陳松林，汪 魁，趙明階

(重慶交通大學(xué)河海學(xué)院，重慶 400074)

常見巖土材料具有典型的多孔特性，不同類型的巖土類材料僅在孔隙尺度分布特征上有所不同，其是由固體基質(zhì)和被固相所分割的內(nèi)部孔隙組成的一系列復(fù)雜多孔介質(zhì)材料，其內(nèi)部孔隙具有高度混沌特性?？紫兜膸缀谓Y(jié)構(gòu)、位置排列、尺寸分布以及它們之間的相互連接都對(duì)多孔介質(zhì)材料的微觀輸運(yùn)性質(zhì)有很大的影響，而多孔介質(zhì)的微觀輸運(yùn)特性與其宏觀導(dǎo)電性能密切相關(guān)。因此，對(duì)多孔介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行表征已成為其研究的重點(diǎn)領(lǐng)域之一。1942年，Archie[1]以儲(chǔ)層巖石的物理特性為基礎(chǔ)，最早將微觀幾何結(jié)構(gòu)與電導(dǎo)率建立聯(lián)系，得到了經(jīng)典的Archie方程。由于Archie方程為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，在?shí)際應(yīng)用過(guò)程中有一定的局限性，并非所有的多孔介質(zhì)都遵循Archie方程所表征的電導(dǎo)率-孔隙度關(guān)系，且傳統(tǒng)的Archie方程對(duì)其參數(shù)的解釋有一定的疑問(wèn)。由于Archie方程沒(méi)有考慮黏土礦物、封閉孔隙、各向異性和孔隙隨機(jī)分布的影響[2]，Revil等[3-4]認(rèn)為只有在表面電導(dǎo)可完全忽略的飽和多孔介質(zhì)這一特殊情況下方程才能適用。在經(jīng)典Archie方程的基礎(chǔ)上，目前已有許多經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c理論模型被提出且應(yīng)用于描述無(wú)黏土礦物影響的飽和多孔介質(zhì)的導(dǎo)電模型中[2]。

目前，研究人員從多孔介質(zhì)物理性質(zhì)的角度對(duì)Archie方程中的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行了解釋，發(fā)現(xiàn)參數(shù)與多孔介質(zhì)的物理結(jié)構(gòu)性質(zhì)有關(guān)[5-6]。Sahimi[7]得到經(jīng)驗(yàn)參數(shù)m隨多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙網(wǎng)絡(luò)連通性的減小而增大的結(jié)論。Winsaner[8]提出了曲折度與結(jié)構(gòu)因子有一定的相關(guān)性。Choo等[9]研究發(fā)現(xiàn)，曲折度和結(jié)構(gòu)因子之間的相關(guān)性，并考慮了曲折度的影響從而對(duì)Archie方程進(jìn)行了修正。焦乃林等[10]從微觀尺度著手，建立了同時(shí)考慮地層巖石電導(dǎo)率、顆粒電導(dǎo)率、地層水電導(dǎo)率及膠結(jié)指數(shù)的致密砂巖動(dòng)態(tài)滲透率預(yù)測(cè)模型。Wei等[11]以多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)參數(shù)(如孔隙度、分形維數(shù))為基礎(chǔ)，得到巖石整體電導(dǎo)率的理論表達(dá)式，由表達(dá)式同樣得出多孔介質(zhì)電導(dǎo)率與其內(nèi)部物理幾何性質(zhì)相關(guān)的結(jié)論。韋偉[12]結(jié)合PSF(pore-soild fractal)模型，建立了非飽和巖石電導(dǎo)率與孔隙介質(zhì)微結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的理論關(guān)系。王京悉[13]認(rèn)為儲(chǔ)層巖石孔隙的幾何形狀對(duì)其電導(dǎo)率的影響很大，在此基礎(chǔ)上建立了適用于多孔介質(zhì)的導(dǎo)電模型，同時(shí)以巖心數(shù)據(jù)和測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將模型計(jì)算得到的飽和度與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，兩者一致性較高。

巖石、土壤等天然多孔介質(zhì)均表現(xiàn)出一定分形特性。Mandelbrot[14]第一次提出了分形理論，以此解釋自然界中不規(guī)則且具有高度復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。分形是具有非整數(shù)維形式的集合，這類集合在某種意義上附加有嚴(yán)格的或統(tǒng)計(jì)自相似屬性，其已被廣泛地用于模擬各種物理現(xiàn)象。Katz等[15]通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，首先提出了砂巖樣品內(nèi)孔隙空間是分形的觀點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，Yu等[16]研究發(fā)現(xiàn)分形模型有助于簡(jiǎn)化多孔介質(zhì)的輸運(yùn)特性，也進(jìn)一步證明了多孔介質(zhì)的分形特性。不僅如此，分形理論在許多領(lǐng)域都引起足夠的重視并都得到了很好的運(yùn)用，如油藏儲(chǔ)層孔隙結(jié)構(gòu)的表征[17]、多孔介質(zhì)滲透特性的研究[18]、土壤水力性質(zhì)的預(yù)測(cè)[19]、儲(chǔ)層裂縫形態(tài)分布[20-22]等。與傳統(tǒng)模型不同，分形模型可以對(duì)多孔介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行直接描述或試驗(yàn)驗(yàn)證。

即使目前各種經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c理論模型得到了快速發(fā)展，但電導(dǎo)率和內(nèi)部孔隙之間的關(guān)系卻十分復(fù)雜，尤其是在低孔隙度組成結(jié)構(gòu)中。研究人員從不同的角度對(duì)多孔介質(zhì)電導(dǎo)率模型進(jìn)行研究，這極大地促進(jìn)了對(duì)多孔介質(zhì)微觀物理結(jié)構(gòu)如何影響其宏觀電導(dǎo)性的理解?；诜中卫碚摚⒘诉m用于飽和多孔介質(zhì)的電導(dǎo)率模型，并以現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對(duì)推導(dǎo)電導(dǎo)率模型的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，探究試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型計(jì)算結(jié)果是否具有較高的一致性，從而進(jìn)一步促進(jìn)多孔介質(zhì)電導(dǎo)模型的發(fā)展。

1 方法原理

經(jīng)典Archie方程主要描述儲(chǔ)層巖石內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)與其宏觀電導(dǎo)率的變化關(guān)系，方程為

(1)

式(1)中：F為結(jié)構(gòu)因子；σw、σ分別為巖石內(nèi)部孔隙水的電導(dǎo)率及巖石的電導(dǎo)率；φ為儲(chǔ)層巖石的孔隙度；a、m均為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。

由于Archie方程有一定的局限性，研究人員對(duì)其進(jìn)行了一定的修正，其中考慮曲折度的影響所得到的修正公式為[9]

(2)

式(2)中：T為曲率。

在歐幾里得幾何中，規(guī)則物體的度量結(jié)果相對(duì)于所使用的度量單位是不變的，而自然界中許多物體，如海岸線、湖泊和島嶼等并不遵循歐幾里得描述特性，因?yàn)樗鼈儤O其無(wú)序且不規(guī)則，其長(zhǎng)度、面積的度量均與度量尺度有關(guān)。類似物體稱為分形，這些物體的維數(shù)稱為分形維數(shù)。分形物體的度量M(L)與測(cè)量尺度L滿足標(biāo)定規(guī)律為[14]

M(L)～LDf

(3)

式(3)中：M為曲線的長(zhǎng)度、曲面的面積、立方體的體積或物體的質(zhì)量；Df為所測(cè)物體的分形維度。

多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙系統(tǒng)同樣具有分形屬性，在此基礎(chǔ)上，Yu等[23]提出了多孔介質(zhì)孔隙系統(tǒng)直徑-數(shù)量關(guān)系式，可表示為

(4)

式(4)中：λ為孔隙直徑；N為孔隙直徑測(cè)量值L大于λ的總數(shù)；λmax為最大孔徑。

1.1 多孔介質(zhì)的分形維數(shù)

對(duì)于多孔介質(zhì)復(fù)雜系統(tǒng)，其內(nèi)部孔隙最小孔徑與最大孔徑通常相差兩個(gè)數(shù)量級(jí)以上。將最小孔徑λmin代入式(4)可得

(5)

式(5)中：Nt為孔隙直徑測(cè)量值L大于最小孔徑λmin的總數(shù)。

對(duì)式(4)兩邊取微分可得

(6)

將式(6)與式(5)兩者相除，可得

(7)

(8)

以謝爾賓斯基地毯模型為基礎(chǔ)，Yu等[16]得出在飽和多孔介質(zhì)中，孔隙度可以根據(jù)分形維數(shù)定義為

(9)

式(9)中：DE為歐幾里得維度，在三維空間里取DE=3。

孔隙分形維數(shù)Df可以通過(guò)幾種不同的方法獲得，如顯微圖形分析、核磁共振、保水性或毛細(xì)管壓力測(cè)量等，但目前沒(méi)有明顯的證據(jù)證明上述方法計(jì)算得到的Df值是否足夠精確。以式(9)為基礎(chǔ)，可以得到Df的理論表達(dá)式為

(10)

式(10)表明：當(dāng)Df=3時(shí)，多孔介質(zhì)內(nèi)三維空間變成全孔隙空間(無(wú)固體顆粒存在)，此時(shí)孔隙度φ=1，因此Df值總是小于3。

1.2 電導(dǎo)率—孔隙率模型

在多孔介質(zhì)微觀輸運(yùn)特性的研究中，研究人員多將多孔介質(zhì)簡(jiǎn)化為一簇變截面毛細(xì)管組成的毛細(xì)管束，而彎曲的毛細(xì)流管束同樣被認(rèn)為具有分形特性，則毛細(xì)管的直徑λ與長(zhǎng)度L滿足的分形標(biāo)度關(guān)系有[18]

(11)

式(11)中：L(λ)為彎曲毛細(xì)管的實(shí)際長(zhǎng)度；L0為彎曲毛細(xì)管的直線距離；DT為毛細(xì)管曲率分形維數(shù)，對(duì)于三維空間，其取值范圍為1≤DT<3，DT=1對(duì)應(yīng)于直毛細(xì)管，DT值越高，毛細(xì)管形態(tài)越曲折，DT=3則意味著曲折的毛細(xì)流管充滿了整個(gè)三維空間，而毛細(xì)管彎曲度越高，多孔介質(zhì)內(nèi)液體流動(dòng)阻力也就越大。

將式(11)改寫為曲率T的表達(dá)形式為

T(λ)=L(λ)/L0=(L0/λ)DT-1

(12)

Feng等[24]認(rèn)為使用平均曲率Tav代替式(12)中的T更合適，假設(shè)流體流經(jīng)所有內(nèi)部孔道并均勻分布，因此可以得到Tav的表達(dá)式為

(13)

式(13)將所有的孔徑范圍考慮在內(nèi)，因此其被嚴(yán)格地應(yīng)用在飽和多孔介質(zhì)這一條件下。

Feng等[24]分別給出了二維空間與三維空間下L0/λmin的計(jì)算表達(dá)式，其中在三維空間下L0/λmin的表達(dá)式為

(14)

聯(lián)立式(9)與式(14)，可得

(15)

聯(lián)立式(13)與式(15)，可得Tav的表達(dá)式為

(16)

聯(lián)立式(2)與式(16)，即可獲得飽和多孔介質(zhì)的電導(dǎo)率模型，可表示為

(17)

由式(17)可知，電導(dǎo)率與多孔介質(zhì)孔隙度、孔隙內(nèi)流體電導(dǎo)率、曲率分形維度和孔隙分形維度有關(guān)。當(dāng)毛細(xì)管為直管時(shí)，電導(dǎo)率模型可以簡(jiǎn)化為σ=σwφ。Wei等[11]認(rèn)為上述電導(dǎo)率模型中相關(guān)變量之間并不是相互獨(dú)立存在，變量之間存在著一定相關(guān)性，其中DT可以表示為

DT=(4-Df)+(3-Df)lg[Df/(Df-1)]/lgφ

(18)

Archie方程為分形多孔介質(zhì)的理論電導(dǎo)率模型的一種特殊情形存在，新的電導(dǎo)率模型雖然在表達(dá)形式上較為復(fù)雜，但其是以相應(yīng)的物理幾何為基礎(chǔ)，更有助于進(jìn)一步理解Archie方程中的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)與多孔介質(zhì)內(nèi)微觀結(jié)構(gòu)的性質(zhì)有關(guān)。

2 應(yīng)用實(shí)例

經(jīng)過(guò)上述模型的推導(dǎo)，結(jié)構(gòu)因子F可表示為

(19)

為了對(duì)所提出電導(dǎo)率模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行評(píng)估，選取兩組實(shí)測(cè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)[25-26]，兩組數(shù)據(jù)中不同樣本的具體參數(shù)取值如表1[25]、表2[26]所示。表1、表2中所有樣本均為砂巖且孔隙度均為完整砂巖體內(nèi)部孔隙之和與該巖樣體積的比值，表1中4種Price River砂巖為不同深度測(cè)井內(nèi)所得。

將表1中部分已知數(shù)據(jù)φ、Df、DT代入式(19)中，得到結(jié)構(gòu)因子F的計(jì)算值，將其與表1中結(jié)構(gòu)因子實(shí)測(cè)值F1進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖1(a)所示。同理，將表2中部分已知數(shù)據(jù)φ、Df、DT代入式(19)中，得到結(jié)構(gòu)因子F的計(jì)算值，將其與表2中結(jié)構(gòu)因子實(shí)測(cè)值F2進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖1(b)所示。

表2 不同樣本的參數(shù)值[26]Table 2 Parameter values of different samples[26]

由圖1可以看出，利用所建立的多孔介質(zhì)電導(dǎo)率模型計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)因子與已有的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)果吻合較好，特別是孔隙度較高時(shí)?？偟膩?lái)說(shuō)，孔隙度與結(jié)構(gòu)因子呈現(xiàn)出相反的變化趨勢(shì)。

對(duì)于低孔隙度變化范圍，如圖1(a)，結(jié)構(gòu)因子的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之間存在一些不規(guī)則的分散性?？紤]到所選擇試驗(yàn)樣本受內(nèi)部孔隙空間相互連通性的控制，而孔隙空間的連通性與彎曲度、滲流閾值以及液體輸運(yùn)臨界路徑有關(guān)，這些因素一定程度上導(dǎo)致了低孔隙度變化范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)因子的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之間的顯著差異。Oren等[27]在對(duì)結(jié)構(gòu)因子與孔隙度的研究中也發(fā)現(xiàn)有相同的離散現(xiàn)象存在(顯著差異存在)。

圖1 結(jié)構(gòu)因子的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值Fig.1 The calculated and measured values of structure factor

在某些情形下，孔隙分形維數(shù)Df未知，式(10)可以作為一種手段對(duì)其進(jìn)行求解。選取表1中的孔隙度，通過(guò)式(10)計(jì)算出Df的值，其中λmin/λmax的值取0.01。將計(jì)算得到的Df，表1 中的φ、DT值代入式(19)中，得到結(jié)構(gòu)因子的計(jì)算值，同樣將其與表1結(jié)構(gòu)因子F1實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖2所示。

表1 不同樣本的參數(shù)值[25]Table 1 Parameter values of different samples[25]

圖2 結(jié)構(gòu)因子F的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值[Df由式(10)所得]Fig.2 The calculated and measured values of structure factor F[the value of Df is derived from equation (10)]

由圖2可以看出，除了孔隙度值較低的情況外(如孔隙度小于0.13)，式(19)所建立的電導(dǎo)率模型與現(xiàn)有的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合度很高，這也證明了通過(guò)式(10)計(jì)算Df值的方法具有較高的可行性。

事實(shí)上，考慮到多孔介質(zhì)系統(tǒng)內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，在低孔隙度范圍內(nèi)，尤其是當(dāng)孔隙度小于0.13時(shí)，通過(guò)電導(dǎo)率模型計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)因子和現(xiàn)有實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中的結(jié)構(gòu)因子表現(xiàn)出顯著的差異性現(xiàn)象，如圖1(a)、圖2所示，原因在于：① 孔隙度越小，多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙的相互連接就越復(fù)雜，其內(nèi)部整體結(jié)構(gòu)也越復(fù)雜，從宏觀上看，這導(dǎo)致了各種理論分形維數(shù)在測(cè)量精度上的不足；② 基于各種假設(shè)進(jìn)行電導(dǎo)率模型推導(dǎo)的局限性，這種局限性可歸因于每個(gè)多孔介質(zhì)內(nèi)都有其獨(dú)特的孔隙幾何分布，是采用砂巖樣本進(jìn)行模型的驗(yàn)證。而目前對(duì)于多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)研究主要集中在很少的幾個(gè)結(jié)構(gòu)特征參數(shù)上，難以從整體上把握多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)的共性特征和差異性規(guī)律[28]。因此，目前還沒(méi)有通用的電導(dǎo)率模型能夠準(zhǔn)確有效地解釋電導(dǎo)率與孔隙度之間的關(guān)系。

3 結(jié)論

(1)多孔介質(zhì)孔隙的分形維數(shù)反映其內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度。在多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙具有分形特征的基礎(chǔ)上，基于分形幾何理論，建立了飽和多孔介質(zhì)的電導(dǎo)率模型，模型考慮了曲折度的影響，而曲折度是孔隙度φ、孔隙分形維數(shù)Df、曲率分形維數(shù)DT的函數(shù)。利用現(xiàn)有實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)所推導(dǎo)的電導(dǎo)率模型進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)基于電導(dǎo)率模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)因子的變化趨勢(shì)大致相同，證明所得電導(dǎo)率模型可得到較為準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)因子數(shù)據(jù)。

(2)多孔介質(zhì)電導(dǎo)率和孔隙度之間的關(guān)系遠(yuǎn)比已推導(dǎo)的各種經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ透鼮閺?fù)雜，特別是在低孔隙度范圍內(nèi)，如本文低孔隙度變化區(qū)間內(nèi)，結(jié)構(gòu)因子F的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值存在一定的差異現(xiàn)象。

(3)由于多孔介質(zhì)內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，目前還沒(méi)有一種通用的電導(dǎo)率模型能夠準(zhǔn)確有效地模擬其內(nèi)部導(dǎo)電機(jī)制?，F(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀⒗碚撃Ｐ蜑槲覀儚奈⒂^輸運(yùn)的角度了解多孔介質(zhì)的宏觀導(dǎo)電性提供了指引。而實(shí)際巖土材料組成結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變，內(nèi)部孔隙尺度變化多樣，因此，本文所推得理論模型的普適性仍需更廣泛的檢驗(yàn)與驗(yàn)證。