彭認(rèn)燦 董 箭 王 芳 劉國(guó)輝 戴佳良

1 海軍大連艦艇學(xué)院軍事海洋與測(cè)繪系，遼寧 大連，116018 2 海軍大連艦艇學(xué)院海洋測(cè)繪工程軍隊(duì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連，116018 3 91001 部隊(duì)，北京，100161 4 海圖信息中心，天津，300450

近年來(lái)，隨著北極冰蓋的消融速度加快，中國(guó)相關(guān)科技工作者為做好北極航道開(kāi)通之前的航海保障準(zhǔn)備工作，針對(duì)北極地區(qū)（簡(jiǎn)稱(chēng)極區(qū)）特殊的地理環(huán)境，從海洋調(diào)查、海洋測(cè)量、航海圖書(shū)編制等方面開(kāi)展了大量研究與實(shí)踐，取得了不少富有價(jià)值的成果。李樹(shù)軍等［1］對(duì)編制極區(qū)航海圖需解決的投影選擇、制圖資料收集與利用、專(zhuān)題符號(hào)設(shè)計(jì)和海圖分幅4個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題進(jìn)行了探討，初步給出了相應(yīng)的解決方案。王海波等［2］提出了一種適用于極區(qū)的橫軸墨卡托航海圖：為改變橫軸墨卡托投影航海圖上極區(qū)經(jīng)緯線網(wǎng)格為三角形的特性和提高極區(qū)導(dǎo)航定位的精度，構(gòu)建了基于偽經(jīng)緯線網(wǎng)的橫軸墨卡托航海圖，使得圖上的極區(qū)相當(dāng)于墨卡托航海圖上的赤道附近，偽經(jīng)緯線網(wǎng)與墨卡托海圖上經(jīng)緯線網(wǎng)的特點(diǎn)相同。溫朝江等［3］對(duì)墨卡托投影在極區(qū)航海圖編制中的可用性進(jìn)行了研究，從長(zhǎng)度變形控制的角度，針對(duì)基準(zhǔn)緯度的選用、最大長(zhǎng)度變形的確定、圖幅緯度的范圍等影響因素，提出了提高墨卡托投影極區(qū)可用性的思路，重點(diǎn)討論了適宜長(zhǎng)度變形范圍選用這一關(guān)鍵問(wèn)題，按照基準(zhǔn)緯度是否在圖幅中緯的不同情況，分析了緯度75°～85°間墨卡托投影的可用性。隨后，溫朝江等［4］對(duì)可能用于極區(qū)航海圖編制的雙重極球面投影在極區(qū)的投影誤差進(jìn)行了分析，從投影變形、經(jīng)緯線形狀以及大圓航線與直線逼近程度等方面，探討了極球面投影上用直線代替大圓航線的可行性。張志衡等［5］對(duì)極地航海區(qū)等距離正圓柱投影平面上等角航線的展繪方法進(jìn)行了研究，從分析等角航線在等距離正圓柱投影中的方程及其曲率入手，得出等距離正圓柱投影面上等角航線一般為曲線的結(jié)論，在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用“以直代曲”的研究思路，提出了一種在等距離正圓柱投影航海圖上精確展繪等角航線的方法，并通過(guò)具體算例驗(yàn)證了該方法的可行性及實(shí)用性。隨后，張志衡等［6］對(duì)等距離正圓柱投影在極區(qū)航海圖中的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了選用等距離正圓柱投影作為極區(qū)航海圖投影的設(shè)想，并分析了該投影在極區(qū)航海圖編制與應(yīng)用中的適用性，研究了等角航線展繪和圖上方位、距離量測(cè)等關(guān)鍵技術(shù)，為該投影在極區(qū)航海圖中的應(yīng)用提供了技術(shù)支撐。

雖然以上研究已經(jīng)從不同角度探討了包括投影選擇和投影可用性等大量與極區(qū)航海圖編制與應(yīng)用有關(guān)的問(wèn)題，但筆者認(rèn)為，這些研究還未能全面解決極區(qū)航海圖投影選擇中需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題。為此，本文從給定投影在極區(qū)航海圖編制和航海應(yīng)用中的適用性角度，采取分析比較的方法，對(duì)編制極區(qū)航海圖可能采用的日晷投影和等距離正圓柱投影進(jìn)行了研究。

1 兩種投影在極區(qū)航海圖編制中的適用性比較分析

1.1 日晷投影

1.1.1 投影公式

日晷投影是視點(diǎn)位于球心的透視投影，其投影公式如下［7，8］：

式中，R為視地球?yàn)榍蝮w時(shí)的半徑；θ表示余緯度，θ= π/2 -φ，φ為球面緯度；λ為球面經(jīng)度。

1.1.2 投影性質(zhì)與特點(diǎn)

投影性質(zhì)與特點(diǎn)如下［8，9］：

1）球面上各垂直圈（所有通過(guò)切點(diǎn)的大圈）被描寫(xiě)為放射狀的直線，各等高圈（垂直于垂直圈的平行圈）被描寫(xiě)為以切點(diǎn)為中心的同心圓。

2）兩垂直圈之間的夾角與投影平面上相應(yīng)的兩直線間的夾角相等。

3）圓球上任何大圈都被描寫(xiě)成直線。

4）投影變形與其至切點(diǎn)的距離有關(guān)：切點(diǎn)附近變形小，距切點(diǎn)愈遠(yuǎn)變形愈大。即切點(diǎn)上長(zhǎng)度比為1，隨著其與切點(diǎn)間距離的增加，長(zhǎng)度比不斷增大，距切點(diǎn)90°（大圈距離）以上，長(zhǎng)度比為無(wú)窮大。但在與切點(diǎn)為同一距離的等高圈上的長(zhǎng)度比一致。

5）隨著切點(diǎn)位置的不同，經(jīng)緯線的形狀也不同，有以下3 種情況：

①當(dāng)切點(diǎn)在兩極時(shí)，即為正方位投影，經(jīng)線被描寫(xiě)為交于極點(diǎn)的放射狀直線。放射中心各經(jīng)線間的夾角與球面上的經(jīng)差一致，同一緯線上的經(jīng)差相等，緯線被描寫(xiě)成以極點(diǎn)為中心的同心圓，但各圓弧之間的距離并不相等，距切點(diǎn)愈遠(yuǎn)間隔愈大，至赤道為無(wú)窮大。

②當(dāng)切點(diǎn)在赤道上時(shí)，即為橫方位投影，經(jīng)線被描寫(xiě)成平行的直線，以通過(guò)切點(diǎn)的子午線（中央經(jīng)線）為對(duì)稱(chēng)軸左右對(duì)稱(chēng)，平行線的間隔不等，離切點(diǎn)愈遠(yuǎn)間隔愈大，與切點(diǎn)經(jīng)差為90°處的間隔為無(wú)窮大。赤道被描寫(xiě)成直線，其他緯線被描寫(xiě)為以赤道為對(duì)稱(chēng)軸的雙曲線。離切點(diǎn)愈遠(yuǎn)，曲線間隔愈大，至兩極為無(wú)窮大。

③當(dāng)切點(diǎn)在極點(diǎn)和赤道以外的地球面上的任何一個(gè)位置時(shí)，即為斜方位投影，經(jīng)線被描寫(xiě)為交于極點(diǎn)的一束放射狀直線，各線間交角不相等。除赤道被描寫(xiě)為直線外，其他經(jīng)線隨位置的不同分別被描寫(xiě)為雙曲線、拋物線或橢圓曲線（極點(diǎn)附近），曲線間的間隔隨它與切點(diǎn)間的距離而變化，距切點(diǎn)愈遠(yuǎn)，間隔愈大。距切點(diǎn)大圈距離為90°處的變形為無(wú)窮大。

1.2 等距離正圓柱投影

1.2.1 投影公式

等距離正圓柱投影是圓柱投影面與地軸平行，按經(jīng)線長(zhǎng)度不變的條件將經(jīng)緯線網(wǎng)投影到圓柱面上，再沿某一母線剖開(kāi)展平的一種投影。將地球視為半徑為R的球體時(shí)，可得到等距離正圓柱投影的一種常見(jiàn)形式——等距離正切圓柱投影，其投影公式如下［8］：

1.2.2 投影性質(zhì)與特點(diǎn)

投影性質(zhì)與特點(diǎn)如下［8］：

1）投影后的緯線間隔與實(shí)地等長(zhǎng)，經(jīng)線與緯線表現(xiàn)為相互垂直的等距平行直線。

2）視地球?yàn)榍蝮w時(shí)，經(jīng)緯網(wǎng)為正方形格網(wǎng)，故等距離正圓柱投影又稱(chēng)為“方塊投影”或“方格投影”。

3）從投影變形性質(zhì)來(lái)看，等距離正圓柱投影屬于任意投影，角度與面積均存在變形，長(zhǎng)度只在經(jīng)線方向與基準(zhǔn)緯度處無(wú)變形，在其他區(qū)域與其他方向均存在變形。

1.3 兩種投影的投影變形情況比較

1）日晷投影的投影變形。如前文所述，日晷投影為任意投影，其變形公式如下［8］：

式中，μ1、μ2分別表示緯線圈和子午線方向上的長(zhǎng)度變形，其中，μ1為日晷投影的極大長(zhǎng)度變形，μ2為極小長(zhǎng)度變形；p為面積變形；ω為角度變形。

表1 展示了若干典型余緯度θ處的日晷投影變形情況。

表1 日晷投影變形信息Tab.1 Deformation Information of Sundial Projection

2）等距離正圓柱投影的投影變形。與日晷投影一樣，等距離正圓柱投影也是一種任意投影。當(dāng)以赤道為基準(zhǔn)緯度時(shí)即為等距離正切圓柱投影，而其緯線方向的長(zhǎng)度變形、面積變形和角度變形將達(dá)到最大。為便于與日晷投影的投影變形作比較，以視地球?yàn)榍蝮w時(shí)的等距離正切圓柱投影為例進(jìn)行分析，其變形公式為［8］：

式中，m為經(jīng)線方向長(zhǎng)度比；n為緯線方向長(zhǎng)度比；其余符號(hào)同前。表2 為若干典型球面緯度φ處的等距離正切圓柱投影變形情況。

表2 等距離正切圓柱投影變形信息Tab.2 Deformation Information of Equidistant Tangent Cylindrical Projection

1.4 兩種投影極區(qū)航海圖圖幅設(shè)計(jì)難易比較

航海圖圖幅設(shè)計(jì)指的是按標(biāo)準(zhǔn)的航海圖規(guī)格（圖幅尺寸），根據(jù)比例尺、經(jīng)緯線網(wǎng)和制圖區(qū)域特點(diǎn)確定海圖范圍的過(guò)程。其中，圖框計(jì)算是圖幅設(shè)計(jì)中需要解決的關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題，具體分為以下兩種情況：①以經(jīng)緯線為內(nèi)圖廓線時(shí)，準(zhǔn)確求出4個(gè)圖廓角點(diǎn)的經(jīng)緯度值；②不將經(jīng)緯線作為內(nèi)圖廓線時(shí)，大致確定出圖幅范圍。

兩種投影極區(qū)航海圖的圖框計(jì)算方法如下：

1）日晷投影極區(qū)航海圖的圖框計(jì)算［9，10］。由于日晷投影的經(jīng)緯線不是成垂直正交的兩組直線，因此，不能將經(jīng)緯線作為內(nèi)圖廓線，這給采用該投影的極區(qū)航海圖圖框計(jì)算帶來(lái)了困難，其主要過(guò)程如下：

①確定圖幅邊緣的經(jīng)緯度值。根據(jù)制圖區(qū)域范圍，確定出邊緣的概略經(jīng)緯度值。

②計(jì)算并確定比例尺。計(jì)算邊緣經(jīng)線與北界緯線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)xN；計(jì)算邊緣經(jīng)線與南界緯線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)y0；計(jì)算中央經(jīng)線與南界緯線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)x0；根據(jù)計(jì)算得到的xN、y0和x0，計(jì)算橫圖廓和縱圖廓的實(shí)地長(zhǎng)度a′和b′，其公式為：

假設(shè)航海圖的規(guī)格為橫向a0cm、縱向b0cm（即圖幅尺寸或圖積大小為a0cm×b0cm），則橫向比例尺為a0/(a′× 100 )、縱向比例尺為b0/(b′× 100 )。在此基礎(chǔ)上，取比例尺較小者并對(duì)比例尺分母進(jìn)行必要的湊整，得到初步確定的比例尺分母C0。

③按初步確定的比例尺分母C0重新計(jì)算圖積大小。分別將a′和b′乘以C0，將得到的新的a′、b′與a0、b0作比較。若相差較大，則通過(guò)調(diào)整制圖區(qū)域的邊緣緯度或改變比例尺分母C0的大小來(lái)調(diào)整制圖區(qū)域的邊緣經(jīng)度。

④調(diào)整和試湊圖幅范圍。以規(guī)格圖積為目標(biāo)，通過(guò)切點(diǎn)不變、調(diào)整邊緣緯度等方法反復(fù)進(jìn)行調(diào)整和試湊，直至確定出符合規(guī)格圖積的圖幅范圍。

盡管上述方法針對(duì)的是手工作業(yè)方式，但即使采用計(jì)算機(jī)制圖技術(shù)，其過(guò)程也頗為復(fù)雜，往往要經(jīng)過(guò)多次調(diào)整和人機(jī)交互處理，才能完成日晷投影極區(qū)航海圖的圖幅設(shè)計(jì)工作。

2）等距離正切圓柱投影極區(qū)航海圖的圖框計(jì)算。與日晷投影相比，由于等距離正切圓柱投影的經(jīng)線與緯線表現(xiàn)為相互垂直的等距平行直線，這一性質(zhì)使得其圖幅設(shè)計(jì)工作變得十分簡(jiǎn)單，因?yàn)閳D幅的內(nèi)圖廓直接由上下兩條緯線和東西兩條經(jīng)線構(gòu)成。具體地，當(dāng)?shù)厍虬霃綖镽、規(guī)格圖積大小為a0cm×b0cm、比例尺分母為C0時(shí)，等距離正切圓柱投影極區(qū)航海圖的圖框計(jì)算過(guò)程如下：

①計(jì)算圖幅的橫向經(jīng)差和縱向緯差：

式中，Δλ、Δφ分別表示橫向經(jīng)差和縱向緯差（單位：rad）。

②通過(guò)給定圖廓左下角點(diǎn)的經(jīng)緯度φ南、λ西，得到圖廓左上角點(diǎn)的經(jīng)緯度為φ南+ Δφ、λ西，右上角點(diǎn)的經(jīng)緯度為φ南+ Δφ、λ西+ Δλ，右下角點(diǎn)的經(jīng)緯度為φ南、λ西+ Δλ。需要注意的是，具體作業(yè)時(shí)要將這些圖廓點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為度分秒形式。

顯然，若圖幅覆蓋的地理范圍不合適，可首先將左下角點(diǎn)經(jīng)緯度坐標(biāo)φ南、λ西調(diào)整至理想位置，并在此基礎(chǔ)上按前面的計(jì)算步驟得到所需的其余3個(gè)圖廓角點(diǎn)的準(zhǔn)確經(jīng)緯度值。

2 兩種投影在極區(qū)航海應(yīng)用中的適用性比較分析

2.1 兩種投影極區(qū)航海圖上定位與量讀難易比較

在航海圖上定位是應(yīng)用海圖的一種基本技術(shù)，有多種定位的方法，如距離法、方位距離法、三標(biāo)兩角法和經(jīng)緯度值定位法等。同樣地，在航海圖上量讀也是應(yīng)用海圖的一種基本技術(shù)，主要包括點(diǎn)位經(jīng)緯度值量讀、方位量讀和距離量讀等內(nèi)容。本文以最常用也是最基礎(chǔ)的經(jīng)緯度值定位法和點(diǎn)位經(jīng)緯度值量讀為例，對(duì)兩種投影極區(qū)航海圖上的定位與量讀難度進(jìn)行比較［10］。

1）日晷投影極區(qū)航海圖上定位與量讀。本文以以極點(diǎn)為切點(diǎn)的正方位投影為例，介紹日晷投影極區(qū)航海圖上確定點(diǎn)位的經(jīng)緯度值定位法。如前文所述，由于該投影圖上經(jīng)線被描寫(xiě)為從極點(diǎn)出發(fā)的放射狀直線，各經(jīng)線的夾角與球面上的經(jīng)差一致，且同一緯線上的經(jīng)差相等；而緯線被描寫(xiě)成以極點(diǎn)為中心的同心圓，但各圓弧之間的距離并不相等，距切點(diǎn)愈遠(yuǎn)，間隔愈大，至赤道為無(wú)窮大。顯然，在給定某點(diǎn)的經(jīng)緯度值后，其困難在于準(zhǔn)確定位該緯度值在圖上的位置，即需要通過(guò)投影公式計(jì)算出該緯度值在圖上的同心圓圓弧，而其經(jīng)度值在圖上的位置可根據(jù)其值的大小，在此同心圓圓弧上按照弧段距離等分法快速確定。

在日晷投影極區(qū)航海圖上實(shí)現(xiàn)點(diǎn)位經(jīng)緯度值量讀，與上述經(jīng)緯度值定位法原理是一致的，在此不再贅述。

顯然，以人工的方法在日晷投影極區(qū)航海圖上進(jìn)行定位與量讀并不是件容易的事情。事實(shí)上，在電子海圖技術(shù)出現(xiàn)或得到實(shí)際應(yīng)用之前，為解決相關(guān)問(wèn)題，相關(guān)科技工作者曾通過(guò)編制出版《海圖投影計(jì)算手冊(cè)》［9］等工具書(shū)的途徑，詳細(xì)給出日晷投影圖上各種實(shí)用的定位、量讀與量測(cè)方法。

2）等距離正切圓柱投影極區(qū)航海圖上定位與量讀。與日晷投影極區(qū)航海圖上確定點(diǎn)位的經(jīng)緯度值定位法和實(shí)現(xiàn)點(diǎn)位經(jīng)緯度值量讀時(shí)的復(fù)雜性相比，由于球面等距離正切圓柱投影圖上經(jīng)緯線被投影為正方形格網(wǎng)，因此相應(yīng)的方法都非常簡(jiǎn)單，均只需在經(jīng)線和緯線上通過(guò)線段距離等分的方法即可快速、準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)圖上定位與量讀。

2.2 兩種投影極區(qū)航海圖上等角航線與大圓航線繪制難易比較

1）日晷投影極區(qū)航海圖上等角航線與大圓航線繪制。由于日晷投影屬于一種各種投影變形均比較大的任意投影，等角航線被描寫(xiě)成復(fù)雜的曲線，因此難以通過(guò)人工的方法在該投影圖上繪制出等角航線。與此同時(shí)，從國(guó)內(nèi)外已公開(kāi)的文獻(xiàn)中也無(wú)法查閱到如何利用計(jì)算機(jī)技術(shù)實(shí)現(xiàn)日晷投影圖上等角航線繪制的方法。由此可見(jiàn)，還需要對(duì)如何在電子海圖系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)該投影圖上等角航線的自動(dòng)繪制（顯示）進(jìn)行研究。但日晷投影上的大圓被投影成直線，因此，在該投影極區(qū)航海圖上繪制大圓航線十分容易。

2）等距離正切圓柱投影極區(qū)航海圖上等角航線與大圓航線繪制。通過(guò)表1 和表2 可以看出，與日晷投影相比，等距離正切圓柱投影是一種長(zhǎng)度變形和面積變形都相對(duì)較小的任意投影，但相關(guān)文獻(xiàn)表明，在該投影的航海圖上等角航線與大圓航線均被描寫(xiě)成復(fù)雜的曲線，因此難以通過(guò)人工的方法繪制，而在電子海圖系統(tǒng)上則可以按照“以直代曲”思路解決其自動(dòng)繪制（顯示）的問(wèn)題［5，6］。

2.3 兩種投影極區(qū)航海圖鄰幅拼接難易比較

日晷投影的性質(zhì)和特點(diǎn)決定了其只適合用于制作單幅航海圖，而不適合用于制作拼接使用的同一比例尺系列航海圖。也就是說(shuō)，若用這種投影制作極區(qū)航海圖，要實(shí)現(xiàn)相鄰圖幅的拼接才能在航海時(shí)使用，存在明顯的不便，這對(duì)依靠紙質(zhì)航海圖實(shí)施航海作業(yè)是十分不利的。

相比之下，等距離正切圓柱投影航海圖上的經(jīng)緯線網(wǎng)被描寫(xiě)為正方形，其經(jīng)緯線網(wǎng)與墨卡托投影相似，甚至還因不存在緯度漸長(zhǎng)而比墨卡托投影更簡(jiǎn)單，因此，非常容易實(shí)現(xiàn)任意方向相鄰圖幅的直接拼接使用。

3 結(jié)束語(yǔ)

盡管在中國(guó)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)《中國(guó)航海圖編繪規(guī)范》（GB 12320—1998）中對(duì)極區(qū)航海圖投影已有明確規(guī)定，要求航海圖制圖區(qū)域60% 以上的地區(qū)緯度高于75°時(shí)，采用日晷投影，而不采用墨卡托投影。但相關(guān)研究已發(fā)現(xiàn)，簡(jiǎn)單地按照這一規(guī)定執(zhí)行，在極區(qū)航海圖編制和航海應(yīng)用等關(guān)鍵環(huán)節(jié)中會(huì)存在不少需要解決的問(wèn)題。為此，本文針對(duì)當(dāng)前和今后可能應(yīng)用于極區(qū)航海圖編制與航海應(yīng)用的日晷投影和等距離正圓柱投影，對(duì)其性質(zhì)與特點(diǎn)、投影變形的大小與分布、圖幅設(shè)計(jì)、圖上定位與量讀、圖上等角航線與大圓航線繪制和鄰幅拼接的難易等進(jìn)行了分析與比較。從研究結(jié)果看，無(wú)論是在極區(qū)航海圖編制還是航海應(yīng)用中，與日晷投影相比，采用等距離正圓柱投影都具有更多的優(yōu)勢(shì)。因此，建議有關(guān)部門(mén)積極開(kāi)展等距離正圓柱投影極區(qū)航海圖編制實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步解決其中可能存在的技術(shù)問(wèn)題，扎實(shí)推進(jìn)極區(qū)航海圖正式生產(chǎn)的準(zhǔn)備工作，更好地滿(mǎn)足北極航線開(kāi)通對(duì)極區(qū)航海圖的迫切需要。