辛高強(qiáng)，董麗萍

（河北工程大學(xué) 機(jī)械與裝備工程學(xué)院，河北邯鄲 056038）

0 引言

粘箱機(jī)引出輥是全自動(dòng)粘箱機(jī)動(dòng)力部中的重要組成部件。一對(duì)引出輥?zhàn)鰢Ш线\(yùn)動(dòng)，對(duì)通過(guò)輥縫的紙板進(jìn)行擠壓，達(dá)到對(duì)紙板粘接處加固的目的。瓦楞紙板引出輥的轉(zhuǎn)速高低決定了其振動(dòng)幅度和頻率大小，所以對(duì)引出輥進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析研究很有意義[1]。引出輥在產(chǎn)生共振時(shí)的變形最大，其轉(zhuǎn)速被稱為臨界轉(zhuǎn)速，此時(shí)容易損壞引出輥。本文以全自動(dòng)粘箱機(jī)動(dòng)力部中的引出輥為研究對(duì)象，用有限元分析的方法獲得引出輥的各階振型和頻率，然后求解出引出輥的臨界轉(zhuǎn)速，通過(guò)研究分析粘箱機(jī)全速運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)下瓦楞紙板引出輥是否會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，何種轉(zhuǎn)速下會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象。通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)使得瓦楞紙板引出輥在滿足強(qiáng)度、剛度并提高工作轉(zhuǎn)速的前提下能夠避免共振，實(shí)現(xiàn)其低振幅、高頻率且結(jié)構(gòu)輕量化的研究目的。

1 瓦楞紙板引出輥的三維參數(shù)化模型建立

粘箱機(jī)引出輥由一對(duì)深溝球軸承支撐，引出輥全長(zhǎng) 1 320 mm，最小直徑 45 mm，最大直徑80 mm，從左向右各個(gè)階梯軸尺寸：L1=L9=50 mm；D1=D9=45 mm；L2=L8=155 mm；D2=D8=60 mm；L3=L5=L7=290 mm；D3=D5=D7=80 mm；L4=L6=20 mm；D4=D6=60 mm。如圖1所示。

圖1 引出輥的尺寸參數(shù)Fig.1 Size parameters of drawing-off roller

引出輥的材料選取45CrNiMoVA，材料屬性如表1所示。

表1 引出輥材料的特征參數(shù)Tab.1 Characteristic parameters of drawing-off roller material

為了后期能對(duì)參數(shù)進(jìn)行更方便的優(yōu)化，先在SOLIDWORKS中建立相對(duì)應(yīng)的引出輥參數(shù)化三維模型，然后導(dǎo)入到Workbench中對(duì)參數(shù)化模型進(jìn)行相應(yīng)的模態(tài)化分析。首先利用Mesh命令對(duì)參數(shù)化模型的網(wǎng)格大小進(jìn)行整體劃分，然后將網(wǎng)格參數(shù)設(shè)置到10 mm左右，并針對(duì)模型的復(fù)雜部分進(jìn)行細(xì)微網(wǎng)格的劃分，添加對(duì)應(yīng)的約束。劃分網(wǎng)格后的引出輥模型如圖2所示。

圖2 引出輥網(wǎng)格劃分模型Fig.2 Meshing model of drawing-off roller

2 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)

模態(tài)分析是針對(duì)物體的振型和頻率進(jìn)行數(shù)值研究、分析的方法。在動(dòng)力學(xué)研究中，模態(tài)分析是較為簡(jiǎn)單的研究方法，分析結(jié)果可以為以后的多種響應(yīng)分析和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析提供理論基礎(chǔ)和數(shù)據(jù)參考。通過(guò)對(duì)粘箱機(jī)引出輥進(jìn)行模態(tài)分析可以得到其對(duì)應(yīng)的振型和固有頻率，從而進(jìn)一步了解引出輥產(chǎn)生共振和噪聲的原因。在引出輥的模態(tài)分析時(shí)，對(duì)于數(shù)學(xué)模型的建立可以做以下假設(shè)：（1）單元?jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣不發(fā)生改變；（2）結(jié)構(gòu)中不包括隨時(shí)間變化的載荷[2]。在2個(gè)假設(shè)的前提下建立多自由度彈性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：

3 瓦楞紙板引出輥的模態(tài)分析

Workbench軟件中提供了多種模態(tài)分析方法，在此選用分塊法對(duì)引出輥進(jìn)行相應(yīng)的模態(tài)分析研究[6]。在模態(tài)理論中，一般低階頻率產(chǎn)生的共振要比高階頻率產(chǎn)生的共振對(duì)引出輥的振動(dòng)影響更大。所以針對(duì)引出輥振型的前6階模態(tài)進(jìn)行分析研究，根據(jù)研究結(jié)果判斷引出輥的結(jié)構(gòu)是否滿足要求，是否會(huì)發(fā)生共振，其容易發(fā)生疲勞破壞的危險(xiǎn)段處于哪個(gè)部位。

在實(shí)際工況下，瓦楞紙板引出輥的兩端支撐為彈性支撐。所以通過(guò)Workbench當(dāng)中的彈性支撐（Elastic support）命令對(duì)引出輥的兩端部位施加彈性支撐約束，然后約束沿X、Y、Z軸的水平移動(dòng)，以及限制X和Y兩個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)，釋放Z軸（軸線方向）的旋轉(zhuǎn)自由度，最后對(duì)引出輥整體施加繞Z軸的角速度（ω=15.7 rad/s）和由于自重帶來(lái)的沿X軸正向的重力加速度（g=9.806 6 m/s2）[7]。因?yàn)檩S承的剛度、材料和形狀尺寸等因素影響，很難確定準(zhǔn)確的剛度K值大小，又一般彈性約束的數(shù)量級(jí)為 10 MN/m，所以選取剛度 K=10 MN/m。通過(guò)模態(tài)分析模塊對(duì)引出輥進(jìn)行分析，得到在彈性支撐約束下各階的頻率、臨界轉(zhuǎn)速和振型如圖3所示。

圖3 引出輥彈性約束下的前6階模態(tài)特性圖Fig.3 The first six-order modal characteristic diagram under the elastic constraint of the drawing-off roller

根據(jù)下式得到各階模態(tài)的臨界轉(zhuǎn)速n，如表2所示。

表2 彈性支撐約束下的各階頻率、臨界轉(zhuǎn)速和振型Tab.2 The frequency, critical speed and mode shape of each order under the constraint of elastic support

式中 f ——頻率，Hz。

由圖3和表2的模態(tài)分析可知：（1）引出輥在各階固有頻率下振幅較大且容易發(fā)生疲勞破壞的部位。（2）全自動(dòng)粘箱機(jī)的最高工作轉(zhuǎn)速為240 r/min，遠(yuǎn)低于引起共振的轉(zhuǎn)速臨界值[8-9]，所以引出輥正常工作時(shí)不會(huì)發(fā)生共振。因此在合適的條件下可以稍增大軸的旋轉(zhuǎn)速度，實(shí)現(xiàn)高頻率、低振幅的運(yùn)動(dòng)特性，從而提高生產(chǎn)效率。此外由二階和三階振型可知引出輥的中間部位在平面內(nèi)做擺動(dòng)，所以中間部位是引出輥發(fā)生疲勞破壞的危險(xiǎn)位置，為接下來(lái)進(jìn)行的諧響應(yīng)分析和優(yōu)化分析提供了參考[10]。

4 瓦楞紙板引出輥的諧響應(yīng)分析

諧響應(yīng)分析法又稱掃頻分析法或頻響應(yīng)分析法。進(jìn)行諧響應(yīng)分析所施加的載荷為簡(jiǎn)諧載荷，對(duì)于此類載荷特性可以用頻率和振幅進(jìn)行描述。應(yīng)用Workbench當(dāng)中的諧響應(yīng)模塊（Hydrodynamic Response）對(duì)引出輥進(jìn)行相應(yīng)的諧響應(yīng)分析，結(jié)果如圖4所示。

圖4 引出輥的諧響應(yīng)曲線Fig.4 Harmonic response curve of drawing-off roller

由圖4可知，在頻率0～300 Hz范圍內(nèi)的激勵(lì)力作用下，振幅的極大值出現(xiàn)在Y軸方向上，固有頻率為6.4 Hz。結(jié)合表2可以得到，諧響應(yīng)曲線中振幅的峰值集中在引出輥的前三階固有頻率范圍內(nèi)，所以對(duì)于引出輥的優(yōu)化可以重點(diǎn)放在前三階固有頻率范圍內(nèi)。

5 瓦楞紙板引出輥的優(yōu)化設(shè)計(jì)

5.1 優(yōu)化理論

通過(guò)對(duì)引出輥進(jìn)行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析可知，在前兩階固有頻率下引出輥的中間部位振幅比較大。引出輥軸徑的大小同時(shí)決定了軸的剛度和質(zhì)量。頻率與剛度成正比，與質(zhì)量成反比。增加引出輥剛度的同時(shí)結(jié)合輕量化的優(yōu)化思想，在原有尺寸參數(shù)的基礎(chǔ)上考慮滾壓不同規(guī)格瓦楞紙板的需求。所以不改變階梯軸的長(zhǎng)度尺寸，只改變不同軸徑的大小，且對(duì)軸徑相同軸段的軸徑參數(shù)Dx值的變化設(shè)置關(guān)聯(lián)，即Dx值優(yōu)化時(shí)做同等數(shù)值參數(shù)的變化。

優(yōu)化的參數(shù)變量為軸徑的尺寸，其余尺寸不變。約束條件為引出輥轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度大小、軸體受到的重力加速度大小以及兩端軸承處的彈性支承。優(yōu)化目標(biāo)是瓦楞紙板引出輥在滿足強(qiáng)度、剛度條件下提高工作轉(zhuǎn)速、避免共振的同時(shí)，使得質(zhì)量、應(yīng)力和應(yīng)變減小。優(yōu)化程序見圖5。

圖5 引出輥優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.5 Optimization design process of drawing-off roller

5.2 敏感度分析

敏感度是指參數(shù)模型的輸入值對(duì)于輸出結(jié)果的影響程度強(qiáng)弱。敏感度分析主要針對(duì)參數(shù)模型本身的一些屬性，使其在可能的參數(shù)范圍內(nèi)取值，研究和分析這些屬性的變化量對(duì)模型輸出值的影響程度大小。通過(guò)應(yīng)用Workbench對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算得出敏感度，見圖6。

圖6 各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果敏感度Fig.6 The sensitivity of each design parameter to the optimization result

通過(guò)觀察敏感度可知，瓦楞紙板引出輥的質(zhì)量、應(yīng)力和應(yīng)變相對(duì)于結(jié)構(gòu)尺寸敏感程度較大的部位是D2和D3兩處軸徑，對(duì)其他參數(shù)變量的敏感程度趨近于零。說(shuō)明D2和D3兩類參數(shù)變量對(duì)瓦楞紙板引出輥結(jié)構(gòu)的受力影響較大，應(yīng)進(jìn)行優(yōu)化分析，找到較為合理的優(yōu)化結(jié)果。

5.3 多目標(biāo)優(yōu)化分析

選用遺傳算法的理論對(duì)優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行分析。遺傳算法是依靠一定概率統(tǒng)計(jì)對(duì)全局并行隨機(jī)優(yōu)化的搜索算法，比較適合優(yōu)化計(jì)算離散變量[11]。在此采用Ansys Workbench中的多目標(biāo)優(yōu)化模塊（GDO）與遺傳算法（MOGA）相結(jié)合的方法對(duì)引出輥參數(shù)化模型進(jìn)行優(yōu)化分析，得到3組優(yōu)化參數(shù)點(diǎn)，見表3。

表3 多目標(biāo)優(yōu)化參數(shù)點(diǎn)Tab.3 Multi-objective optimization parameter points

通過(guò)對(duì)比，再結(jié)合滿足強(qiáng)度、剛度要求前提下實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化的思想，選取優(yōu)化參數(shù)點(diǎn)1為目標(biāo)。優(yōu)化前后引出輥的各參數(shù)對(duì)比結(jié)果見表4。

表4 優(yōu)化前后的參數(shù)對(duì)比Tab.4 Comparison of parameters before and after optimization

對(duì)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)進(jìn)行模型的建立并再進(jìn)行諧響應(yīng)分析，結(jié)果如圖7所示。

圖7 優(yōu)化后的諧響應(yīng)曲線Fig.7 Harmonic response curve after optimization

由圖7可知在X軸上的振幅峰值出現(xiàn)在頻率78 Hz時(shí)，Y、Z軸上的振幅趨近于零。代入式（6）可得到的臨界轉(zhuǎn)速為 4 620 r/min，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于粘箱機(jī)的最高工作轉(zhuǎn)速240 r/min，所以優(yōu)化后結(jié)構(gòu)很安全。即使增加工作轉(zhuǎn)速也不會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，且結(jié)構(gòu)總質(zhì)量、最大等效應(yīng)力和最大彈性應(yīng)變都有所減小。

6 結(jié)語(yǔ)

（1）應(yīng)用Workbench軟件對(duì)瓦楞紙板引出輥彈性約束下的參數(shù)模型進(jìn)行模態(tài)分析，得到引出輥在各階固有頻率下振幅較大且容易發(fā)生疲勞破壞的部位。

（2）通過(guò)對(duì)瓦楞紙板引出輥進(jìn)行諧響應(yīng)分析得到在不同坐標(biāo)軸上的振幅峰值對(duì)應(yīng)的頻率大小。對(duì)頻率所在的階次進(jìn)行優(yōu)化分析，通過(guò)優(yōu)化尺寸參數(shù)，得到較為合適的瓦楞紙板引出輥結(jié)構(gòu)特征。

（3）利用Workbench的優(yōu)化工具與多目標(biāo)遺傳算法相結(jié)合對(duì)瓦楞紙板引出輥的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化分析，獲得合理的設(shè)計(jì)參數(shù)。優(yōu)化后等效應(yīng)力極大值減少33.52%，彈性應(yīng)變極大值減少30.79%，結(jié)構(gòu)總質(zhì)量減少11.97%，實(shí)現(xiàn)了在提高引出輥綜合性能的基礎(chǔ)上結(jié)構(gòu)輕量化的目的。

（4）對(duì)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)再進(jìn)行諧響應(yīng)分析。優(yōu)化尺寸參數(shù)后的瓦楞紙板引出輥的固有頻率有所增加，但即使增加工作轉(zhuǎn)速也不會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，所以優(yōu)化后的機(jī)器可以適當(dāng)提高工作轉(zhuǎn)速。在提高生產(chǎn)效率的同時(shí)也達(dá)到了高頻率、低振幅的目的。

（5）利用遺傳算法和有限元軟件相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對(duì)瓦楞紙板引出輥的優(yōu)化設(shè)計(jì)。該方法對(duì)解決非線性優(yōu)化問題有顯著優(yōu)勢(shì)，為后續(xù)粘箱機(jī)動(dòng)力部結(jié)構(gòu)的優(yōu)化提供參考。