曲 江，夏連晶

大慶油田有限責(zé)任公司第四采油廠，黑龍江 大慶

1. 引言

對于水驅(qū)開發(fā)油田，含水率是反映油田含水上升規(guī)律的重要指標(biāo)，是評價(jià)水驅(qū)油田開發(fā)效果、分析油田生產(chǎn)動態(tài)的重要指標(biāo)。歷年來國內(nèi)外學(xué)者對含水上升規(guī)律進(jìn)行深入研究，目前常用的含水率預(yù)測方法[1] [2] [3] [4] [5]主要包括Gompertz 模型、Logistic 模型和Usher 模型，這三種方法通常反映了含水率與時(shí)間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，缺乏理論依據(jù)，當(dāng)含水率出現(xiàn)劇烈波動時(shí)，該方法適用性差；而常用的水驅(qū)規(guī)律曲線[6] [7] [8] [9]雖能反映油水滲流理論，但進(jìn)入特高含水期后油水相對滲透率比值與含水飽和度在半對數(shù)曲線上偏離直線關(guān)系，不能用于特高含水期含水率預(yù)測。因此，本文基于特高含水期相滲規(guī)律，建立了一種反映含水率與采出程度關(guān)系的含水率預(yù)測新方法，既能反映特高含水期油水滲流規(guī)律，又能提高特高含水期含水率預(yù)測精度，為特高含水期水驅(qū)油藏開發(fā)規(guī)劃制定提供了理論依據(jù)。

2. 目前含水率預(yù)測模型

目前常用的含水率預(yù)測方法主要包括Gompertz 模型、Logistic 模型和Usher 模型，這三種方法均反映了含水率與時(shí)間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

2.1. Gompertz 模型

英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家岡珀茨Gompertz 于1825 年提出了一種預(yù)測動物種群生長模型，使用該模型能夠描述種群的消亡規(guī)律和比較植物病害進(jìn)展曲線。后來將這種廣泛用于經(jīng)濟(jì)增長和油氣資源增長預(yù)測的Gompertz 模型[10]應(yīng)用于水驅(qū)開發(fā)含水率預(yù)測中，其一般形式為

式中：fw為油田含水率，%；t為油田開發(fā)時(shí)間，a；k、b為擬合系數(shù)。

將公式(1)變形，得到lnfw與t之間的關(guān)系，見公式(2)，通過公式擬合即可得到擬合系數(shù)k和b的數(shù)值。

2.2. Logistic 模型

Logistic 模型[11]又稱Logistic 回歸分析，該模型在流行病學(xué)中應(yīng)用較多，能夠根據(jù)危險(xiǎn)因素預(yù)測某疾病發(fā)生的概率。美國地質(zhì)學(xué)家哈伯特King Hubbert 于1962 年提出將Logistic 模型應(yīng)用于油田開發(fā)指標(biāo)預(yù)測中，其一般形式為

將公式(3)變形，得到1/fw- 1 與t之間的關(guān)系，見公式(4)，通過公式擬合即可得到擬合系數(shù)k和b的數(shù)值。

2.3. Usher 模型

美國學(xué)者Usher 于1980 年提出了一種增長數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化數(shù)學(xué)模型。將該模型應(yīng)用于水驅(qū)開發(fā)油田，發(fā)現(xiàn)當(dāng)t→∞時(shí)，fw→ 1，即預(yù)測含水率Usher 模型[12] [13]的一般形式為

式中：c為擬合系數(shù)。

將公式(5)變形，得到fw與t之間的關(guān)系，見公式(6)，應(yīng)用試湊法，通過改變擬合系數(shù)c獲得最大的相關(guān)系數(shù)，即可得到擬合系數(shù)k和b的數(shù)值。

從以上表達(dá)式可以看出，用于含水率預(yù)測的Gompertz 模型和Logistic 模型是Usher 的兩種簡化形式，當(dāng)c= 0 時(shí)，對公式(5)求導(dǎo)可得到Gompertz 模型，當(dāng)c= 1 時(shí)，直接得到Logistic 模型。Gompertz模型和Logistic 模型曲線呈“S”形狀，曲線中存在一個(gè)最大增長速度——拐點(diǎn)，Gompertz 模型拐點(diǎn)發(fā)生在NR/e 處，Logistic 模型拐點(diǎn)發(fā)生在NR/2 處，這說明上述兩個(gè)模型的拐點(diǎn)位置只與可采儲量有關(guān)，不適用于含水率拐點(diǎn)位置不符合相關(guān)規(guī)律的油藏。而Usher 模型為三參數(shù)(k、b和c)模型，引入了參數(shù)b，拐點(diǎn)的位置與參數(shù)b和可采儲量有關(guān)，提高了Usher 模型的適用范圍，與Gompertz 模型和Logistic 模型相比具有同等或更高的預(yù)測精度。

這三種模型均反映了含水率與時(shí)間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，用于油田含水率預(yù)測時(shí)缺乏理論依據(jù)、各參數(shù)無實(shí)際物理意義。當(dāng)油田進(jìn)入穩(wěn)定遞減階段后，含水率變化隨開發(fā)時(shí)間呈穩(wěn)定變化趨勢；當(dāng)油田進(jìn)行大規(guī)模井網(wǎng)加密或重大措施調(diào)整時(shí)，產(chǎn)油量曲線劇烈波動，含水率出現(xiàn)明顯的降低或太高趨勢，上述方法適用性變差。

3. 特高含水期相滲規(guī)律

油水相對滲透率曲線是研究油水兩相滲流的基礎(chǔ)，是油田開發(fā)指標(biāo)計(jì)算、動態(tài)分析等方面不可缺少的重要資料，能夠反映水驅(qū)油藏油水滲流規(guī)律。圖1(a)為任一復(fù)合相滲曲線，當(dāng)進(jìn)入油水滲流階段后，水相相對滲透率與油相相對滲透率比值krw/kro與含水飽和度之間半對數(shù)直線關(guān)系；當(dāng)含水率超過90%后，進(jìn)入特高含水階段，此時(shí)兩者偏離直線關(guān)系出現(xiàn)明顯上翹，如圖1(b)所示，因此需要建立新的特高含水階段油水滲流理論。

Figure 1. Law of oil-water relative permeability curve. (a) Relative permeability curve; (b) Relative permeability curve law in steady seepage stage; (c) Relative permeability curve law in extra-high water cut stage圖1. 油水相對滲透率曲線規(guī)律。(a) 相對滲透率曲線；(b) 穩(wěn)定滲流階段相滲規(guī)律；(c) 特高含水期相滲規(guī)律

通過深入研究特高含水期相滲曲線變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)油水相對滲透率比值krw/kro與歸一化含水飽和度Swd存在以下關(guān)系：

其中

式中：krw、kro為水相相對滲透率、油相相對滲透率；Sw、Swd為含水飽和度、歸一化含水飽和度；Swc、Sor為束縛水飽和度、殘余油飽和度；b、n為擬合系數(shù)。

應(yīng)用試湊法，通過改變系數(shù)n獲得最大的相關(guān)系數(shù)，即可得到擬合系數(shù)b的數(shù)值。當(dāng)n= 2 時(shí)，油水相對滲透率比值krw/kro與歸一化含水飽和度項(xiàng)Swd(1-Swd)n呈明顯的直線關(guān)系，相關(guān)系數(shù)無限趨近于1，如圖1(c)所示。即公式(7)可以描述油田開發(fā)各個(gè)階段油水相對滲透率比值與歸一化含水飽和度的關(guān)系，不用再區(qū)分低含水階段、中含水階段、高含水階段和特高含水階段。當(dāng)公式中含水飽和度趨近于束縛水飽和度時(shí)，即Swd= 0 時(shí)，krw= 0；當(dāng)含水飽和度趨近于最大含水飽和度時(shí)，即Swd→ 1時(shí)，k rwkro→∞，這與水驅(qū)規(guī)律相一致。

4. 特高含水期含水率預(yù)測新模型

根據(jù)特高含水期相滲曲線變化規(guī)律，建立新的特高含水期含水率預(yù)測新模型，直接反映含水率與采出程度之間的關(guān)系。與已有模型[14] [15]僅能預(yù)測高含水階段的開發(fā)指標(biāo)相比，該模型適用于油氣田整個(gè)開發(fā)過程的含水率預(yù)測，含水率預(yù)測精度明顯提高。

已知采出程度R和驅(qū)油效率Ed計(jì)算公式，整理公式(8)，當(dāng)R→ 0時(shí)，Swd→ 0，當(dāng)R→Ed時(shí)，Swd→ 1。

根據(jù)油水滲流公式可計(jì)算含水率：

將公式(7)和公式(9)代入公式(10)：

公式(11)整理得：

其中

一般來說，對于某一研究區(qū)驅(qū)油效率Ed可以通過巖心室內(nèi)驅(qū)油實(shí)驗(yàn)獲得，根據(jù)公式(12)，已知?dú)v年開發(fā)數(shù)據(jù)，繪制(1/fw- 1)R與Ed-R之間的關(guān)系，確定二者冪函數(shù)關(guān)系的擬合系數(shù)m和n。整理公式(11)，將擬合系數(shù)代入公式(14)即可根據(jù)采出程度預(yù)測未來含水率變化趨勢。

5. 實(shí)例應(yīng)用

以大慶油田某一已進(jìn)入特高含水期的區(qū)塊為研究對象，1971～2020 年該區(qū)塊歷年開發(fā)數(shù)據(jù)見表1，應(yīng)用上述4 種方法對1971～2015 年開發(fā)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并預(yù)測2016～2020 年含水率，擬合和預(yù)測結(jié)果如圖2 所示。通過擬合分別獲得Gompertz 模型、Logistic 模型、Usher 模型和含水率預(yù)測新模型的擬合系數(shù)k、b、c、m和n的數(shù)值，從擬合相關(guān)系數(shù)來看，擬合精度依次提高，分別為0.6397、0.863、0.8941 和0.9416。

Figure 2. Water cut prediction results of each method. (a) Goempertz model; (b) Logistic model; (c) Usher model; (d) A new prediction model of water cut圖2. 各方法含水率預(yù)測結(jié)果。(a) Goempertz 模型；(b) Logistic 模型；(c) Usher 模型；(d) 含水率預(yù)測新模型

Table 1. Water cut prediction results of each method表1. 各方法含水率預(yù)測結(jié)果

Continued

Continued

根據(jù)擬合系數(shù)，計(jì)算2005 年后Gompertz 模型預(yù)測含水率超過1；應(yīng)用Logistic 模型、Usher 模型和含水率預(yù)測新模型計(jì)算2016～2020 年含水率預(yù)測誤差分別為5.00%、4.28%和1.15%。通過對于擬合和預(yù)測結(jié)果可知，與Gompertz 模型、Logistic 模型和Usher 模型相比，含水率預(yù)測新模型擬合誤差最小，預(yù)測精度最高，整體預(yù)測效果最好。在整個(gè)含水階段，Gompertz 模型、Logistic 模型和Usher 模型預(yù)測含水率均呈逐年上升的趨勢，但擬合精度并不高，尤其是進(jìn)入特高含水期后，含水率預(yù)測值明顯高于實(shí)際數(shù)值，與實(shí)際不符；而含水率預(yù)測新方法在低含水期預(yù)測含水率高、特高含水期預(yù)測含水率低，最接近于實(shí)際含水率數(shù)值，可靠性高。

6. 結(jié)論

1) 目前常用的含水率預(yù)測方法僅反映了含水率與時(shí)間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，缺乏油水滲流理論，而水驅(qū)規(guī)律曲線雖有理論職稱，但特高含水期后油水相對滲透率比值與含水飽和度在半對數(shù)曲線上偏離直線關(guān)系，不能用于特高含水期含水率預(yù)測。

2) 基于特高含水期相滲滲流特征，建立了反映含水率和采出程度變化規(guī)律的含水率預(yù)測新模型，模型參數(shù)求取簡單、可靠性高，研究表明與Logistic 模型、Usher 模型相比，含水率預(yù)測精度分別提高了3.85個(gè)百分點(diǎn)和3.13 個(gè)百分點(diǎn)。