紅蘭 戈君 雙山 劉達權

(呼倫貝爾學院物理與電子信息學院,呼倫貝爾 021008)

采用Pekar 變分法和幺正變換相結合的方法研究了各向異性量子點中束縛磁極化子的Rashba 效應和Zeeman 效應.通過理論推導,得到束縛磁極化子基態(tài)能量的表達式.討論了極化子基態(tài)能量與橫向有效受限長度、縱向有效受限長度、磁場回旋共振頻率、庫侖束縛勢的關系.由于晶體結構反演非對稱性和時間反演非對稱性,極化子能量發(fā)生Rashba 自旋軌道分裂和Zeeman 分裂.在強、弱磁場下,分別討論了Zeeman 效應和Rashba 效應在能量分裂中所占的主導地位.由于聲子和雜質的存在,極化子比裸電子態(tài)更穩(wěn)定.

1 引言

人們應用電子的電荷特性開創(chuàng)了微電子學,使各種基于電荷特性的半導體微電子器件走進人們的日常生活[1,2].近年來,自旋電子學成為了物理學中最熱門的研究領域之一,它不但是一個基本的物理問題,同時還有廣闊的應用前景[3-6].自旋電子學的研究基礎是不同自旋態(tài)的電子在材料中的濃度不同,也就是說,自旋在能量上分裂了.這種分裂主要是由于結構反演非對稱所導致的Rashba效應和晶體反演非對稱所導致的Dresselhaus 效應引起的[7].目前,自旋電子學的一個重要分支是研究量子阱、量子點、量子線或半導體異質結中的Rashba 和Dresselhaus 自旋軌道耦合效應,這些效應可用于自旋晶體管、自旋濾波器和自旋波導等電子器件[8].而在窄禁帶半導體中Rashba 效應占主導地位,Dresselhaus 效應可以忽略不計.

Datta 和Das[9]在1990年首次提出了基于控制電子自旋的晶體管原理,自從Datta 的文章發(fā)表以來,世界上許多學者對低維量子系統(tǒng)中的Rashba效應進行了實驗和理論研究[10-13],尤其是在量子點系統(tǒng).如,Governale[14]從理論上研究了自旋軌道耦合對量子點中電子結構的影響,利用自旋密度泛函理論計算了量子點的基態(tài)性質與電子數(shù)的關系.考慮Rashba 自旋軌道相互作用的影響,Li 等[15]研究了拋物量子點中電子-體縱光學聲子強耦合相互作用,采用Pekar 變分法計算了極化子基態(tài)能量,在Rashba 效應的影響下,極化子的基態(tài)能量發(fā)生分裂.采用相同的方法,他們還研究了拋物量子點中束縛磁極化子的性質[16].然而,外加磁場也能使電子能量發(fā)生分裂,此分裂稱為Zeeman 分裂,它要求時間反演不對稱.因此,Rashba 自旋軌道相互作用引起的分裂并不是一個簡單的分裂,有時會摻雜Zeeman 分裂.雖然兩種分裂的方向不同,但如何區(qū)分它們的貢獻仍存在一定的難度.在外磁場作用下,一些研究者同時研究了量子點系統(tǒng)中的兩種分裂.例如:Lee 和Spector[17]研究了Rashba 自旋分裂和磁場對拋物量子點中電子能級的影響.結果表明,在沒有磁場的情況下,隨著Rashba 參數(shù)的增大,電子能級出現(xiàn)雙重簡并且逐漸降低,當存在磁場時,隨著Rashba 參數(shù)和磁場的增大,簡并解除,自旋態(tài)的能量分裂增大.Bandyopadhyay 和Cahay[18]導出了具有鐵磁接觸的各向異性量子點中總自旋分裂能的表達式,鐵磁接觸產(chǎn)生的磁場引起了量子點中電子態(tài)的Zeeman 分裂.結果表明,由于各向異性量子點中Rashba自旋軌道耦合的非消失性,在橫向電場作用下Zeeman分裂可以得到很好的調諧.迄今為止,人們對電子系統(tǒng)的Rashba 效應和Zeeman 效應已做了大量的研究工作,但在極化子領域研究的卻較少,尤其是當Rashba 效應和Zeeman 效應同時存在時研究的更少[19].本文將研究Rashba 效應和Zeeman 效應對各向異性量子點中束縛磁極化子性質的影響,并在強、弱磁場作用下,分別對Zeeman效應和Rashba 效應的主導地位進行分析.

2 理論模型

強耦合極性晶體中運動的電子被介質包圍并與類氫雜質耦合,由于聲子場和極性晶體的邊界效應,電子在每個方向的運動都是量子化的.建立空間直角坐標系o-xyz,使oz軸位于量子點的中心軸上,假設電子在z方向和x-y平面上受到不同拋物勢的限制,在z方向施加磁場B,矢勢用A=(-By/2,Bx/2,0)表示.各向異性量子點中電子-聲子相互作用系統(tǒng)的哈密頓量可寫為

式中,He代表電子動能,m是電子帶質量,β2=2eB/c,Vp(r)表示x-y平面和z方向的三維受限勢,ω1和ω2被定義為各向異性量子點的橫向和縱向受限強度,r=(ρ,z)是電子的位置矢量,Vc(r)是庫侖束縛勢.

哈密頓量中:

分別表示體縱光學聲子場能量和電子與體縱光學聲子的相互作用能.(6)式中Vq定義如下[20]:

分別在+z—極化自旋和—z—極化自旋之間引入Rashba 自旋軌道相互作用和Zeeman 分裂.σx,σy和σz分別是泡利矩陣矢量在x方向、y方向和z方向的分量.g是朗德因子,μB=e?/(2m0c)是玻爾磁子(m0是裸電子質量),Rashba 自旋-軌道耦合常量αR受多種因素的影響.將庫侖束縛勢展開為傅里葉級數(shù)形式:

為了簡化系統(tǒng)的哈密頓量,對方程(1)進行幺正變換,引入幺正變換算符:

其中fq是變分函數(shù),可通過對能量求變分取極小求得,變換后的哈密頓量為

系統(tǒng)的基態(tài)嘗試波函數(shù)選為:

式中,aχ1/2+bχ1/2是z分量的兩種自旋態(tài),其中分別代表自旋向上和自旋向下態(tài),a和b是系數(shù).λ和μ是變分參量,|0ph是未微擾零聲子態(tài),作用于湮滅算符有bq|0ph〉=0,(12)式對 |ψ〉的期望值可以表示為

其中ωc=eB/(mc) 定義為磁場回旋共振頻率,分別定義為橫向和縱向有效受限長度,.

由變分法得到:

將(15)式代入(14)式中,求和變積分,得到系統(tǒng)的總能量:

其中,束縛磁極化子的零自旋分裂能量為

Rashba 效應影響下束縛磁極化子的能量為

Zeeman 效應影響下束縛磁極化子的能量為

Rashba 自旋軌道分裂能為

3 數(shù)值結果與討論

為更清晰體現(xiàn)Rashba 效應和Zeeman 效應對各向異性量子點中束縛磁極化子性質的影響,數(shù)值計算了束縛磁極化子的基態(tài)能量.為簡化計算,取極化子單位(?=2m=ωLO=1),并使用wLO作為磁場回旋共振頻率的單位.在不同庫侖束縛勢下討論了束縛磁極化子基態(tài)能量與橫向有效受限長度、縱向有效受限長度、磁場回旋共振頻率之間的關系.在強、弱磁場下分別討論了Zeeman 效應和Rashba 效應在分裂中所占的主導位置.

當ωc=1ωLO,l2=1.2,α=8,αR=1,β′=0,β′=20 時,圖1 展示了束縛磁極化子基態(tài)能量E與橫向有效受限長度l1之間的函數(shù)關系.當ωc=1ωLO,l1=0.6,α=8,αR=1,β′=0,β′=10時,圖2 顯示了束縛磁極化子基態(tài)能量E與縱向有效受限長度l2之間的函數(shù)關系.當ωc=10ωLO,l2=1.2,α=8,αR=1,β′=0,β′=20,圖3 描繪了束縛磁極化子基態(tài)能量E與橫向有效受限長度l1之間的關系曲線.當ωc=10ωLO,l1=0.6,α=8,αR=1,β′=0,β′=20,束縛磁極化子基態(tài)能量E對縱向有效約束長度l2的依賴關系如圖4所示.從圖1—圖4 可以看出,束縛磁極化子的能量隨著橫向、縱向有效受限長度的減小而增大.這是因為隨著約束長度的減小,電子的運動范圍變窄,電子熱運動能量和電子聲子相互作用能增大.從圖1—圖4還可以看出,當l1和l2取值較小時,束縛磁極化子基態(tài)能量隨著有效受限長度的減小迅速增加,說明量子約束效應取決于有效受限長度的取值范圍,也就是說,有效受限長度越小量子約束效應越明顯.

從圖1—圖4 可見,束縛磁極化子的基態(tài)能量分裂成幾個分支,由于電子具有自旋磁矩和軌道磁矩,磁矩的方向和空間取向是量子化的,因此,能級在磁場下發(fā)生分裂,由磁場引起的能級分裂是Zeeman 分裂.半導體中電子自旋性質不僅與其自身磁矩有關,而且還與其軌道運動有關,如果晶體結構的反演對稱性被破壞,即使沒有外加磁場的影響,能量也會發(fā)生分裂.在窄禁帶半導體中,Rashba自旋軌道分裂主要是由結構反演不對稱引起的.此外,自旋-軌道耦合引起的Rashba 自旋軌道分裂在窄禁帶半導體中更為明顯.當磁場較弱時,從圖1和圖2 可以看出,Rashba 效應在分裂中占據(jù)主導地位.在強磁場下,從圖3 和圖4 可以看出,Zeeman效應在分裂中占據(jù)主導地位.

圖1 取固定值ωc=1ωLO,l2=1.2,α=8,αR=1,當庫侖束縛勢β′ 取不同值時,束縛磁極化子基態(tài)能量E 與橫向有效受限長度l1 之間的關系曲線Fig.1.For fixedωc=1ωLO,l2=1.2,α=8,αR=1,the relation of bound magnetopoloran ground state enegergy E with the transverse effectiveconfinement length l1 at different Coulomb bound potential β′.

圖2 取固定值ωc=1ωLO,l1=0.6,α=8,αR=1,當庫侖束縛勢β′ 取不同值時,束縛磁極化子基態(tài)能量E 與縱向有效受限長度l2 之間的關系曲線Fig.2.For fixedωc=1ωLO,l1=0.6,α=8,αR=1,the relation of bound magnetopoloran ground state enegergy E with the longitudinal effectiveconfinement length l2 at different Coulomb bound potential β′.

圖3 取固定值ωc=10ωLO,l2=1.2,α=8,αR=1,當庫侖束縛勢β′取不同值時,束縛磁極化子基態(tài)能量E 與橫向有效受限長度l1 之間的關系曲線Fig.3.For fixedωc=10ωLO,l2=1.2,α=8,αR=1,the relation of bound magnetopoloran ground state enegergy E with the transverse effective confinement length l1 at different Coulomb bound potential β′.

圖4 取固定值ωc=10ωLO,l1=0.6,α=8,αR=1,當庫侖束縛勢β′ 取不同值時,束縛磁極化子基態(tài)能量E 與縱向有效受限長度l2 之間的關系曲線Fig.4.For fixedωc=10ωLO,l1=0.6,α=8,αR=1,the relation of bound magnetopoloran ground state enegergy E with the longitudinal effectiveconfinement length l2 at different Coulomb bound potential β′.

取固定值l1=0.4,l2=1.2,α=8,αR=0.5,β′=0,β′=20,圖5 展示了束縛磁極化子基態(tài)能量與磁場回旋共振頻率之間的函數(shù)關系.由圖5 可見,當ωc=0 時,Zeeman 分裂是零.然而,在零磁場下,Rashba 自旋軌道分裂依然存在,這是由電子自旋軌道相互作用引起的電子零場自旋分裂.當磁場回旋共振頻率取較小值時,Rashba 自旋軌道分裂比Zeeman 分裂更明顯,且Rashba 效應在分裂中起主導作用.結果表明,隨著磁場回旋共振頻率的增加,Zeeman 分裂的能量間距增大,而Rashba自旋軌道分裂的能間距基本不變.這一結論表明,在強磁場作用下,Zeeman 效應占主導地位,Rashba效應可以忽略.

圖5 取固定值l1=0.4,l2=0.8,α=8,αR=0.5,當庫侖束縛勢β′ 取不同值時,束縛磁極化子基態(tài)能量E 與磁場回旋共振評率ωc 之間的關系曲線Fig.5.For fixed l1=0.4,l2=0.8,α=8,αR=0.5,the relation of bound magnetopoloran ground state enegergy E with the magnetic field resonance cyclotron frequency ωc at different Coulomb bound potential β′.

在恒定磁場下,從圖1—圖4 還可以看出,Zeeman分裂能間距和Rashba 自旋軌道分裂能間距保持不變.在變化的磁場中,從圖5 可以看出,Zeeman分裂的能間距變化較為顯著,而Rashba 自旋軌道分裂的能間距隨著磁場回旋共振頻率的增大而緩慢增大,這是由于磁場對自旋軌道分裂的影響.從(16)式的第5 項可知,聲子對極化子能量的貢獻為負,聲子的存在降低了粒子的總能量,所以極化子態(tài)比裸電子態(tài)穩(wěn)定.

在圖1 和圖2 中,當l1取固定值時,庫侖束縛β′勢越大,對應的極化子能量越小.在圖3 和圖4中,當l2取固定值時,庫侖束縛勢β′越大,對應極化子能量越小.在圖5 中,當磁場回旋共振頻率ωc取固定值時,庫侖束縛勢β′越大,對應極化子能量越小.各向異性量子點中心存在類氫雜質,電子與類氫雜質之間存在庫侖束縛勢,由于庫侖束縛勢的存在,電子受到新的約束,使較大的電子波函數(shù)相互重疊,導致電子-聲子相互作用增強.由(16)式可知,庫侖束縛勢對極化子的能量貢獻為負值,庫侖束縛勢的存在降低了粒子的總能量,所以束縛極化子比裸電子態(tài)穩(wěn)定.

圖6 展示了當Rashba 參數(shù)αR取不同值時,Rashba 自旋-軌道分裂能ESO 隨磁場回旋共振頻率ωc的變化關系.由圖可知,隨著磁場回旋共振頻率的增加,自旋軌道分裂能增大.當回旋共振頻率ωc取定值時,Rashba 參數(shù)越大,自旋軌道分裂能越大,結果與文獻[21]一致.由Rashba 自旋軌道分裂能的表達式(17d)知,Rashba 參量與自旋軌道分裂能成正比,當αR=0 時，電子自旋-軌道不發(fā)生分裂.

圖6 Rashba 參 量αR 取不同值時,自 旋-軌道分裂能ESO 與磁場回旋共振頻率ωc 之間的關系曲線Fig.6.Change of spin-orbit splitting energy ESO with the magnetic field resonance cyclotron frequencyωcat different Rashba parameter αR.

4 結論

采用Pekar 變分方法研究了各向異性量子點中束縛磁極化子的Rashba 效應和Zeeman 效應,通過理論推導,得到束縛磁極化子基態(tài)能量的表達式.分別討論了束縛磁極化子基態(tài)能量與橫向有效受限長度、縱向有效受限長度、磁場回旋共振頻率及庫侖束縛勢的關系.在強、弱磁場下,對Rashba效應和Zeeman 效應對束縛磁極化子性質的影響做了比較.當有效受限長度取值較小時,束縛磁極化子的能量隨有效受限長度的減小而迅速增加,體現(xiàn)了新奇的量子約束效應.弱磁場下,Rashba 效應在能量分裂中占主導位置;強磁場下,Zeeman 效應在能量分裂中占主導位置.庫侖束縛勢和聲子對極化子的能量貢獻都為負,雜質和聲子的存在降低了極化子的總能量,所以束縛極化子比裸電子態(tài)更穩(wěn)定,能量分裂較裸電子也相對穩(wěn)定.