劉小琪, 吳 穎

(北京師范大學物理學系，北京 100000 )

0 引 言

法國物理學家傅科于1851年在巴黎萬圣殿內(nèi)的拱頂上懸掛了一個擺長67m，擺錘質量為28kg的單擺，該單擺擺動周期約為16s，實驗發(fā)現(xiàn)該單擺平面繞豎直軸作順時針轉動(由上向下看)，轉動周期約為 32h，這就是著名的傅科擺實驗。傅科擺實驗無需依賴地球以外的物體，就能直觀地展示地球自轉的存在，是物理學史上最美麗的實驗之一。對傅科擺的仿真模擬研究具有重要的教學意義。

1 傅科擺的理論推導

1.1 考慮自轉的重力加速度

圖1 隨動坐標系建立示意圖

(1)

O 點加速度可以表示為

(2)

根據(jù)非慣性系中加速度的公式

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中表觀重力由自轉角速度和星球半徑?jīng)Q定

(8)

表觀重力的矢量合成如圖 2所示

圖2 表觀重力示意圖

1.2 傅科擺的運動微分方程

圖3 傅科擺受力示意圖

對于傅科擺，根據(jù)非慣性系中的牛頓第二定律有

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其中，

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由此可列出三個方向的運動微分方程

(12)

其中存在約束條件x2+y2+(l-z)2=l2，則可做出以下近似

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(14)

為了在程序中應用 ode45 指令求解微分方程，將以上微分方程組改寫為一階微分方程組

(15)

2 利用App Designer編程仿真模擬

2.1 基于功能的面板設計

為了實現(xiàn)傅科擺的模擬，需要輸入?yún)⒘坎⑤敵鰣D像和數(shù)據(jù)。基于此，設計了如圖 4 所示的面板。

圖4 程序面板

面板分為輸入、畫圖和輸出三個模塊。左側一欄為數(shù)據(jù)輸入欄，根據(jù)第一部分的理論推導，求解傅科擺的微分方程需要以下參量：擺球的初始坐標(x_initial,y_initial,z_initial)、擺球初始速度(默認為 0，由于傅科擺的速度必須垂直于擺繩的方向，用戶不能隨意設置初始速度)、傅科擺所處星球的自轉角速度(w)、傅科擺在星球上所處的緯度(λ)、星球表面的重力加速度g(考慮星球自轉，由星球質量M，星球半徑R，星球自轉角速度w，傅科擺的緯度λ決定)。

通過計算和測試，確定能夠得到較好模擬效果的參數(shù)范圍，使用滑塊組件來實現(xiàn)數(shù)據(jù)的輸入，并根據(jù)這個范圍，將滑塊的范圍設置為合適的值。

2.2 程序與用戶操作流程圖

在程序開始運行之后，用戶通過滑塊調(diào)節(jié)各個參數(shù)的大小，然后點擊“開始”按鈕，程序獲取用戶選擇的參數(shù)并開始進行微分方程的求解，在運行程序的同時，面板右側輸出欄中輸出擺球的坐標(x_now,y_now,z_now)和擺球方位角(θ_now和φ_now)的實時數(shù)據(jù)。如果用戶點擊“暫停”按鈕，畫圖和數(shù)據(jù)輸出的程序暫停運行，再點擊“繼續(xù)”按鈕時，程序繼續(xù)運行。在點擊“開始”按鈕之后，在任何時候點擊“停止”按鈕都能夠使程序關閉。在點擊“開始”按鈕之后，用戶仍然可以通過滑塊改變參數(shù)，以新參數(shù)重新開始計算。程序運行與用戶操作的流程圖如圖 5 所示。

圖5 程序運行與用戶操作流程圖

3 仿真模擬結果

為了方便使用者對傅科擺的運動過程進行觀察，可調(diào)的能實時變化的視角十分重要。 view 語句包含水平視角和俯仰視角，其中水平視角可調(diào)范圍是 0° 到360°；俯仰視角范圍需要從-90°到 90°才能實現(xiàn)俯仰的全部視角。

為了得到較好的圖像呈現(xiàn)效果，坐標軸的選取十分重要。首先是坐標軸范圍，由于的初始的擺球位置和擺線長度都是不確定的，所以在程序中采用的坐標軸范圍是根據(jù)用戶的設置而變化的；其次，為了呈現(xiàn)更好的俯視圖的擺球軌跡圖像，使用 pbaspect 語句鎖定x,y軸的縱橫比。值得注意的是可以通過設計視圖右側的組件瀏覽器中的檢查器對圖像組件的初始坐標軸、是否顯示網(wǎng)格等性質進行設置，以獲得更好的圖形效果。

圖6 運行過程截圖

4 結 語

利用 MATLAB 中的App Designer 設計了一款能夠模擬其運動過程的應用程序。這款程序具有調(diào)節(jié)參數(shù)、顯示立體圖和俯視圖、設置是否顯示軌跡、實時輸出數(shù)據(jù)以及開始、停止、暫停、繼續(xù)的功能。立體圖和俯視圖的同步更新能夠直觀地顯示擺球的運動情況；右側的實時數(shù)據(jù)也印證了傅科擺弦振動面緩慢轉動的特性。本款APP 可以用于傅科擺運動的輔助學習，有助于更加直觀地了解傅科擺的運動特性。