩個臨界點.從而說明當(dāng)N=4時問題(1.1)至少存在一正一負(fù)兩個解,根據(jù)c的達到可知此時的解是定義在g(x)的一個極大值點x0的鄰域內(nèi), 因此推知當(dāng)g(x)有k個極大值相等的嚴(yán)格極大值內(nèi)點xi(i= 1,··· ,k)時問題(1.1)至少存在k個正解和k個負(fù)解.這便是推論2和推論3的主要結(jié)論.另外, 當(dāng)g(x)的極小值點趨近于0時, 根據(jù)g(x)的連續(xù)性可知極小值點附近g(x)也趨近于0, 再根據(jù)引理3可知問題(1.1)對應(yīng)的泛函值趨近于