李 剛

山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250000

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，我國(guó)對(duì)分辨率圖像的要求越來(lái)越高。由于單透鏡光學(xué)成像比較昂貴，在使用過(guò)程中，對(duì)于其質(zhì)量要求有明確的嚴(yán)格限制，光學(xué)系統(tǒng)下圖像修復(fù)成為制約我國(guó)技術(shù)發(fā)展的重要因素。只有對(duì)單透鏡圖像修復(fù)方法展開(kāi)更加深入的研究分析，才能不斷促進(jìn)我國(guó)單透鏡圖像修復(fù)技術(shù)的應(yīng)用發(fā)展。

1 單透鏡光學(xué)系統(tǒng)成像原理

光學(xué)單透鏡系統(tǒng)是由一塊光學(xué)玻璃組成的光學(xué)系統(tǒng)，這種透鏡類型不同于黏著透鏡。單透鏡的兩個(gè)表面形狀不同，可以將單透鏡分為凸透鏡、凹透鏡、雙凸透鏡、雙凹透鏡等。單透鏡的球差可以用自由表面消除，但彗差等其他像差會(huì)被放大[1-2]。

單面凸透鏡可以聚焦圖像，如圖1所示。如果平行光通過(guò)一個(gè)透鏡，由于透鏡材料的不同，折射面兩側(cè)的折射率不同，導(dǎo)致光線被轉(zhuǎn)移。通過(guò)改變反射鏡的曲率，不同波段的光可以匯聚到一個(gè)地方。然而，由于像差的存在，單個(gè)透鏡無(wú)法在一點(diǎn)上完全收斂所有平行線，從而導(dǎo)致模糊。

圖1 單面凸透鏡對(duì)平行光線匯聚成像示意圖

在光學(xué)系統(tǒng)下，其傳輸順序是按照從一個(gè)表面到下一個(gè)表面的方式進(jìn)行的。不同表面之間的變形導(dǎo)致光的變形。因此，整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的光程計(jì)算是基于每個(gè)折射面的光束計(jì)算的。

2 單透鏡光學(xué)系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)仿真

2.1 光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

描述圖像降質(zhì)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型如式（1）所示：

從式（1）可以看出，光學(xué)像差對(duì)圖像質(zhì)量的影響可以用點(diǎn)定價(jià)函數(shù)來(lái)表示，在通過(guò)光系統(tǒng)的每個(gè)點(diǎn)生成的光束經(jīng)過(guò)之后，當(dāng)能夠準(zhǔn)確描述光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)時(shí)，可以較好地解決光學(xué)系統(tǒng)的圖像退化問(wèn)題。

2.2 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)空變仿真

光學(xué)系統(tǒng)下的圖像處理常常采用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)空變仿真的方式進(jìn)行，大多數(shù)都是空間不變，模糊圖像的每個(gè)部分都具有函數(shù)。對(duì)單個(gè)透鏡進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)單個(gè)透鏡的像差嚴(yán)重，光斑隨空間的變化明顯，使單個(gè)透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)不被視為空間變量即可。為了更好地描述單透鏡圖像質(zhì)量的惡化，需要提取不同視場(chǎng)下的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，這將有助于下一步的復(fù)原算法研究。

3 圖像復(fù)原問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

3.1 降質(zhì)圖像退化過(guò)程

從數(shù)學(xué)角度看，圖像退化結(jié)果可以表示為原始高質(zhì)量圖像與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積加上探測(cè)器隨機(jī)噪聲的結(jié)果。原始清晰圖像在各種因素作用下的退化過(guò)程可用數(shù)學(xué)模型表示為

根據(jù)傅里葉轉(zhuǎn)換原理，該模型在頻域的表示形式如下：

因?yàn)閳D像不是連續(xù)的，所以在實(shí)際的圖像處理中，需要將式（2）離散化：

式（4）的意義是清晰圖像的每一點(diǎn)都乘p，通過(guò)將擴(kuò)散效應(yīng)擴(kuò)展到圖像的每個(gè)點(diǎn)并加入噪聲，可以實(shí)現(xiàn)最終模糊圖像的離散表示。

3.2 模糊圖像復(fù)原問(wèn)題

圖像的模糊問(wèn)題可以表示為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的折疊效應(yīng)和偶然加性噪聲的過(guò)程。如果偶然噪聲小到可以忽略n(x,y)的影響，則式（2）可以表示為

圖像退化降質(zhì)問(wèn)題簡(jiǎn)單地歸結(jié)為原始HD圖像與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積，而反問(wèn)題的核心是退化圖像的反褶積。因?yàn)檎郫B問(wèn)題在空間上不容易解決，所以將其轉(zhuǎn)化為頻域形式，其表達(dá)式為

根據(jù)傅里葉變換理論，空間區(qū)域內(nèi)的折疊可以轉(zhuǎn)化為頻率范圍內(nèi)的乘法，這就是為什么折疊形式可以通過(guò)式（6）轉(zhuǎn)換為乘積形式，如式（7）所示：

理論上，如果圖像的偶然噪聲很小，可以忽略噪聲的影響，直接用點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和模糊圖像進(jìn)行解構(gòu)，得到清晰的圖像，但實(shí)際情況往往比較復(fù)雜，探測(cè)器產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲和測(cè)量誤差是不可避免的，不可忽視。

3.3 圖像復(fù)原的非適定性

建立圖像炭和圖像恢復(fù)的數(shù)學(xué)模型，圖像模糊問(wèn)題可以看作是原始高清晰度圖像與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)卷積后的偶然噪聲效應(yīng)，其核心是反褶積。然而，退化圖像的恢復(fù)一直是圖像處理領(lǐng)域的一個(gè)難題，主要原因是退化圖像的恢復(fù)是一個(gè)問(wèn)題，而對(duì)不適定問(wèn)題的解決往往條件較差：（1）問(wèn)題有不少于一個(gè)解（問(wèn)題的解存在）；（2）只有一個(gè)唯一解（問(wèn)題的解具有唯一性）；（3）問(wèn)題的解取決于數(shù)據(jù)的連續(xù)性（問(wèn)題的解決具有穩(wěn)定性）。不完全符合上述限制條件，則認(rèn)為該問(wèn)題不是適定問(wèn)題，而是針對(duì)不適定問(wèn)題，由于其條件性質(zhì)較差，無(wú)法得到精確解。式（5）可表示為

為了直接解決圖像恢復(fù)問(wèn)題，相應(yīng)的p（x，y）和i（x，y）的求解必須使式（8）近似為真。

4 圖像復(fù)原算法

4.1 圖像復(fù)原的先驗(yàn)約束

將退化圖像的圖像重復(fù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)亩ㄐ詥?wèn)題。圖像的灰度梯度中有許多統(tǒng)計(jì)規(guī)則。這些統(tǒng)計(jì)規(guī)則可以作為先驗(yàn)信息，限制圖像重復(fù)的方向，使圖像的重復(fù)解接近真實(shí)清晰圖像[3]。這是統(tǒng)計(jì)規(guī)則在計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域中經(jīng)常使用的，如圖像的恢復(fù)、馬賽克的去除、單個(gè)圖像的高分辨率實(shí)現(xiàn)。信息學(xué)的視角變得越來(lái)越無(wú)效，這就是為什么需要在圖像中添加有效的信息成分，通過(guò)引入圖像來(lái)清除圖像。因此，合理的先驗(yàn)設(shè)計(jì)是解決圖像恢復(fù)問(wèn)題的關(guān)鍵[4]。

基于對(duì)自然圖像的各種統(tǒng)計(jì)研究，兩個(gè)相鄰像素之間的差值通常較小或接近零。矩陣的稀疏分布是指矩陣中大部分位置的值為零或接近零，其統(tǒng)計(jì)圖形式如圖2所示。圖2（a）為自然拍攝的圖像，圖2（b）為在三個(gè)顏色通道的x方向上的顏色值統(tǒng)計(jì)。

圖2 自然圖像及其梯度統(tǒng)計(jì)

在圖像復(fù)原的數(shù)學(xué)模型中，這種稀缺分布很容易將標(biāo)準(zhǔn)L0、L1、L2的梯度矩陣G定義為，矩陣G的范數(shù)l0代表矩陣G中非零元素的個(gè)數(shù)，且值越小，矩陣中的非零元素就越少。

4.2 基于正則化方法的圖像復(fù)原算法

圖像重復(fù)算法的模糊性主要表現(xiàn)在即使指定了精確的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，恢復(fù)模糊、退化圖像的問(wèn)題仍然存在。這類壞條件問(wèn)題不能用數(shù)學(xué)方法直接求解，解決這類條件惡劣問(wèn)題的方法是通過(guò)一定的限制條件得到一個(gè)粗略的模糊解。目前，針對(duì)這類模糊圖像恢復(fù)問(wèn)題，常用的方法為正則化的方法。實(shí)際處理過(guò)程中通常使用交替迭代的方法對(duì)此最小化問(wèn)題進(jìn)行求解。

5 結(jié)論

圖像重復(fù)設(shè)置差，是導(dǎo)致圖像退化和模糊的主要因素，文章通過(guò)數(shù)學(xué)描述圖像刪除和恢復(fù)的正反問(wèn)題，解決了圖像恢復(fù)問(wèn)題中的分辨率問(wèn)題中的圖像重復(fù)問(wèn)題以及點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)以及圖像重復(fù)的外圍條件。根據(jù)單透鏡攝影的特點(diǎn)，在產(chǎn)生規(guī)則的極限壓力之前，需要選擇合適的圖像，以減小解的范圍以確?；謴?fù)后的圖像盡可能接近理想的清晰圖像。