白瑞蒲,劉山

(1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 河北 保定 071002；2.河北省機器學(xué)習(xí)與智能計算重點實驗室，河北 保定 071002 )

3-李代數(shù)[1-4]A是域F上具有線性運算[,,]:A＾3→A的線性空間, 且對任意x1，x2,x3,y2,y3∈A,滿足下列恒等式

[[x1,x2,x3],y2,y3]=[[x1,y2,y3],x2,x3]+[x1,[x2,y2,y3],x3]+[x1,x2,[x3,y2,y3]].

設(shè)A是域F上的3-李代數(shù),R是A上的F-線性映射, 如果對λ∈F, 等式

[R(x1),R(x2),R(x3)]=R{[R(x1),R(x2),x3]+[R(x1),x2,R(x3)]+[x1,R(x2),R(x3)]+
λ[R(x1),x2,x3]+λ[x1,R(x2),x3]+λ[x1,x2,R(x3)]+λ2[x1,x2,x3]}

(1)

成立, 則稱R是3-李代數(shù)A上權(quán)為λ的Rota-Baxter算子[3-5], 稱(A,[,,],R)為權(quán)為λ的Rota-Baxter 3-李代數(shù).

引理1[3]設(shè)(A,[,,],R)為權(quán)為λ的Rota-Baxter 3-李代數(shù), 則(A,[,,]R,R)為權(quán)為λ的Rota-Baxter 3-李代數(shù), 其中[,,]R:A＾3→A滿足?x1,x2,x3∈A,

[x1,x2,x3]R=[R(x1),R(x2),x3]+[R(x1),x2,R(x3)]+[x1,R(x2),R(x3)]+
λ[R(x1),x2,x3]+λ[x1,R(x2),x3]+λ[x1,x2,R(x3)]+λ2[x1,x2,x3].

(2)

在本文的討論中, 全體整數(shù)集合記為Z.文獻[4]中, 利用無限維交換的結(jié)合代數(shù)構(gòu)造出單的無限維3-李代數(shù)Aω, 其中{Ln|n∈Z}為Aω的一組基, 域F為復(fù)數(shù)域, 其運算為

對Aω上權(quán)為λ的Rota-Baxter算子R, 如果存在可加映射h:Z→F使得

R(Lm)=h(m)Lm,?m∈Z,

(3)

則稱R是3-李代數(shù)Aω上權(quán)為λ的齊性Rota-Baxter算子[6-10]. 文獻[5]中研究了3-李代數(shù)Aω上權(quán)為1的齊性Rota-Baxter算子. 在Aω基空間上由齊性Rota-Baxter算子按照引理1構(gòu)造的3-李代數(shù)稱為齊性Rota-Baxter 3-李代數(shù).

本文要利用齊性Rota-Baxter算子構(gòu)造3-李代數(shù). 為此, 需要首先對文獻[5]的結(jié)論進行修正. 為方便起見，在以下的討論中, 記Z+={m|m∈Z,m≥0},且在3-李代數(shù)的乘法表中, 省略掉乘積等于零的基向量運算.

主要結(jié)論

定理1Aω上權(quán)為1且滿足h(0)+h(1)+1≠0的齊性Rota-Baxter算子如下:

R1(Lm)=0;R2(Lm)=-Lm,?m∈Z;

其中α∈F≠-1,B∈F≠0,m0∈Z.

證明：由文獻[5]中定理3.5可得R1,R2,R3,R4,R5和R6.設(shè)R為式(3)中定義的線性映射, 由式(1)知R為Aω上權(quán)為1且滿足h(0)+h(1)≠0的齊性Rota-Baxter算子當且僅當下列等式成立, 對?m,n,k∈Z,m≠n,

h(2m)h(2n)h(2k+1)=h(2m+2n+2k)(h(2m)h(2n)+h(2m)h(2k+1)+
h(2n)h(2k+1)+h(2m)+h(2n)+h(2k+1)+1),

(4)

h(2m+1)h(2n+1)h(2k)=h(2m+2n+2k+1)(h(2m+1)h(2n+1)+h(2m+1)h(2k)+
h(2n+1)h(2k)+h(2m+1)+h(2n+1)+h(2k)+1).

(5)

由文獻[5]中定理3.7、定理3.8以及定理3.10, 如果R滿足: 存在m0,m1∈Z,m00,使得h(2m0+2km0)=h(1+2km0)=-1,?k∈Z+,且h(m)=0對于剩余的m∈Z,則得到算子R9,m0=1.如果R滿足: 存在m0∈Z,m0>0,使得h(-2m0+2km0)=h(1+2km0)=-1,?k∈Z+,且h(m)=0對于其余m∈Z, 可得R10,m0=1.如果R滿足:存在l0,n0∈Z,l0,n0>0,l0≠n0,使h(0)=h(1)=h(2n0+2k)=h(1+2l0+2k)=-1,?k∈Z+,且h(m)=0對于其余m∈Z, 得到R11和R12，其中l(wèi)0=2,n0=1或l0=1,n0=2.如果R滿足:存在m0,m1∈Z,m10,使得h(2m0-2km0)=h(1-2km0)=-1,?k∈Z+,且h(m)=0對于其余m∈Z,得到R16,其中m0=1.如果R滿足:存在m0,l0∈Z,m0,l0>0,m0≠l0,使h(0)=h(1)=h(2n0-2k)=h(1+2l0-2k)=-1,?k∈Z+,得到R17和R18,且l0=-2,m0=-1或l0=-1,m0=-2.如果R滿足:存在m0∈Z,|m0|>1,使得h(2km0)=h(1+2km0)=0,?k∈Z,且h(m)=0對其余m∈Z,得到R19,其中m0=2.如果R滿足存在m0∈Z,|m0|>1,使h(2km0)=h(1+2km0)=-1,?k∈Z且h(m)=0對其余m∈Z,可得R20且m0=2.證畢.

定理2設(shè)V是3-李代數(shù)Aω的基空間, 則在V上以Aω上權(quán)為1且滿足h(0)+h(1)+1=0的齊性Rota-Baxter算子按照引理1構(gòu)造的3-李代數(shù)在同構(gòu)的意義下有且僅有如下5類:

C1:Aω;

C2:[L0,L2k1+1,L2k2+1]C2=4(k2-k1)L2(k1+k2)+1,?k1,k2∈Z;

證明:記由齊性Rota-Baxter算子Rk構(gòu)造的齊性Rota-Baxter 3-李代數(shù)為Ak, 即Ak=(A,[,,]k,Rk),k=1,2,…,20.在以下討論中設(shè)α∈F≠-1,b∈F≠0,m0∈Z均為常數(shù).由定理1及等式(2)可知A1與A2即是Aω,得到代數(shù)C1.

直接計算可知線性變換φs:As→C2,s=3,4,5,6是代數(shù)同構(gòu), 其中

線性變換φ13:A13→C3(n0=1),線性變換φs:As→C3(n0=2),s=7,9,10與線性變換φ15:A15→C3(n0=3)是代數(shù)同構(gòu), 且代數(shù)A16與代數(shù)C3(n0=3)相同, 其中

由定理 1及式(2)可知A19與A20是代數(shù)C5.

下面證明代數(shù)Ci不同構(gòu)Cj,1≤i≠j≤5.記3-李代數(shù)Ck的中心為Z(Ck),k=1,2,…，5.由乘法表知Z(C1)=Z(C3)=Z(C4)=Z(C5)=0且Z(C2)={L2k|k≠0,k∈Z}≠0,故C2和C1,C3,C4,C5不同構(gòu);C1為單的3-李代數(shù), 直接計算可知C3的導(dǎo)代數(shù)余空間維數(shù)為8,C4(n1=2)的導(dǎo)代數(shù)余空間維數(shù)為6,C4(n1=3) 的導(dǎo)代數(shù)余空間維數(shù)為4,C5的導(dǎo)代數(shù)是C5,且C5有真理想I=〈L1+4kL4k|k∈Z〉,故C1,C3,C4,C5互相之間不同構(gòu).證畢.

定理33-李代數(shù)C2是具有非零中心的可分解3-李代數(shù), 且C2=Z(C2)⊕I,其中C(C2)=〈L2k|k∈Z,k≠0〉,I=〈L0,L2k+1|k∈Z〉.

證明:應(yīng)用定理 2可得結(jié)論.省略計算過程.證畢.

定理43-李代數(shù)C4(n1=2,3)可唯一分解為理想I4和J4的直和,即C4=I4⊕J4, 其中J4=〈Ln1,Lm|m∈Z,m<0〉,I4=〈Lm|m≠n1,m≥0,m∈Z〉.

證明:易見I4和J4為C4的理想且C4=I4⊕J4.下面證明分解的唯一性.

定理53-李代數(shù)C5可分解為理想I5和J5的直和, 即C5=I5⊕J5,其中I5=〈L1+4m,l4m|m∈Z〉,J5=〈L3+4m,l2+4m|m∈Z〉且I5與J5均與代數(shù)Aω同構(gòu).

定理63-李代數(shù)C3(n0=1,2,3)可唯一分解為理想I3和J3的直和, 即C3=I3⊕J3, 其中I3=〈Lm|m∈Z,m≥n0〉,J3=〈Lm|m∈Z,m

證明:顯然C3=I3⊕J3,且I3和J3是理想.對n0=1,2,3時分別計算I3與J3的下降中心列, 且進行與定理 4完全類似的討論, 可得對n0=1,2,3時對應(yīng)的3-李代數(shù)彼此之間不同構(gòu)且分解式唯一.證畢.