黃建民，仲 君，夏德琛

（揚(yáng)力集團(tuán)股份有限公司，江蘇 揚(yáng)州 225104）

多連桿壓力機(jī)工作可靠，性能優(yōu)良，滑塊工作速度低且平穩(wěn)，能很好地滿足板料拉延成形工藝要求。因此在拉伸加工領(lǐng)域，多連桿壓力機(jī)應(yīng)用廣泛，通過配置傳動桿系，可以靈活實(shí)現(xiàn)多種設(shè)計(jì)要求。通常這些設(shè)計(jì)要求可以歸納為以下三種問題：①滿足預(yù)定的運(yùn)動規(guī)律要求；②滿足預(yù)定的連桿位置要求；③滿足預(yù)定的軌跡位置要求[1]。以往為滿足設(shè)計(jì)要求通常都是采用函數(shù)逼近法，但計(jì)算復(fù)雜，并當(dāng)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)較少時(shí)，逼近精度不高。若采用最優(yōu)化方法對機(jī)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，解析目標(biāo)函數(shù)趨勢，結(jié)果精度高，但需進(jìn)行大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，一般需借助電子計(jì)算機(jī)來完成[2]。隨著計(jì)算機(jī)輔助數(shù)值解法的發(fā)展,特別是MATLAB 軟件的引入,解析綜合法已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[3]。MATLAB 是Mathworks 公司于1982 年推出的一套功能強(qiáng)大的工程計(jì)算軟件。廣泛應(yīng)用于自動控制、機(jī)械設(shè)計(jì)、流體力學(xué)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等工程領(lǐng)域，被譽(yù)為巨人肩上的工具。工程人員通過使用MATLAB 提供的工具箱，可以高效求解復(fù)雜的工程問題[4]。本文主要闡述多連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的思路與方法，包括建立機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使用MATLAB 優(yōu)化工具箱，編寫設(shè)計(jì)系統(tǒng)，計(jì)算所求桿長度，使壓力機(jī)滑塊在多個約束條件下滿足預(yù)定運(yùn)動軌跡。

1 建立機(jī)構(gòu)原理模型

圖1 為該壓力機(jī)的桿系機(jī)構(gòu)簡圖，其中，P1為曲軸中心點(diǎn)，P2為曲柄L2與連桿L3連接點(diǎn)，P3為連桿L3與搖桿連接點(diǎn)，P4為搖桿與機(jī)身連接點(diǎn)，P5為搖桿與短連桿L6連接點(diǎn)，P6為短連桿L6與滑塊連接點(diǎn)。搖桿前段為L5，搖桿后段為L4，搖桿與水平方向夾角為θ4，P1與P4為機(jī)身上的兩點(diǎn)連接線長度L1，其與水平方向夾角為θ1。曲柄L2與水平線夾角為θ2，連桿L3與水平線夾角為θ3。搖桿后段L4與連桿L3夾角為θ5，搖桿前段L5與短連桿L6夾角為θ6，短連桿與垂直方向夾角為θ7。

圖1 機(jī)構(gòu)原理圖

該多連桿為增行程機(jī)構(gòu)，相比普通曲柄壓力機(jī)，在體身尺寸不變的情況下，可以用較小的曲柄偏心獲得更大的行程。壓力機(jī)要求滑塊行程220mm，滑塊距下死點(diǎn)90mm 時(shí)需能承受300kN 的力，滑塊距下死點(diǎn)60mm 時(shí)搖桿處于平行狀態(tài)。根據(jù)機(jī)身結(jié)構(gòu)配置的限制，有部分參數(shù)已給出，以曲軸頸中心點(diǎn)P1為原點(diǎn)，建立笛卡爾坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)Pn 的橫縱坐標(biāo)為（Xn,Yn），滑塊中心P6橫坐標(biāo)X6=-550，機(jī)身點(diǎn)P4橫坐標(biāo)X4=250。搖桿總長為800mm 即L5+L4=800mm，曲柄長為55mm。其中機(jī)架間距L1連桿L3，搖桿后段L4均為設(shè)計(jì)變量，需要通過合理設(shè)計(jì)L1，L3與L4的長度來達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

本案例采用MATLAB 提供的優(yōu)化工具箱中“函數(shù)模塊fmincon”來實(shí)現(xiàn)三個未知桿長的設(shè)計(jì)。該函數(shù)模塊fmincon 需建立目標(biāo)函數(shù)方程及約束函數(shù)方程，兩種函數(shù)方程可以是線性與非線性的等式或不等式[5]。本案例中，目標(biāo)函數(shù)為符合預(yù)定桿系軌跡德的最小化方程，約束函數(shù)為條件不等式組成的矩陣。

1.1 桿系位置方程組

分析圖1 可知，該機(jī)構(gòu)由兩部分構(gòu)成：曲柄L2，連桿L3和搖桿后段L4構(gòu)成曲柄搖桿機(jī)構(gòu)。搖桿（L4+L5），短連桿L6和滑塊P6構(gòu)成擺動滑塊機(jī)構(gòu)。為設(shè)計(jì)合理?xiàng)U長滿足要求滑塊運(yùn)動軌跡要求，需要建立所求桿與滑塊位置的關(guān)系方程。搖桿為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的輸出桿，也是擺桿滑塊機(jī)構(gòu)的輸入桿，這樣可先解析曲柄搖桿，得出搖桿位置狀態(tài)，再代入擺動滑塊機(jī)構(gòu)求解滑塊位置。如圖一建立坐標(biāo)系，以曲軸中心為原點(diǎn)，按桿組法建立方程。

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)位置方程為:

轉(zhuǎn)化為非線性超越方程：

擺動滑塊機(jī)構(gòu)位置方程為：

其中（x6,y6）為P6點(diǎn)坐標(biāo)，x6=-550，L4+L5=800，L6=250，當(dāng)曲柄位置方程（2）被解出后θ4也為已知,代入（2）求得θ7和y6。

壓力機(jī)持續(xù)工作時(shí)，曲柄轉(zhuǎn)角作360°圓周運(yùn)動，滑塊y 方向坐標(biāo)（y6）隨曲柄角度變化而變化，為滿足行程220mm 的要求：

1.2 目標(biāo)函數(shù)

本案例中，建立目標(biāo)函數(shù)的最小化求解問題，計(jì)算最優(yōu)解L1，L3取得理想P5點(diǎn)與實(shí)際P5點(diǎn)距離的平方差最小值。

其中（x5r，y5r）為滑塊中心P5距下死點(diǎn)90mm 時(shí)桿系的實(shí)際位置，（x5i，y5i）為滑塊中心距下死點(diǎn)90mm 時(shí)搖桿水平應(yīng)有的位置。

1.3 約束條件方程組

該機(jī)構(gòu)的約束條件分為邊界約束以及功能約束。其中邊界約束包含桿長限制約束，曲柄搖桿機(jī)構(gòu)構(gòu)成條件的約束，功能約束包括滑塊行程約束，搖桿擺動角范圍的約束和曲軸可承受扭矩的約束。本案例中程序利用L4作循環(huán)語句來求得符合行程的L4，因此不建立滑塊行程約束方程。

1.3.1 曲柄搖桿的構(gòu)成條件

根據(jù)機(jī)械原理中四桿機(jī)構(gòu)的分析，列出不等式：

L1≥L2，L3≥L2，L1+L2≤L3+L4，L3+L2≤L1+L4，L4+L2≤L1+L3,

以上為曲柄搖桿存在的基本條件，L4與L2為已知不需要列函數(shù)方程。對應(yīng)約束函數(shù)為：

g1（X）=L2-X1

g2（X）=L2-X2

g3（X）=L2+X2-X1-L4

g4（X）=L2+X1-X2-L4

g5（X）=L4+L2-X1-X2

1.3.2 搖桿的擺動角約束

如圖1，在滑塊受力時(shí)，桿系受力有θ5和θ6兩個壓力角，為同時(shí)限定兩個壓力角大小，搖桿的擺動角度θ4需在155°～190°之間。當(dāng)L2與L3共線時(shí)可取搖桿擺動角度的最大及最小值，現(xiàn)以該條件建立方程不等式：

對應(yīng)約束函數(shù)為：

1.3.3 滿足曲軸強(qiáng)度要求扭矩

壓力機(jī)在滑塊距下死點(diǎn)90°時(shí)開始拉伸，拉伸力F 為300kN。如圖2 所示，此時(shí)滑塊所受的拉伸力經(jīng)桿系傳到至曲軸上，分析曲軸受力可發(fā)現(xiàn)曲軸即受彎矩也受扭矩曲軸[1]。本案例壓力機(jī)用以深拉伸，受力工作行程大，工作時(shí)曲柄轉(zhuǎn)角距下死點(diǎn)角度很大，因此主要約束曲軸所受扭矩小于曲軸許用扭矩[τ]=40000Nm。壓力機(jī)工作時(shí)，曲軸扭矩Ttotal一般由理論扭矩Ti和摩擦扭矩Tf組成。理論扭矩即為滑塊受力傳遞至曲軸形成，摩擦扭矩由驅(qū)動壓力機(jī)各配合摩擦阻力形成[6]。

圖2 桿系受力傳遞

2 MATLAB 程序的實(shí)現(xiàn)

桿系長度未知的情況下，本案例滑塊行程表與曲柄轉(zhuǎn)角的對應(yīng)關(guān)系并不確定，因此無論是目標(biāo)函數(shù)還是約束函數(shù)都需要對整個機(jī)構(gòu)位置進(jìn)行解析計(jì)算后才能求解，桿系的兩組位置方程組為非線性超越方程，MATLAB 優(yōu)化工具集中另一個“函數(shù)模塊fsolve”可以求解此類問題。

2.1 建立目標(biāo)函數(shù)程序

首先名為targetfun.m 的目標(biāo)函數(shù)文件,設(shè)定初始條件：

建立搖桿后段的循環(huán)語句，計(jì)算出合適的L4長度使得滑塊行程為220:

建立曲柄轉(zhuǎn)角θ2共360°的循環(huán)語句，步長0.5°，調(diào)用fsolve 工具解析每一步桿系機(jī)構(gòu)位置狀態(tài)：

確定上死點(diǎn)，下死點(diǎn)，行程60 的曲柄轉(zhuǎn)角：

最后建立最小化的目標(biāo)方程：

2.2 建立約束函數(shù)

建立名為confun 的約束方程模塊,根據(jù)式（6）～（9）,設(shè)定初始條件：

建立搖桿后段的循環(huán)語句，計(jì)算出合適的L4長度使得滑塊行程為220:

建立曲柄轉(zhuǎn)角θ2共360°的循環(huán)語句，步長0.5°，調(diào)用fsolve 模塊解析每一步桿系機(jī)構(gòu)位置狀態(tài)：

確定上死點(diǎn)，下死點(diǎn)，行程90 的曲柄轉(zhuǎn)角:

列出曲軸存在邊界條件：

g（1）=-x（1）+L2;

g（2）=-x（2）+L2;

g（3）=x（1）+L2-x（2）-L4;

g（4）=-x（1）+L2+x（2）-L4;

g（5）=-x（1）+L2-x（2）+L4;

搖桿轉(zhuǎn)角約束：

g（6）=-（pi-acos（（L1^2-（L3+L2）^2+L4^2）/（2*L1*L4））+th1）+（155/360*2*pi）;

g（7）=pi-acos（（L1^2-（L3-L2）^2+L4^2）/（2*L1*L4））+th1-（190/360*2*pi）;

最大扭矩限制約束：

g（8）=fttotal-40000;

“哦……”兩個人見我如此誠懇，一時(shí)間不知說什么好。尷尬了一會兒，服務(wù)員趕緊從腰里摸出《收銀票據(jù)》遞給我。我摘下眼鏡一看，果然是我消費(fèi)的內(nèi)容，價(jià)格是43元，而且票據(jù)上還手工寫著兩個字：“未付”。

2.3 構(gòu)建位置狀態(tài)模塊

調(diào)用“fsolve 模塊”結(jié)合使用桿系的狀態(tài)方程，根據(jù)式（2）建立名為“fourbarposition”的解析模塊：

function t=fourbarposition（th,th2,L2,L3,L4,L1,th1）

t=[L2*cos（th2）+L3*cos（th（1））-L4*cos（th（2））-L1*cos（th1）;

L2*sin（th2）+L3*sin（th（1））-L4*sin（th（2））-L1*sin（th1）];

3 本方案實(shí)例

3.1 設(shè)計(jì)系統(tǒng)實(shí)際使用

本案例中給定連桿和機(jī)架長度初始條件為連桿長度700mm，機(jī)架距離600mm，其他條件已知。

在計(jì)算程序中輸入指令。輸入初始連桿長度，初始機(jī)架長度：x0=[650,700]；連桿機(jī)架長度的下限約束：lb=[550,500]；連桿機(jī)架長度的上限約束：ub=[700,700]。

同時(shí)，設(shè)置函數(shù)選項(xiàng)，變量，目標(biāo)函數(shù)，條件函數(shù)的調(diào)節(jié)參數(shù)：

options=optimset（“algorithm”,“active-set”,“display”,“off”,“TolFun”,0.001,“TolX”,0.001，“TolCon”,0.001）;

圖3 為初始桿系與設(shè)計(jì)后桿曲柄轉(zhuǎn)角與滑塊行程的對比圖，兩條曲線軌跡十分接近?？梢娫谛谐桃欢ǖ那闆r下，本案例所求兩桿的長度變化對曲柄轉(zhuǎn)角與滑塊行程關(guān)系影響不大。由于其偏置的特性，下死點(diǎn)時(shí)曲柄轉(zhuǎn)角都大于180°。圖4 為初始桿系與設(shè)計(jì)后桿系滑塊行程與搖桿擺角對比圖，其中0 位為下死點(diǎn)位置，可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算后的桿系的搖桿擺角在距下死點(diǎn)60mm 行程時(shí)接近180°，符合設(shè)計(jì)要求，且相比初始桿系，搖桿在工作行程內(nèi)更加接近水平線。

圖3 曲柄轉(zhuǎn)角與滑塊行程對比

圖4 滑塊行程與搖桿擺角對比

3.2 設(shè)計(jì)生產(chǎn)應(yīng)用

將計(jì)算結(jié)果應(yīng)用到設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中，并生產(chǎn)出對應(yīng)的樣機(jī)，如圖5。并隨之測試各方面性能，對比初始計(jì)算目標(biāo)。首先，完成任務(wù)目標(biāo)，即建立桿系傳動系統(tǒng)，保證樣機(jī)的傳動系統(tǒng)很大的工作行程下承受足夠的扭矩；其次，為限制機(jī)床整體尺寸大小，桿系長度保證在滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)情況下縮小長度，在設(shè)計(jì)系統(tǒng)中限制相關(guān)參數(shù)，并將結(jié)構(gòu)排至緊湊，如圖6 所示；最后，對于專用機(jī)床，性能參數(shù)根據(jù)整體而確定，因此生產(chǎn)量不大，合理利用設(shè)計(jì)系統(tǒng)，搭建成熟的平臺，同類型的機(jī)床小幅修改桿系長度以達(dá)成要求。

圖5 多連桿樣機(jī)

圖6 樣機(jī)傳動簡圖

4 結(jié)論

多連桿壓力機(jī)桿系設(shè)計(jì)往往比較復(fù)雜，除了要滿足桿系預(yù)定軌跡要求外還考慮壓力機(jī)實(shí)際功能的設(shè)計(jì)要求。本案例使用基于MATLAB 的設(shè)計(jì)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)桿系設(shè)計(jì)，其計(jì)算結(jié)果體現(xiàn)MATLAB 的一大優(yōu)勢在于數(shù)據(jù)處理運(yùn)算非常方便,在優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)建立數(shù)學(xué)模型，調(diào)用多樣的函數(shù)工具集進(jìn)行分析計(jì)算，過程中產(chǎn)生的計(jì)算數(shù)據(jù)便于性能分析或圖表繪制，并產(chǎn)生結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際設(shè)計(jì)生產(chǎn)過程中去。本案例方法具有進(jìn)一步發(fā)展的潛力，通過建立不同的目標(biāo)函數(shù)方程，還可以實(shí)現(xiàn)桿系總體重量最小化設(shè)計(jì)等設(shè)計(jì)要求。有些多連桿壓力機(jī)要求擁有特殊的滑塊軌跡或運(yùn)行曲線，通過對位置方程的求導(dǎo)，得到速度方程或者加速度方程，可以將滑塊速度或加速度加入數(shù)學(xué)模型中。這樣用類似的解析方法也能對此類型的多連桿壓力機(jī)進(jìn)行桿系設(shè)計(jì)。