郭 紅 蔣雪晴 張澤斌

(鄭州大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院 河南鄭州 450001)

圓錐動(dòng)靜壓軸承能夠同時(shí)承受徑向力和軸向力，且相對于向心軸承和平面推力軸承的組合，具有結(jié)構(gòu)緊湊、穩(wěn)定性好及易于調(diào)整等優(yōu)點(diǎn)，在高速精密轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中應(yīng)用越來越廣泛。但高速圓錐軸承存在摩擦功耗高、油膜溫升劇烈等問題，設(shè)計(jì)階段需要特別注意。方曉麗等[1]用有限元法計(jì)算了具有深淺腔的圓錐動(dòng)靜壓軸承靜動(dòng)特性，并驗(yàn)證了這種軸承形式具有良好的工作穩(wěn)定性。RANA等[2]在不同的半錐角下，采用有限元和伽遼金方法，在迭代中應(yīng)用適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，求解了雷諾方程。GORASSO[3]運(yùn)用遺傳算法和人工蜂群算法，對軸承進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，大大降低了軸承流量和功耗。岑少起等[4-5]建立了有限元-優(yōu)化迭代的計(jì)算模型，以承載力最大作為優(yōu)化目標(biāo)，對淺腔深度、面積、封油邊尺寸進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算，取得了較好的效果。劉建中等[6]用三維的方法研究圓錐動(dòng)靜壓軸承，提出了動(dòng)特性參數(shù)的測定原理和方法并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，測得結(jié)果精度較高。

以上針對圓錐動(dòng)靜壓軸承的研究多限于單一工況，針對圓錐動(dòng)靜壓軸承在實(shí)際應(yīng)用中多工況并存的問題，有必要建立多目標(biāo)優(yōu)化模型。本文作者在圓錐動(dòng)靜壓軸承油膜靜、動(dòng)特性計(jì)算基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)際要求按照重要程度對各優(yōu)化目標(biāo)設(shè)定不同的加權(quán)系數(shù)，建立了同時(shí)考慮單位承載力下功耗、平均溫升和失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的多目標(biāo)優(yōu)化模型，采用有限元和復(fù)合形法聯(lián)立求解并對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析。

1 圓錐動(dòng)靜壓軸承數(shù)學(xué)模型

1.1 控制方程和邊界條件

圖1所示為圓錐動(dòng)靜壓軸承結(jié)構(gòu)示意圖，軸瓦內(nèi)壁均勻開設(shè)4個(gè)油腔，每個(gè)油腔包含深腔和淺腔，深腔起靜壓作用，通過小孔節(jié)流供油；淺腔和封油邊起動(dòng)壓作用。

圖1 圓錐動(dòng)靜壓軸承結(jié)構(gòu)示意Fig 1 Structure of conical hybrid bearing

假設(shè)潤滑油為不可壓縮流體，流動(dòng)為層流，不計(jì)軸徑軸瓦的彈性變形和軸線傾斜，取量綱一化參數(shù)如下：

則量綱一化動(dòng)態(tài)Reynolds方程為

(1)

式中：BM=μ0Ωd2/(psc2)；a為半錐角；r為圓錐軸承展開后的扇形極徑；l為軸承母線長度；c為半徑間隙；d為軸承大端直徑；h為油膜厚度；p為油膜壓力；ps為供油壓力；ε為偏心率；e為偏心距；ε0為靜平衡時(shí)偏心率；Ω為軸徑角速度；Φ為圓錐截面上的角坐標(biāo)。

量綱一化油膜厚度為

(2)

圖2所示為圓錐軸承邊界條件。油膜壓力邊界條件為

圖2 圓錐軸承邊界條件Fig 2 Conical bearing boundary conditions

(3)

深腔流量平衡方程為

(4)

式中：pr,m為第m個(gè)深腔壓力；Γ1為軸承端面邊界；Γ2為第m個(gè)深腔邊界；Γ3為油膜破裂邊邊界；Rj,m為第m個(gè)深腔節(jié)流器液阻;qout、qin、qcout、qcin分別為第m個(gè)深腔4個(gè)方向的流入、流出流量參數(shù)。

1.2 靜態(tài)特性參數(shù)

圓錐動(dòng)靜壓軸承有x，y，z3個(gè)方向的油膜力：

(5)

徑向承載力：

(6)

摩擦功耗為

(7)

端泄流量：

(8)

泵功耗：

(9)

平均溫升：

(10)

式中：μ為潤滑油的動(dòng)力黏度；Cv為潤滑油比熱容；ρ為潤滑油密度。

1.3 動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)定性參數(shù)

圓錐動(dòng)靜壓軸承油膜有kij,bij(i，j=x，y，z)共18個(gè)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，采用小擾動(dòng)法求解動(dòng)態(tài)Reynolds方程得到。將圓錐軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡化為圖3所示的單質(zhì)量剛性對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，量綱一化動(dòng)力學(xué)方程為

圖3 圓錐動(dòng)靜壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)Fig 3 Conical hybrid bearing-rotor system

(11)

其中系數(shù)A～K是剛度和阻尼系數(shù)的線性組合。使用失穩(wěn)速度來評價(jià)系統(tǒng)穩(wěn)定性，那么系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的特征方程可以寫成：

α0v6+α1v5+α2v4+α3v3+α4v2+α5v+α6=0

(12)

其中αi(i=0～6)為特征方程的系數(shù)，可用轉(zhuǎn)子質(zhì)量、油膜剛度、阻尼系數(shù)表示。根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)的充要條件是：

(13)

通過迭代計(jì)算，直到滿足式(13)時(shí)求解出失穩(wěn)轉(zhuǎn)速。具體求解方法可參考文獻(xiàn)[7]。

2 圓錐動(dòng)靜壓軸承多目標(biāo)優(yōu)化

圓錐動(dòng)靜壓軸承多用于高轉(zhuǎn)速、高精密旋轉(zhuǎn)機(jī)械裝備中，對油膜性能要求很高，在保證油膜具有一定的承載力和穩(wěn)定性的同時(shí)，還需限制摩擦功耗和溫升[8-10]。在不同工況條件下，各指標(biāo)權(quán)重亦不同。例如，用于精密機(jī)床的軸承，應(yīng)防止溫升過高引起潤滑油變稀及軸瓦熱變形；而對于透平膨脹機(jī)組轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上的軸承，由于工作轉(zhuǎn)速較高，要防止油膜震蕩引發(fā)的嚴(yán)重后果[11-13]。綜合考慮上述問題，以單位承載力下功耗最小、溫升最低及失穩(wěn)轉(zhuǎn)速最高做為目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行量級統(tǒng)一后，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)描述為

(14)

將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行線性規(guī)劃，轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化問題：

(15)

影響圓錐動(dòng)靜壓軸承油膜特性的參數(shù)較多，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在不改變整體結(jié)構(gòu)尺寸和油腔數(shù)量的前提下，淺腔包角θq(°)、封油邊寬度Z1、Z2(mm)、半錐角α(°)的變化對優(yōu)化目標(biāo)影響顯著，設(shè)計(jì)中取為優(yōu)化參數(shù)。

優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的取值范圍：

3 計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)及優(yōu)化變量

表1所示為圓錐動(dòng)靜壓軸承初始結(jié)構(gòu)參數(shù)。

供油壓力為2 MPa，主軸轉(zhuǎn)速n分別取15 000、20 000 r/min對圓錐軸承進(jìn)行復(fù)合形法優(yōu)化[14]。其中，方案一較為均衡，ζ1、ζ2、ζ3均取值為1；方案二對目標(biāo)函數(shù)2控制嚴(yán)格，ζ1、ζ2、ζ3取值分別為ζ1=1，ζ2=2，ζ3=1。有限元及復(fù)合形法優(yōu)化聯(lián)立求解思路如圖4所示。

圖4 圓錐動(dòng)靜壓軸承優(yōu)化計(jì)算流程Fig 4 Optimization calculation flow of conical hybrid bearing

3.2 優(yōu)化結(jié)果分析

表2給出了主軸轉(zhuǎn)速n=15 000 r/min，偏心率為0.4時(shí)2種優(yōu)化方案和初始設(shè)計(jì)方案下各個(gè)單目標(biāo)函數(shù)及多目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果。

由表2可知：相對于初始設(shè)計(jì)方案，2種優(yōu)化方案的總優(yōu)化目標(biāo)和各單優(yōu)化目標(biāo)都有所改善，目標(biāo)函數(shù)1和目標(biāo)函數(shù)2得到降低，目標(biāo)函數(shù)3則有所提升；同時(shí)可見，優(yōu)化方案1對于目標(biāo)函數(shù)1的優(yōu)化幅度更大；其中目標(biāo)函數(shù)1降低了43.9%，目標(biāo)函數(shù)2降低了14.6%，目標(biāo)函數(shù)3提升了24.3%。調(diào)整權(quán)重系數(shù)后，優(yōu)化方案2對于目標(biāo)函數(shù)2的優(yōu)化幅度增大；其中目標(biāo)函數(shù)1降低了28.4%，目標(biāo)函數(shù)2降低了25.3%，目標(biāo)函數(shù)3提升了10.6%。

表2 優(yōu)化參數(shù)及優(yōu)化結(jié)果對比

在確定優(yōu)化參數(shù)的基礎(chǔ)上，針對不同工況下各單目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了計(jì)算和比較。

圖5所示為主軸轉(zhuǎn)速分別取15 000、20 000 r/min時(shí)，2種優(yōu)化方案下平均溫升單目標(biāo)函數(shù)隨偏心率的變化規(guī)律?？梢钥闯?，相較于原始方案，優(yōu)化方案1中2種轉(zhuǎn)速下溫升分別平均下降了43.6%和46.6%，而優(yōu)化方案2則分別平均下降了31.02%和34.4%，說明在控制溫升方面2種優(yōu)化方案得到了很好的優(yōu)化效果。

圖5 目標(biāo)函數(shù)1(溫升最低)對比Fig 5 Comparison of objective 1(minimum temperature rise)

圖6 目標(biāo)函數(shù)2(單位承載力下總功耗最小)對比Fig 6 Comparison of objective 2(minimum totalpower consumption per unit capacity)

圓錐動(dòng)靜壓軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析需要先計(jì)算9個(gè)剛度系數(shù)、9個(gè)阻尼系數(shù)，然后計(jì)算失穩(wěn)轉(zhuǎn)速。表3列舉了主軸轉(zhuǎn)速n=15 000 r/min，偏心率為0.1～0.4時(shí)，主要參數(shù)的變化情況。

表3 穩(wěn)定性系數(shù)對比

優(yōu)化方案2中軸承淺腔包角較小，小偏心下油膜剛度較低，故穩(wěn)定性劣于初始設(shè)計(jì)方案；偏心率的增大有利于增強(qiáng)油膜動(dòng)壓效應(yīng)，油膜剛度隨之增加，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速大幅上升，穩(wěn)定性優(yōu)于初始設(shè)計(jì)方案。由圖7可得，優(yōu)化方案1和優(yōu)化方案2在偏心率為0.4時(shí)，Nst分別增加了24.3%和17.3%，由此可見，相較于初始設(shè)計(jì)方案，2種優(yōu)化方案下系統(tǒng)穩(wěn)定性有所提高。

圖7 目標(biāo)函數(shù)3對比Fig 7 Comparison of objective 3

4 結(jié)論

(1)結(jié)合圓錐動(dòng)靜壓軸承數(shù)學(xué)模型，利用復(fù)合形法對軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，當(dāng)半錐角和封油邊寬度明顯減小、淺腔包角減小時(shí)，軸承平均溫升、單位承載力下功耗得到了有效降低，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速得到提高。

(2)單位承載力下功耗、溫升及失穩(wěn)轉(zhuǎn)速均衡控制的優(yōu)化方案1更適用于低溫升、高轉(zhuǎn)速的工況，而對單位承載力下功耗嚴(yán)格控制的優(yōu)化設(shè)計(jì)2則更適合低功耗的設(shè)計(jì)?？梢姡ㄟ^對各優(yōu)化目標(biāo)設(shè)定不同的加權(quán)系數(shù)，可實(shí)現(xiàn)更低溫升、更高轉(zhuǎn)速和更低功耗等設(shè)計(jì)目標(biāo)。