李寶麟, 郭林峰

(西北師范大學，甘肅 蘭州 730070)

1 引 言

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是俄國數(shù)學家和力學家A.M李雅普諾夫在1892年所創(chuàng)立的用于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論.文獻[1]給出了隨機半穩(wěn)定非線性動態(tài)系統(tǒng)的李雅普諾夫定理及李雅普諾夫逆定理,文獻[2]得到了在緊集上具有擾動取值的離散時間系統(tǒng)的李雅普諾夫逆定理.文獻[3]考慮了Caratheodory型的廣義常微分方程系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性的逆定理.文獻[4]通過測度泛函微分方程與廣義常微分方程的對應關(guān)系,依據(jù)廣義常微分方程的李雅譜諾夫定理得到了測度泛函微分方程的李雅普諾夫定理.

本文利用脈沖測度泛函微分方程與測度泛函微分方程的等價關(guān)系,依據(jù)廣義常微分方程的李雅普諾夫逆定理得到了脈沖測度泛函微分方程

(1)

的李雅譜諾夫逆定理.其中J0=[t0,t1],Jk=(tk,tk+1],k∈Z+,{tk}k∈Z+是遞增的正實序列,

(2)

2 預備知識

引理2.2[6]令m∈N,{tk}k∈Z+為遞增序列, 且t1≥t0,B?Rn,I1,…,Im:B→Rn,

P=G([-r,0],B).f:P×[t0,t0+σ]→Rn假定g:[t0,+∞]→R左連續(xù), 在t1,…,tm處連續(xù). 對每個y∈P定義

則x∈G([t0-r,t0+σ],B)是脈沖泛函微分方程

的解當且僅當它是測度泛函微分方程

(3)

的解.

3 主要結(jié)果

定理3.1設f:S×[t0,+∞)→Rn,g:[t0,+∞)→R,Ik:B→Rn滿足以下條件

(B1) 對每個y∈O,f(yt,t)相對于g是Kurzweil 可積的.

(B2)存在相對于g局部 Kurzweil 可積函數(shù)m:[t0,+∞)→R使得對所有的y∈O,s1,s2∈[t0,+∞)有

‖ys-zs‖[t0,+∞)m(s)dg(s)

(B3)對每個k∈Z+,s∈[t0,+∞),存在常數(shù)mk≥0使得

‖Ik(y(tk))‖≤mk,

‖Ik(y(tk))-Ik(z(tk))‖≤‖ys-zs‖[t0,+∞)mk

VOCs中的氣體以微量存在，但具有毒性、強刺激性、致癌性和特殊的氣味性，會強烈地影響皮膚和黏膜，對人體產(chǎn)生急性損害；VOCs通過氧化、吸附、凝結(jié)等與空氣中的氧化劑、硝酸、臭氧發(fā)生反應,生成包含PM2.5和PM10的二次有機顆粒物，是大氣污染的重要來源之一；當VOCs通過光照與氮氧化物、一氧化氮、二氧化氮發(fā)生反應后，產(chǎn)生的臭氧及俗稱的光化學煙霧是夏季污染的重要成分?？傊?，VOCs是一類重要的空氣污染物，對人類身體健康和環(huán)境都有巨大的危害，減少VOCs的排放和有效地對其進行凈化處理是涂料行業(yè)的當務之急。

由引理 2.1 和引理2.2及對s1,s2∈[t0,+∞),y,z∈O, 有

類似地, 有

定理3.2設f,Ij滿足條件(B1)-(B3), 若脈沖測度泛函微分方程(1)的平凡解y≡0是積分穩(wěn)定的, 則存在一個相對于脈沖測度泛函微分方程(1)的李雅普諾夫泛函U:[t0,+∞)×S→R滿足

(a)存在一個連續(xù)遞增函數(shù)a:R+→R+滿足a(0)=0, 使得對所有的ψ∈S,t∈[t0,+∞)有

U(t,ψ)≤a(‖ψ‖)

(b)對所有的t∈[t0,+∞),U(t,0)=0.

(c)函數(shù)[s-r,+∞)t→U(t,yt(s,ψ))沿方程滿足初始條件ys=ψ的每個解y:[s-r,+∞)→Rn是不增的.