陳 喜，唐有綺，柳 爽

（上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海201418）

引言

隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度結(jié)構(gòu)的磁力控制在航空航天、機(jī)械工程和交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。工程實(shí)際中，機(jī)械設(shè)備可能處于高溫差的環(huán)境中或系統(tǒng)受到外部機(jī)械力作用而產(chǎn)生較大的振動(dòng)，從而降低設(shè)備的可靠性和安全性，甚至帶來重大的經(jīng)濟(jì)損失。因此，研究磁場(chǎng)作用下軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性具有理論意義和實(shí)際意義。

軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的研究最早可以追溯到Aiken［1］的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)和分析。許多優(yōu)秀的綜述反映了該領(lǐng)域不同時(shí)期的研究進(jìn)展［2-8］。王樂等［9］求解自由邊界下軸力對(duì)Timoshenko梁的橫向振動(dòng)影響。Tang等［10］研究了不同邊界條件下軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的固有頻率、模態(tài)以及臨界速度。楊曉東等［11］研究了兩端鉸支邊界條件下Timoshenko模型軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)問題。劉星光等［12］對(duì)三種典型軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行了對(duì)比。Ghayesh等［13］研究了軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁參數(shù)振動(dòng)中的周期響應(yīng)問題。Chen等［14］研究了黏彈性軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁在參數(shù)共振下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題。Ghayesh等15］研究了軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的非線性受迫振動(dòng)及其穩(wěn)定性。周遠(yuǎn)等［16］研究了黏彈性阻尼作用下軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的振動(dòng)特性。唐有綺［17］研究了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。An等18］通過廣義積分變換方法，研究了軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。文獻(xiàn)［19-20］研究了以軸向速度為周期性改變參數(shù)的軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁參數(shù)振動(dòng)問題。Hu等［21］建立了磁場(chǎng)環(huán)境下軸向運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)電材料梁的力學(xué)模型，推導(dǎo)了磁彈性振動(dòng)方程。張立保等［22］研究了磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電梁的自由振動(dòng)。文獻(xiàn)［23-24］對(duì)超導(dǎo)和鐵磁材料等構(gòu)件在電磁場(chǎng)作用下的彎曲、失穩(wěn)等問題進(jìn)行了深入的研究。王杰等［25］研究了磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電梁的主共振問題。胡宇達(dá)等［26］研究了在平行導(dǎo)線間軸向運(yùn)動(dòng)鐵磁梁的主共振問題。Liu等［27］研究了磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電梁非線性自由振動(dòng)的位移響應(yīng)。崔雪［28］推導(dǎo)了梁雙向振動(dòng)固有頻率和阻尼比的表達(dá)式。Su等［29］通過發(fā)展動(dòng)態(tài)剛度法，研究了功能梯度Timoshenko梁的自由振動(dòng)。Zhong等［30］研究了懸臂功能梯度梁在不同載荷作用下的問題。Alshorbagy等［31］基于冪律理論，研究了材料沿軸向或橫向分層的功能梯度梁的動(dòng)力特性。Lai等［32］導(dǎo)出了功能梯度梁大振幅振動(dòng)的精確解析解。Thai等［33］發(fā)展了功能梯度梁彎曲和自由振動(dòng)的各種高階剪切變形梁理論。劉金建等［34］研究了冪律指數(shù)和剪切變形對(duì)功能梯度梁彎曲和自由振動(dòng)響應(yīng)的影響，分析了軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度黏彈性梁橫向振動(dòng)的穩(wěn)定性問題。趙鳳群等［35］由Hamilton原理建立軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度Timoshenko梁運(yùn)動(dòng)微分方程組。鄧昊等［36］求解了沿軸向指數(shù)分布的功能梯度Timoshenko梁的狀態(tài)空間傳遞矩陣方程。隨歲寒等［37］研究了軸向勻速運(yùn)動(dòng)功能梯度梁的穩(wěn)定性，變速運(yùn)動(dòng)時(shí)的參數(shù)振動(dòng)及其穩(wěn)定性。

然而文獻(xiàn)［9-20］只研究了軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的振動(dòng)特性，文獻(xiàn)［34-35］也只研究了軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度梁的振動(dòng)特性，都未考慮磁場(chǎng)作用的影響；文獻(xiàn)［21-28］只研究了磁場(chǎng)作用下軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的振動(dòng)特性，未涉及功能梯度材料的性質(zhì)對(duì)振動(dòng)特性的影響；文獻(xiàn)［29-33，36］只研究了靜態(tài)功能梯度梁的振動(dòng)特性，未考慮陀螺項(xiàng)的影響。目前針對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性還存在一些問題，比如衰減系數(shù)和固有頻率的對(duì)應(yīng)性問題。本文研究了磁場(chǎng)中軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度Timoshenko梁的振動(dòng)特性，給出了其對(duì)應(yīng)的控制方程組和簡支邊界條件。取適當(dāng)參數(shù)，使用復(fù)模態(tài)法得到了速度和頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到了前四階固有頻率和衰減系數(shù)，并通過微分求積法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 控制方程

如圖1所示，長l、高h(yuǎn)、寬b的矩形梁，所受單位面積軸向拉力為P。功能梯度導(dǎo)磁梁置于磁場(chǎng)強(qiáng)度為B（0，By，0）的橫向恒定磁場(chǎng)中，并以速度c沿x軸方向運(yùn)動(dòng)。

圖1 磁場(chǎng)作用下軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度梁的物理模型Fig.1 The physical model of axially moving functionally graded beam under magnetic field

兩種材料的彈性模量E（z）、密度ρ（z）、電導(dǎo)率λ（z）、剪切模量G（z）均沿厚度方向按各組分體積以冪函數(shù)形式梯度變化

式中z為橫截面上任意點(diǎn)距幾何中面的距離，n為功能梯度指數(shù)，A=h×b為截面積。

假設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)建立在功能梯度材料梁的中性面上，功能梯度材料梁中金屬材料組分的體積比例系數(shù)Vn為梁厚度方向坐標(biāo)z1的冪函數(shù)

式中n為梯度指數(shù)，z0為梁中性面真實(shí)位置與文獻(xiàn)［37］假設(shè)距梁上表面1/2處的中性面之間的距離。根據(jù)Timoshenko梁修正理論，假設(shè)φ為梁截面彎曲轉(zhuǎn)角，可知功能梯度材料梁的正應(yīng)力表達(dá)式為

功能梯度梁彎曲時(shí)橫截面正應(yīng)力應(yīng)滿足以下表達(dá)式

軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度梁受電磁場(chǎng)作用產(chǎn)生的感應(yīng)電流密度

式中w（x，t）為梁運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的橫向振動(dòng)位移，V為速度矢量，i，j和k分別為沿坐標(biāo)軸x，y和z方向的單位向量。

感應(yīng)電流密度產(chǎn)生的洛倫茲力為

動(dòng)能為

勢(shì)能為

電磁虛功W1的變化可寫為

變形功W2的變化可寫為

應(yīng)力和應(yīng)變分別為

式中σx（x，t）和εx（x，t）分別為正應(yīng)力和正應(yīng)變，τzx（x，t）和γzx（x，t）分別為剪應(yīng)力和剪應(yīng)變，k為Timoshenko梁的截面形狀因子，α為Timoshenko梁的黏彈性系數(shù)。

基于Hamilton原理

可以得到其無量綱形式的控制方程組和相應(yīng)的簡支邊界條件：

式中η=1/［1+ks/（2EA/l）］為支撐剛度參數(shù)；ks為支撐剛度。支撐剛度參數(shù)的變化范圍為0-1。當(dāng)支撐為完全剛性支撐時(shí)（ks→+∞），η=0；當(dāng)支撐為完全柔性支撐時(shí)（ks=0），η=1。其他無量綱參數(shù)為

2 復(fù)模態(tài)方法

假定式（18）和（19）具有分離變量的形式：

式中cc表示前面各項(xiàng)的復(fù)共軛。四階齊次線性復(fù)系數(shù)常微分方程組的解可以寫為

將式（22），（23）和（24）代入式（18）導(dǎo)出

其中解耦式（18）和（19），并將式（22），（23）和（24）代入解耦后的式子得到

整理得到頻率方程

從而導(dǎo)出模態(tài)函數(shù)

其中

給定陶瓷和金屬材料的物性參數(shù)如表1所示，若給 定n=1，λ=1.17×106，η=0.5，k1=76.1836，k2=

表1 陶瓷和金屬材料的物性參數(shù)Tab.1 Physical properties of ceramic and metal materials

4.4×10-3，kf=0.8781和γ=2，對(duì)于不同的磁場(chǎng)強(qiáng)度By，前兩階固有頻率隨軸向速度的變化如圖2所示。當(dāng)By=2.5，n=1時(shí)，在不同支撐剛度參數(shù)下前兩階固有頻率隨軸向速度的變化如圖3所示。當(dāng)By=2.5，η=0.5時(shí)，在不同功能梯度指數(shù)下前兩階固有頻率隨軸向速度的變化如圖4所示。

從圖2-4中可以明顯看出，固有頻率隨著軸速的增加而連續(xù)減小。當(dāng)固定軸向運(yùn)動(dòng)速度時(shí)，從圖2（a）中可以看出，較大的磁場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)應(yīng)較小的固有頻率；從圖2（b）中可以看出，磁場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)于二階固有頻率的影響較小。因此，磁場(chǎng)強(qiáng)度的引入，使一階系統(tǒng)的臨界速度有了明顯的減小。從圖3中可以看出，當(dāng)固定軸向運(yùn)動(dòng)速度時(shí)，較大的支撐剛度參數(shù)對(duì)應(yīng)較大的固有頻率。因此，支撐剛度參數(shù)的引入，使系統(tǒng)的臨界速度有了顯著的增加。當(dāng)固定軸速時(shí)，從圖4中可以看出，較大的功能梯度指數(shù)對(duì)應(yīng)較小的固有頻率。功能梯度梁的固有頻率在兩種材料非功能梯度梁的固有頻率之間隨n的變化而變化。

圖2 不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下前兩階固有頻率隨軸向速度的變化Fig.2 The variation of the first two natural frequencies with axial velocity under different magnetic field intensities

圖3 不同支撐剛度參數(shù)下前兩階固有頻率隨軸向速度的變化Fig.3 The variation of the first two natural frequencies with axial velocity under different support stiffness parameters

圖4 不同功能梯度指數(shù)下前兩階固有頻率隨軸向速度的變化Fig.4 The variation of the first two natural frequencies with axial velocity under different functional gradient indices

3 數(shù)值驗(yàn)證

本節(jié)引入微分求積法［38-40］對(duì)以上近似解析解進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。Timoshenko梁的計(jì)算區(qū)域?yàn)閤∈［0，1］。x方向的網(wǎng)點(diǎn)數(shù)為N。通過微分求積法將控制方程（18）-（20）離散為：

應(yīng)用修正權(quán)系數(shù)法修正后寫為矩陣形式

式中M，G和K分別為質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣。它們的維數(shù)均為2N×2N。S表征廣義矩陣，其維數(shù)為2N×1。

給定N=15，n=1，By=2.5，λ=1.17×106，η=0.5，k1=76.1836，k2=4.4×10-3，kf=0.8781和γ=2，圖5給出了線性派生系統(tǒng)前四階的衰減系數(shù)和固有頻率隨著軸向速度的變化情況的兩種處理結(jié)果的比較。δ1，δ2，δ3，δ4分別表示前四階的衰減系數(shù)；ω1，ω2，ω3，ω4分別表示前四階相應(yīng)的固有頻率。從中可以看出，衰減系數(shù)呈現(xiàn)不對(duì)稱性。圖6為圖5中點(diǎn)a，b，c位置放大圖。圖中連續(xù)的線表示解析出的前四階衰減率以及固有頻率，不連續(xù)的點(diǎn)則表示數(shù)值分析的結(jié)果。對(duì)比結(jié)果表明，解析的結(jié)果與數(shù)值分析的結(jié)果在數(shù)值上是十分相近的。當(dāng)不考慮磁場(chǎng)時(shí)，一階與二階、一階與三階、二階與四階固有頻率分別在點(diǎn)a，b，c處產(chǎn)生耦合，三點(diǎn)處相關(guān)的固有頻率完全相等（相應(yīng)的衰減系數(shù)不同），不會(huì)出現(xiàn)分離。當(dāng)考慮磁場(chǎng)時(shí)，三點(diǎn)處相關(guān)的固有頻率依然存在耦合，但是數(shù)值已有差別，此時(shí)耦合固有頻率具有分離特性。

圖5 前四階衰減系數(shù)和固有頻率隨軸向速度的變化Fig.5 The attenuation coefficients and the natural frequencies of the first four orders vary with axial velocity

圖6 點(diǎn)a，b，c放大圖Fig.6 Partial magnifications of points a，b and c

4 結(jié)論

本文運(yùn)用復(fù)模態(tài)法和微分求積法研究了磁場(chǎng)作用下軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度Timoshenko梁的振動(dòng)特性。通過一系列的數(shù)值算例，描述了磁場(chǎng)強(qiáng)度、功能梯度指數(shù)和支撐剛度參數(shù)變化對(duì)固有頻率的影響。研究結(jié)果表明：隨著軸向運(yùn)動(dòng)速度的增大，梁的固有頻率減小的速度越來越快。隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度和功能梯度指數(shù)的增大，梁的固有頻率減??；隨著支撐剛度參數(shù)的增大，梁的固有頻率增大，但其隨軸向速度的增大而減小的速度越來越慢。磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化對(duì)于第二階固有頻率影響并不明顯。衰減系數(shù)呈現(xiàn)不對(duì)稱性，耦合固有頻率呈現(xiàn)分離性。