張解放 俞定國 金美貞

1)(浙江傳媒學(xué)院智能媒體技術(shù)研究院,杭州 310018)

2)(浙江省影視媒體技術(shù)研究重點實驗室,杭州 310018)

3)(浙江傳媒學(xué)院媒體工程學(xué)院,杭州 310018)

4)(浙江傳媒學(xué)院網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)中心,杭州 310018)

我們提出了二維自相似變換理論,以聚焦的(2+1)維NLS 方程(數(shù)學(xué)稱為拋物型的非線性微分方程)為模型,構(gòu)建了它被轉(zhuǎn)變?yōu)榫劢沟?1+1)維NLS 方程的二維自相似變換,深入研究了它的空間怪波激發(fā),發(fā)現(xiàn)除了(1+1)維NLS 方程的Peregrine 孤子、高階怪波和多怪波誘導(dǎo)的線怪波所具有的短壽命特征外,由Akhmediev 呼吸子(AB)和Kuznetsov-Ma 孤子(KMS)誘導(dǎo)的線怪波也具有這種短壽命特征.這與由亮孤子(包括多孤子)誘導(dǎo)的空間相干結(jié)構(gòu)保持形狀和幅值不變的演化特征完全不同.通過圖示展現(xiàn)了本文例舉的各類線怪波的演化規(guī)律.本文揭示的線怪波激發(fā)新機制,有助于提升對高維非線性波動模型的相干結(jié)構(gòu)的新認識.

1 引言

怪波是一種典型的自然現(xiàn)象,可以出現(xiàn)在多種不同的環(huán)境中,研究領(lǐng)域包括流體力學(xué)[1-3]、非線性光學(xué)系統(tǒng)[4,5]、等離子體[6,7]、玻色-愛因斯坦凝聚[8,9]、湍流[10]、微波[11]、超流體[12]、大氣[13]、通訊[14]、毛細管系統(tǒng)[15]、金融系統(tǒng)[16]、顆粒物質(zhì)[17]和磁性材料[18].怪波,源于海洋的粗糙背景下的局部大海浪而得名,具有大波幅、高陡峭、無預(yù)兆、短壽命等顯著特征,是一種能量高度集中的災(zāi)難性波浪,已有大量的實測報道[19,20],嚴重威脅船舶的航行安全和海洋結(jié)構(gòu)物的運作穩(wěn)定.

Peregrine 在(1+1)維(one spatial dimensions and one temporal dimension)非線性薛定諤方程(1DNLSE)中首先發(fā)現(xiàn)一種時空雙重局域的新型Peregrine 孤子(PS)[21],驗證了“來無影去無蹤”特征,因此將PS 作為怪波的原型成為共識,自然將1DNLSE 作為產(chǎn)生怪波的一個理想模型.Akhmediev教授等指出1DNLSE 的怪波是一種非奇異的有理形式解,是Akhmediev 呼吸子(AB)[22]和Kuznetsov-Ma 孤子(KMS)[23,24]的極限情形,并相繼發(fā)現(xiàn)了NLS 方程的高階怪波和多怪波解[25-31].

怪波的奇異特征、獨特物理機制和有價值應(yīng)用背景,一直是學(xué)術(shù)界的研究熱點.盡管在開放的海洋中怪波是危險和不受歡迎的,但在光學(xué)中卻是有用的,為產(chǎn)生峰值能量集中的強大超短脈沖開辟了途徑.近20年來,關(guān)于怪波的研究既有豐富的理論成果[32-41],又有不斷豐富的實驗驗證[42-48].值得指出,對二維空間怪波的認識和表征相比較一維空間怪波似乎少的多,因此尋求二維空間的非線性演化模型的怪波激發(fā)仍然引起學(xué)者的強力興趣.最近我們建立一種自相似變換方法,得到了非自治KP 方程有理函數(shù)表示的二維單、雙、三怪波解[49]和Fokas 系統(tǒng)的二維怪波激發(fā)[50].本文進一步發(fā)展自相似變換理論,以(2+1)維NLS方程[51]為模型,構(gòu)建了它的二維自相似變換,深入研究了它的線怪波激發(fā),發(fā)現(xiàn)由AB 和KMS 誘導(dǎo)的空間相干結(jié)構(gòu)與PS 誘導(dǎo)的空間一樣相干結(jié)構(gòu)是線怪波,具有短壽命特征.而由孤子(包括多孤子)誘導(dǎo)的空間相干結(jié)構(gòu)是線孤子,保持形狀和幅值不變.

2 二維自相似變換理論

(2+1)維(two spatial dimensions and one temporal dimension)NLS 方程(2DNLSE)具有如下無量綱形式[52]

其中α,β和γ是實常數(shù),ψ=ψ(x,y,t)是復(fù)函數(shù).如果α＞0,2DNLSE(1)在x方向被說為聚焦的或吸引的;如果α＜0時,2DNLSE(1)在x方向被被說為散焦的或排斥的.類似地,β的符號導(dǎo)致在y方向是聚焦或散聚焦的.如果αβ ＜0,2DNLSE(1)稱為雙曲型方程;如果αβ ＞0,2DNLSE(1)稱為橢圓型方程.橢圓型2DNLSE(1)可以作為描述模擬光脈沖在光纖中[53]的傳播、等離子體[54]中的Langmuir 波以及玻色-愛因斯坦凝聚[55,56]等模型;雙曲型2DNLSE 可以作為描述深水中的重力波[57]、等離子體中的回旋波[58]和平面波導(dǎo)中的光波等模型[59,60].

為了研究方程(1)的怪波解,我們引入了下列相似變換[61]

其 中ρ(t),?(ξ,τ),φ(x,y,t)和ξ=ξ(x,y,t),τ=τ(t)分別是指定變量的待定函數(shù).將(2)式代入方程(1)導(dǎo)出

若ρ(t),ξ(x,y,t),τ(t),φ(x,y,t)滿足下列關(guān)系

那么(3)式就可轉(zhuǎn)化為標準的(1+1)維非線性薛定諤方程

從(4)式和(5)式可假定相似變量ξ(x,y,t)和φ(x,y,t)具有如下形式:

其中κ(t),ι(t),ω(t),a1(t),a2(t),b1(t),b2(t),c(t),都是變量t的待定實函數(shù).考慮到 (11)式和(12)式,從(5)式和(6)式可以求得

由(8)式和(9)式,我們分別得到

考慮到ρ0是一個常數(shù),要求(18)式成立,存在以下兩類情況.

(i)當α=β=λ時,則可得到

值得說明,我們之所以把方程(1)通過自相似變換轉(zhuǎn)化到方程(10),在于方程(10)已有諸多的解析解研究成果,諸如行波解、亮孤子解、暗孤子解、呼吸子解和有理數(shù)解等.下面我們主要研究空間怪波激發(fā),并限定討論α,β,γ符號相同的情形.

3 線怪波激發(fā)

這里我們直接基于已知(1+1)維NLS 方程(10)的相關(guān)相干局域結(jié)構(gòu),討論(2+1)維NLS方程(1)線怪波激發(fā).考慮到(19)—(22)式比(23)—(26)式更有一般性.本節(jié)我們僅討論帶有(19)—(22)式的自相似變換(2)式下的情形,并取ξ0=τ0=φ0=0.

3.1 PS 誘導(dǎo)的線怪波

文獻[62]中,已知(1+1)維NLS 方程(10)的有理多項式解φ(ξ,τ)具有如下基本形式:

其中n∈N表示解的階數(shù).不同階的怪波具有不同的Gn(ξ,τ),Hn(ξ,τ),Dn(ξ,τ),越高階的怪波,有理多項式的形式更復(fù)雜.

基于自相似變換(2)和(19)—(22)式和(1+1)維NLS 方程(10)的一階怪波[62],即PS,我們導(dǎo)出(2+1)維NLS 方程(1)的一階線怪波

其 中ξ(x,y,t),τ(t),φ(x,y,t),ρ(t)由(19)—(22)式給出.

圖1 展示了(2+1)維NLS 方程(1)的一階線怪波(2)隨傳播變量t的演化圖,圖中的自由參數(shù)選為λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1.可見,一階線怪波在 (x,y)-平面上呈現(xiàn)出類似線孤子,可稱為線怪波,但與線孤子不同,它大振幅、短壽命顯著特征.

圖1 一階單線怪波(28)在 (x,y) -平面上隨t 的演化圖:(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5,自由參數(shù)選取為 α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1Fig.1.Evolution plots of the first-order single line-rogue wave (28)with the t on the (x,y) -plane.(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5.The free parameters are chosen as α=β=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1.

3.2 二階怪波誘導(dǎo)的線怪波

基于自相似變換(2)與(19)—(22)式和(1+1)維NLS 方程(10)的二階怪波[28],我們導(dǎo)出(2+1)維NLS 方程(1)的二階線怪波

表達式中G2,H2,D2分別為:

其中ξ,τ,φ,ρ由(19)—(22)式給出.

圖2 展示了(2+1)維NLS 方程(1)的二階線怪波解(29)隨傳播變量t的演化圖,自由參數(shù)選為自由參數(shù)選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,ξd=τd=0.從圖2 可見,二階線怪波和一階線怪波的特征也類似,但幅值更大、局域性更強.至于(2+1)維NLS 方程(10)的更高階怪波,可以同理討論,限于篇幅從略.

圖2 二階單線怪波(29)在 (x,y) -平面上隨 t 的演化圖:(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5,自由參數(shù)選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,ξd=τd=0Fig.2.Evolution plots of the second-order single line-rogue wave (29)with the t on the (x,y) -plane.(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5.The free parameters are chosen as α=β=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,ξd=τd=0.

3.3 怪波簇誘導(dǎo)的多線怪波

我們知道怪波簇(rogue wave cluster)是(1+1)維NLS 方程(10)的一些特殊高階怪波.其本質(zhì)是高階怪波可以分解為一系列低階PS.這些低階PS 在 (ξ,τ)-平面上相互聯(lián)系并相互作用,形成各種各樣的怪波簇結(jié)構(gòu),譬如著名的怪波三連體、環(huán)形怪波簇和三角怪波級聯(lián)等,已有很多關(guān)于怪波簇的文獻[29,62-64]研究.這里我們僅討論最簡單的怪波簇類,即三PS 怪波簇誘導(dǎo)二線怪波.它們可由選取二級線怪波(29)中的自由參數(shù)ξd,τd不同時為零得到.為了更清楚的呈現(xiàn)相關(guān)特征,我們分別將G2,H2,D2替換為A2,B2,C2[62]

(29)式變?yōu)?/p>

其中ξ,τ,φ,ρ由(19)—(22)式給出,δ,μ自由參數(shù).

圖3 展示了(2+1)維NLS 方程(1)的雙怪波(37)隨t的演化圖,自由參數(shù)選為自由參數(shù)選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,δ=25,μ=100.從圖3 可見,二階單線怪波轉(zhuǎn)化為雙線怪波.至于(2+1)維NLS 方程(10)的其他形態(tài)的怪波簇誘導(dǎo)的多線怪波,可以類似討論,限于篇幅從略.

圖3 雙線怪 波(37)在 (x,y) -平面上隨 t 的演化圖:(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5,自由參數(shù)選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,δ=25,μ=100Fig.3.Evolution plots of the double line-rogue wave (37)with t on the (x,y) -plane.(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5.The free parameters are chosen as α=β=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,δ=25,μ=100.

3.4 AB 誘導(dǎo)的多線怪波

基于相似變換(2)與(19)—(22)式和(1+1)維NLS 方程(10)的Akhmediev 呼吸子解[65],可以導(dǎo)出(2+1)維NLS 方程(1)的多線怪波

其中ξ,τ,φ,ρ由(19)—(22)式給出,a＜0.5是一個正的參數(shù),B=[8a(1-2a)]1/2,ω=2(1-2a)1/2.

圖4 展示了由(1+1)維NLS 方程(1)Akhmediev 呼吸子誘導(dǎo)(2+1)維NLS 方程(1)的多線怪波隨變量t的演化圖,圖中的自由參數(shù)選為自由參數(shù)選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,a=0.45.這種情況下,參數(shù)a決定多線怪波的數(shù)目,隨a取值趨近 1/2,就轉(zhuǎn)變成一階單線怪波.

圖4 多線怪波(38)在 (x,y) -平面上隨 t 的演化圖:(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5,自由參數(shù)選取為α=β=λ=1,γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,a=0.45Fig.4.Evolution plots of the multi-line rogue wave (38)with t on the (x,y) -plane.(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5.The free parameters are chosen as α=β=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,a=0.45.

3.5 KMS 誘導(dǎo)的單線怪波

基于相似變換(2)與(19)—(22)式和(1+1)維NLS 方程(10)的Kuzenetov-Ma 孤子解[65],可以導(dǎo)出(2+1)維NLS 方程(1)的單線怪波其中ξ,τ,φ,ρ由(19)—(22)式給出,1 ≥a ＞0.5是一個正的參數(shù),A=i[8a(2a-1)]1/2,Ω=2i(2a-1)1/2.

圖5 展示了由(1+1)維NLS 方程(10)的Kuzenetov-Ma 孤子誘導(dǎo)的(2+1)維NLS 方程(1)的單線怪波在x-y平面上的演化圖,自由參數(shù)選為α=β=1,γ=2,κ0=-a0=b0=1,a=0.8.這種情況下自由參數(shù)a的取值不影響單線怪波的形態(tài),但對線怪波的幅值有影響.

圖5 線怪波(39)在 (x,y) -平面上隨 t 的演化圖 (a) t=-3,(b) t=0,(c) t=5,自由參數(shù)選取為α=β=λ=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,a=0.45Fig.5.Evolution plots of the line rogue waves (39)with t on the (x,y) -plane.(a) t=-3 ;(b) t=0 ;(c) t=5.The free parameters are chosen as α=β=1, γ=2,κ0=ι0=-a0=b0=1,a=0.45.

4 討論和結(jié)語

為了比較,基于(1+1)維NLS 方程(10)的單亮孤子和自相似變換(2)式及(19)—(22)式,我們給出(2+1)維NLS 方程(1)的單線孤子

其中ξ,τ,φ,ρ由(19)—(22)式給出,κ,ι是自由參數(shù).可以發(fā)現(xiàn)(1+1)維NLS 方程的亮孤子(40)誘導(dǎo)的線孤子具有保持形狀和幅值不變的演化特征(圖形討論從略),這和我們討論的(1+1)維NLS方程的PS、AB、KM 和其他高階怪波誘導(dǎo)的單(包括雙、多)線怪波所具有的短壽命特征完全不同.在(1+1)NLS 模型中AB、KM 是一類時間或空間周期性演化的孤子,它們的極限形態(tài)就是PS.但在(2+1)維NLS 方程中可以作為誘導(dǎo)線怪波激發(fā)的原型,這為討論高維非線性模型的怪波問題提供了一個有啟迪的途徑.

值得指出,我們給出(2+1)維NLS 方程的自相似變換(2)式,其系數(shù)α,β,γ在滿足(22)式或(26)式下可以自由選取,因此可以討論包括聚焦(拋物)或散焦(雙曲)型的(2+1)維NLS 方程的怪波激發(fā).鑒于在(1+1)維情形,只有聚焦的(1+1)維 NLS 方程才存在怪波激發(fā),深入研究散焦的高維模型顯然有很好的理論價值和實際應(yīng)用,相關(guān)的研究進行中.

總之,本文以(2+1)維NLS 方程為模型,發(fā)展自相似變換理論,構(gòu)建了它的二維自相似變換,深入研究了它的多類線怪波激發(fā),并通過圖示展現(xiàn)了本文例舉的各類線怪波的演化規(guī)律.本文揭示的高維怪波激發(fā)新機制,豐富了我們對怪波的了解,有助于提升對高維非線性波動模型相干結(jié)構(gòu)的新認識.