趙鵬程

(1. 中國煤炭科工集團(tuán) 太原研究院有限公司， 山西 太原 030006；2. 山西天地煤機(jī)裝備有限公司， 山西 太原 030006)

0 引言

在煤礦開采過程中，隨著雨水、附近河流的滲透加上可能發(fā)生的采礦區(qū)與儲水層連通造成的突水現(xiàn)象，大量的積水會聚集在井下，為保障煤礦開采工作的順利進(jìn)行，必須及時將積水排出[1-3]。煤礦排水系統(tǒng)由電動機(jī)、排水水泵、排水管道和井口支撐附件等組成，較常采用的是離心式水泵，在工作過程中，泵源產(chǎn)生的壓力脈動會導(dǎo)致整個管道系統(tǒng)發(fā)生強(qiáng)烈的振動，而泵源脈動頻率與管道本身的固有頻率接近時發(fā)生的共振現(xiàn)象會導(dǎo)致振動故障的發(fā)生，造成管道破裂、泄漏等問題[4-6]。目前針對排水管道系統(tǒng)的研究主要集中在提高排水效率清洗管道水垢以及排水管道的設(shè)計方面，對管道故障方面的研究較少。張世斌等[7]利用有限元分析進(jìn)行了深井排水系統(tǒng)的疲勞壽命研究，建立了排水管路的三維模型并進(jìn)行了靜載分析和安全性評價。趙福隆等[8]建立了排水管道的有限元模型，基于有限元分析得到了固有頻率和振型，驗證了管道穩(wěn)定性?？軓╋w[9]采用水錘防護(hù)理論，建立了波動數(shù)學(xué)模型，研究了礦井排水系統(tǒng)中的管路振動問題?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)對排水管道振動問題的研究方向存在欠缺，因此研究煤礦排水管道系統(tǒng)的振動問題，建立準(zhǔn)確的排水管道動力學(xué)模型，對煤礦開采工作具有重要的工程應(yīng)用價值。

1 排水管道系統(tǒng)有限元建模

對于泵源激勵下的礦井排水管道系統(tǒng)研究，需要同時考慮管道橫向彎曲和擺動振動，因此首先推導(dǎo)管道的振動微分方程，并引入反映單元位移狀態(tài)的形函數(shù)構(gòu)建振動有限元模型，最后通過單元矩陣組集得出礦井排水管道的整體剛度矩陣。

1.1 振動微分方程的構(gòu)建

本文采用Timoshenko梁單元對管道系統(tǒng)進(jìn)行有限元離散，其中第k個梁單元示意圖如圖1所示，梁單元有2個節(jié)點(diǎn)(i和j)，每個節(jié)點(diǎn)包含2個自由度，其中wi、θyi、wj和θyj分別表示oxyz局部坐標(biāo)系下兩節(jié)點(diǎn)的橫向位移和轉(zhuǎn)角位移，則單元節(jié)點(diǎn)位移向量qe可以定義為：

(1)

圖1 第k個梁單元

第k個Timoshenko梁單元的勢能U和動能T分別為：

(2)

(3)

式中：ρ、l和A分別為單元的密度、長度和截面面積。Iy代表關(guān)于oy的截面慣性矩；E和G分別代表楊氏模量和剪切模量，κz代表關(guān)于z軸的剪切系數(shù)

(4)

(5)

1.2 引入單元形函數(shù)

為了求解偏微分方程，引入形函數(shù)[11]，具體如下：

假設(shè)橫向位移w和轉(zhuǎn)角位移θy(x)均采用3次多項式進(jìn)行插值，則有

(6)

(7)

根據(jù)位移邊界條件結(jié)合插值多項式[12]，最終可得：

(8)

且Nw1(x)、Nw2(x)、Nw3(x)、Nw4(x)、Nθy1(x)、Nθy2(x)、Nθy3(x)和Nθy4(x)的表達(dá)式如下：

(9)

1.3 梁單元的剛度和質(zhì)量矩陣

將形函數(shù)代入到偏微分運(yùn)動方程中得到單元質(zhì)量及剛度矩陣為：

(10)

(11)

利用有限元法對單元矩陣進(jìn)行組集，最終獲得排水管道的質(zhì)量矩陣及剛度矩陣，其動力學(xué)方程可以表示為：

(12)

式中：M、C和K分別代表整體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，F(xiàn)u是外激勵向量。

2 管道的固有特性分析

2.1 管道模態(tài)試驗

針對煤礦排水系統(tǒng)，選取一段管道進(jìn)行研究，試驗臺管道系統(tǒng)的材料是Q345，如圖2所示，管道外徑為32.8 mm，內(nèi)徑為30 mm，具體參數(shù)如表1所示。為獲取管道固有頻率進(jìn)行模態(tài)錘擊試驗，用加速度傳感器采集信號。采用多點(diǎn)激勵、單點(diǎn)拾振的方式來進(jìn)行試驗測試，關(guān)于信號采集系統(tǒng)的設(shè)置具體如下：設(shè)置激勵方向和響應(yīng)方向，建立每個信號通道與試驗測點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，其中力錘信號為觸發(fā)信號，為了消除噪聲影響，每組采用兩次平均，得到加速度頻響函數(shù)如圖3所示。

表1 管道材料及幾何參數(shù)

(a) 實(shí)驗管道

(b) 仿真管道

圖3 管道系統(tǒng)試驗頻響函數(shù)

2.2 管道模態(tài)分析

基于有限元理論，根據(jù)哈密頓理論和能量原理得到的質(zhì)量和剛度矩陣進(jìn)行仿真計算，建立了管道模型，由于實(shí)際應(yīng)用中的排水管道系統(tǒng)一段與泵連接，所以將該段管的邊界調(diào)節(jié)設(shè)置為一段固支一段自由，計算得到前5階固有頻率和模態(tài)振型，圖4為振型對比圖，與實(shí)驗得到的固有頻率對比如表2所示。

fn1試驗仿真fn2試驗仿真fn4試驗仿真fn5試驗仿真

圖4 振型圖對比

由表中數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn)，仿真數(shù)據(jù)與實(shí)驗數(shù)據(jù)的固有頻率誤差較小，而且振型圖吻合較好，說明所建模型能夠較為準(zhǔn)確地反應(yīng)真實(shí)管道的振動狀態(tài)，可以進(jìn)一步為管道振動的研究提供指導(dǎo)性作用；而且發(fā)現(xiàn)煤礦排水管道的固有頻率均處于低階范圍，應(yīng)注意避免與泵源發(fā)生共振，避免管道的疲勞故障、管道泄漏等安全隱患。本文電動機(jī)的轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，故得泵源頻率fb=n/t=1 500 r/min /60 s=25 Hz。

3 結(jié)論

基于鐵木辛柯梁理論建立了礦井排水管道系統(tǒng)的動力學(xué)模型，基于哈密頓變分原理得到了排水管道的振動微分方程，由有限元方法得出了質(zhì)量和剛度矩陣，較全面地考慮了模型的適用性，并通過試驗驗證了模型的有效性。提出了一種煤礦排水管道系統(tǒng)模態(tài)分析的方法，首先對管道進(jìn)行了實(shí)驗，獲得頻響函數(shù)，通過辨識峰值得到了實(shí)驗的固有頻率。同時利用有限元方法建立了管道有限元模型，得到仿真的頻率結(jié)果，最后結(jié)合實(shí)驗和仿真驗證了所建模型的正確性，得到了管道系統(tǒng)的固有頻率和振型。本文研究結(jié)果對于煤礦排水管道系統(tǒng)的振動故障研究方面具有指導(dǎo)意義。