余 進(jìn) ，張紅俊

（1.長(zhǎng)安大學(xué)公路養(yǎng)護(hù)設(shè)備國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710065；2.重慶長(zhǎng)安工業(yè)（集團(tuán)）有限責(zé)任公司，重慶 401120）

0 前言

多指靈巧手作為一種末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有高自由度、高靈活性的特點(diǎn)，能夠完成多種精細(xì)、復(fù)雜的操作，在工業(yè)加工[1]、家庭服務(wù)[2]、太空探索[3]、康復(fù)醫(yī)療[4]以及危險(xiǎn)品處理[5]等領(lǐng)域都有不錯(cuò)的應(yīng)用前景。在各種操作任務(wù)中，多指靈巧手需要通過(guò)與被操作物體進(jìn)行接觸來(lái)調(diào)整物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，該過(guò)程中不同的接觸方式會(huì)產(chǎn)生不同的操作效果。文獻(xiàn)[6]將任意兩物體間常見(jiàn)的接觸分為點(diǎn)接觸、線接觸以及面接觸，其中點(diǎn)接觸在操作靈活度上更具有優(yōu)勢(shì)。常見(jiàn)的點(diǎn)接觸中，固定點(diǎn)接觸方式在實(shí)際操作應(yīng)用中較為常見(jiàn)且其理論上受到的運(yùn)動(dòng)約束最為簡(jiǎn)單，便于研究。

目前，在對(duì)多指靈巧手進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模的研究中，大部分動(dòng)力學(xué)模型只針對(duì)多指靈巧手進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，未對(duì)靈巧手與被操作物體間的接觸約束進(jìn)行考慮，如文獻(xiàn)[7]和[8]提出通過(guò)Newton-Euler方法表示出單指的動(dòng)力學(xué)方程。Udwadia-Kalaba方法[9]的優(yōu)勢(shì)在于無(wú)須引入額外的變量且適用范圍廣泛。文獻(xiàn)[10]中，趙曉敏等人對(duì)比討論了U-K方法相較于Lagrange方法和Newton-Euler方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

本研究中主要包括以下三個(gè)方面的工作：第一部分簡(jiǎn)要對(duì)Udwadia-Kalaba理論進(jìn)行介紹；第二部分對(duì)靈巧手手指和物體在固定點(diǎn)接觸時(shí)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；第三部分使用層級(jí)堆聚建模方法對(duì)多指靈巧手和被操作物體整體進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模并對(duì)該系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真。

1 Udwadia-Kalaba理論

若一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)由s個(gè)質(zhì)點(diǎn)或剛體組成且可以通過(guò)廣義坐標(biāo)向量q∈n?來(lái)表示該系統(tǒng)在任意時(shí)間t的位移，則在不受約束條件下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

式 中M(q,t)∈?n×n為 系 統(tǒng) 的 質(zhì) 量 矩 陣，為系統(tǒng)所受到的給定力。若該系統(tǒng)受到l（l＜n）個(gè)約束，其所受約束的Pfaffian形式可表示為：

式中A(q,t)∈?l×n，c(q,t)∈?l。對(duì)式（2）進(jìn)行求導(dǎo)后可得到二階形式為：

假設(shè)1：機(jī)械系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M(q,t)正定且對(duì)稱(chēng)。假設(shè)2：約束方程式（2）中的矩陣A(q,t)滿足Rank(A)≥1。

定理1[11]：滿足假設(shè)1～2的機(jī)械系統(tǒng)式受到約束時(shí)，機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

定理1給出的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程在質(zhì)量矩陣滿秩的情況下，能夠適用于完整約束和非完整約束條件下。

2 接觸分析

三指靈巧手的結(jié)構(gòu)如圖1所示，將固連在三指靈巧手手掌上的坐標(biāo)系設(shè)為基坐標(biāo)系，取用于描述第i根手指的廣義坐標(biāo)，為描述被抓取物體的廣義坐標(biāo)。若靈巧手單根手指與被抓取物體之間產(chǎn)生固定接觸時(shí)，將滿足一個(gè)約束，即手指指尖與物體在接觸點(diǎn)處的位置相等[12-15]。

圖1 三指靈巧手

上式中，Po∈?3、Pfi∈?3分別為物體坐標(biāo)系原點(diǎn)和指尖坐標(biāo)系原點(diǎn)在基坐標(biāo)系下的位置向量，oCoi和則分別為物體坐標(biāo)系和指尖坐標(biāo)系下接觸點(diǎn)的位置向量。對(duì)式（6）求導(dǎo)可得：

將系統(tǒng)所受到的約束方程式（7）整理成矩陣的形式為：

3 抓取系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

將多指靈巧手分為四個(gè)子系統(tǒng)，即三個(gè)單手指子系統(tǒng)和被抓取物體子系統(tǒng)。假設(shè)單手指系統(tǒng)的各個(gè)連桿均為均質(zhì)桿且手指運(yùn)動(dòng)不受摩擦力的影響，則根據(jù)Lagrange方程，單手指子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)可表示為：

式中Mfi∈?6×6為單手指子系統(tǒng)的質(zhì)量慣性矩陣，Qfi∈?6則為該子系統(tǒng)所受到的科氏力和重力。同理，被抓取物體子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)可表示為：

式中Mo∈?12×12為被抓取物體子系統(tǒng)的質(zhì)量慣性矩陣，12

oQ∈?為該子系統(tǒng)所受到的科氏力和重力。結(jié)合式（9）和式（10）可得到多指靈巧手在“未受約束”下的動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

4 總結(jié)

本研究首先對(duì)Udwadia-Kalaba方法進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，隨后對(duì)靈巧手與物體間在固定接觸下的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，表示出其在空間中所受到的約束方程，然后基于層級(jí)堆聚建模方法，在對(duì)單手指和物體進(jìn)行分別建模之后，基于Udwadia-Kalaba方法利用接觸約束建立靈巧手與被抓取物體的整體模型，為后續(xù)對(duì)抓取系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)提供準(zhǔn)確的模型基礎(chǔ)。