王徐盱,張宏昊,賴強(qiáng)

(華東交通大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院,江西 南昌 330013)

憶阻器是用來描述磁通和電荷之間的關(guān)系,除電容、電阻、電感之外的第四個(gè)基本電路元件。2008年,惠普公司[1]在《自然》 上報(bào)道研制出了具有典型憶阻特征的憶阻器,這一結(jié)果不僅證明了Chua[2]于1971 年從理論上預(yù)測憶阻器存在的準(zhǔn)確性,還為電路設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供了全新的思路和發(fā)展空間。憶阻器是一個(gè)體積小、能耗低且具有記憶功能的非線性電路元件,因此被廣泛應(yīng)用于構(gòu)造混沌電路。Lozi 等[3]在蔡氏電路中觀察到三種不同的吸引子共存現(xiàn)象。Itoh等[4]采用分段線性模型憶阻器替換經(jīng)典蔡氏電路中的蔡氏二極管實(shí)現(xiàn)了第一個(gè)憶阻器混沌系統(tǒng),而Muthuswamy[5]采用光滑模型憶阻器也完成了類似工作。Bao 等[6]通過分析一個(gè)變形蔡氏電路,研究其隱藏吸引子和共存吸引子,并且這些吸引子的吸引域不包括平衡點(diǎn)鄰域,因此一般的數(shù)值分析方法不適用于探究隱藏吸引子。此外,該學(xué)者帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)又在Chen 混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個(gè)具有雙憶阻器的混沌系統(tǒng)電路,并研究了憶阻系統(tǒng)的隱藏極端多穩(wěn)態(tài)和超混沌[7]。Jin 等[8]提出了兩種基于憶阻器的極端多穩(wěn)態(tài)混沌 Shinriki 振蕩器,并研究了其 FPGA (Field Programmable Gate Array,現(xiàn)場可編程邏輯門陣列)實(shí)現(xiàn)。Li 等[9]將憶阻器與文氏振蕩電路結(jié)合設(shè)計(jì)了一類文氏憶阻混沌電路。Wang 等[10]提出一種可產(chǎn)生2N渦卷和2N+1 渦卷混沌吸引子的多分段線性憶阻模型電路,同時(shí)該電路還可產(chǎn)生多渦卷共存吸引子。Lai等[11]研究了具有無窮多個(gè)共存吸引子的憶阻混沌系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)、電路實(shí)現(xiàn)和同步。憶阻器特殊的非線性特性和記憶功能使其具有巨大的潛在應(yīng)用價(jià)值,憶阻混沌系統(tǒng)仍然是近年來學(xué)術(shù)界和工程界研究的熱點(diǎn)。

依賴于初始狀態(tài)的多穩(wěn)定性,即多共存吸引子是指一個(gè)固定參數(shù)集合內(nèi)的多個(gè)吸引子(或平衡態(tài))共存。多共存吸引子的存在表明了系統(tǒng)在固定參數(shù)下最終狀態(tài)的非唯一性。當(dāng)非線性系統(tǒng)依賴于它的初始值時(shí),運(yùn)動軌跡會有選擇地收斂到不同的穩(wěn)定狀態(tài)[12],這種特殊現(xiàn)象主要與有無共存吸引子[7]、幾個(gè)共存吸引子[13]、甚至無窮多個(gè)共存吸引子[14]有關(guān),特別是當(dāng)共存吸引子的數(shù)量趨于無窮多時(shí),這種現(xiàn)象又稱為極端多穩(wěn)定性[15]。在適當(dāng)?shù)目刂葡?系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換,以適應(yīng)多種工作場景。為了進(jìn)一步探究其多樣性和復(fù)雜性,研究憶阻混沌系統(tǒng)中共存吸引子是近年來混沌研究的熱點(diǎn)。Lorenz 型系統(tǒng)中的蝴蝶型吸引子很容易被分解成兩個(gè)孤立的對稱奇異吸引子[16-17],在一些簡單的混沌運(yùn)動中于不同的初始條件下也觀察到并發(fā)混沌和極限環(huán)[18-19]。Bao 等[20]用簡化蔡氏二極管實(shí)現(xiàn)了改進(jìn)蔡氏電路中共存的螺旋型混沌吸引子,并進(jìn)一步指出由于憶阻器的特殊非線性,憶阻器混沌電路容易產(chǎn)生共存吸引子[7,21]。Lai 等[22]通過多項(xiàng)式函數(shù)方法研究了在混沌系統(tǒng)中產(chǎn)生兩共存吸引子、三共存吸引子和四共存吸引子。Hens 等[23]根據(jù)部分同步的概念提出了一種更新奇的方法來構(gòu)造耦合動力系統(tǒng)中任意數(shù)量共存的混沌吸引子。此外,還有學(xué)者建立了一些新的具有不同類型共存吸引子的自治多項(xiàng)式混沌系統(tǒng)[24-25]。因此,尋找一種具有多共存吸引子的憶阻混沌電路是非常有意義的。

混沌同步是混沌研究的另一個(gè)重要課題,它是對應(yīng)于兩個(gè)或多個(gè)混沌系統(tǒng)在不同初始狀態(tài)下通過內(nèi)部耦合或外部輸入控制最終達(dá)到狀態(tài)一致的過程?；煦缤皆碛?990 年由美國學(xué)者Pecora 和Carroll[26]提出,他們首次在電子線路上實(shí)現(xiàn)了混沌同步?；煦缤桨磳ο笮再|(zhì)可分為一般時(shí)間混沌系統(tǒng)同步、時(shí)空混沌系統(tǒng)同步、超混沌系統(tǒng)同步以及網(wǎng)絡(luò)的混沌同步等。2000 年Brown 和Kocarcv[27]給出了混沌同步的統(tǒng)一數(shù)學(xué)定義,按理論研究和實(shí)際實(shí)驗(yàn)可分為完全同步、廣義同步、滯后同步、相同步和Q-S 同步五種同步類型?；煦缤降睦碚撛诮┠甑难芯恐?借助于混沌穩(wěn)定性控制和其他非線性系統(tǒng)的控制方法,提出了多種同步方案,主要有主動-被動同步[28]、反饋同步(線性反饋、非線性反饋)[29]、狀態(tài)觀測器控制[30]、自適應(yīng)控制[31]、事件觸發(fā)控制[32]、脈沖控制[33]等,并建立了相應(yīng)的混沌同步穩(wěn)定性分析理論。混沌同步的發(fā)展大大推進(jìn)了混沌同步的應(yīng)用進(jìn)程,諸如在電子學(xué)、化學(xué)、生物、腦科學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、密碼學(xué)以及保密通信等領(lǐng)域中,混沌同步都具有不可估量的應(yīng)用潛力。

本文以經(jīng)典混沌理論為基礎(chǔ),構(gòu)造了一個(gè)新的具有多共存吸引子的憶阻混沌系統(tǒng)。對其進(jìn)行基本動力學(xué)特性分析,設(shè)計(jì)模擬電路進(jìn)行仿真驗(yàn)證,同時(shí)還探究了該憶阻混沌系統(tǒng)的同步控制問題。

1 基于憶阻器的混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)[4]提出了憶阻器的定義式為:

式中:v和i分別是流經(jīng)憶阻器的電壓和電流;W(φ)是通過憶阻器的磁通量為憶導(dǎo)函數(shù),定義為:

現(xiàn)考慮如下憶導(dǎo)函數(shù)[5]:

式中:m和n均為常數(shù)。

2004 年,Liu 等[34]建立了如下系統(tǒng):

它能產(chǎn)生一個(gè)蝴蝶奇異吸引子,其中參數(shù)為a=10,b=40,c=2.5,d=4。就像Lorenz 系統(tǒng)[35],Chen 系統(tǒng)[36]和Lv 系統(tǒng)[37]一樣,系統(tǒng)(4)也是具有兩個(gè)二次非線性項(xiàng)的三維自治系統(tǒng),通過與電阻或電容相連的乘法器和運(yùn)算放大器構(gòu)成的電子電路很容易實(shí)現(xiàn),用憶阻器代替自變量電阻或線性耦合電阻,便可構(gòu)建出新型憶阻混沌系統(tǒng)。因此,新構(gòu)造的憶阻混沌系統(tǒng)的無量綱狀態(tài)方程可表示為:

式中:W(w)=m+nw2;a表示憶阻器強(qiáng)度的正參數(shù)。僅用W替換系統(tǒng)(4)中的耦合電阻得到新實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)不能產(chǎn)生混沌,而用W替換自變電阻所構(gòu)造的憶阻混沌系統(tǒng)就可以產(chǎn)生混沌,其耗散性也可與系統(tǒng)(4)保持不變。因此,所提的系統(tǒng)(5)是由系統(tǒng)(4)衍生而來的最合適的憶阻混沌系統(tǒng)。

憶阻混沌系統(tǒng)(5)是一個(gè)四維光滑非線性動力系統(tǒng)?；谙到y(tǒng)(5),通過數(shù)值模擬可以觀察和分析一些有趣的動力學(xué)行為。

當(dāng)系統(tǒng)(5)中參數(shù)為a=3.5,b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03,并設(shè)置系統(tǒng)初值為(x0,y0,z0,w0)=(0.1,0.1,0,0.1) 時(shí),利用四維龍格-庫塔算法,仿真得到系統(tǒng)(5)的相平面圖,如圖1 所示,由圖可見,憶阻混沌系統(tǒng)(5)呈現(xiàn)出雙渦卷混沌吸引子,該系統(tǒng)具有更復(fù)雜的吸引子結(jié)構(gòu)。采用Jacobi 方法計(jì)算Lyapunov 指數(shù)譜如圖2(a)所示,得出LE1=0.5108,LE2=0.0007,LE3=-2.0919,以及LE4=-11.4195,其中LEi,(i=1,2,3,4) 為系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)(Lyapunov Exponent)。系統(tǒng)四個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)域波形圖如圖2(b)所示;系統(tǒng)(5)的Lyapunov維數(shù)為DL=2.8616。由系統(tǒng)的相軌跡、時(shí)域波形圖以及Lyapunov 指數(shù)與維數(shù)可知系統(tǒng)是混沌振蕩的。

圖1 系統(tǒng)參數(shù)為a=3.5,b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03,初值為(0.1,0.1,0,0.1)時(shí)的混沌吸引子相圖Fig.1 The phase diagram of the chaotic attractor when the system parameters are a=3.5,b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03,and the initial value is (0.1,0.1,0,0.1)

圖2 系統(tǒng)參數(shù)為a=3.5,b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03,初值為(0.1,0.1,0,0.1)時(shí)的Lyapunov指數(shù)譜與時(shí)域波形圖Fig.2 Lyapunov exponents spectrum and time domain waveform of the system with parameters are a=3.5,b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03 and initial values of (0.1,0.1,0,0.1)

2 動力學(xué)特性分析

2.1 耗散性

由系統(tǒng)(5)可得耗散度為:

由?V=-13<0 說明系統(tǒng)是耗散的,并以指數(shù)方式e-(k+c+1)dV/dt收斂,即系統(tǒng)在t時(shí)刻體積V0收縮為V0e-(k+c+1)。也就是說,當(dāng)t→∞時(shí),包括系統(tǒng)軌跡的每個(gè)體積元都會以指數(shù)形式收縮到0,即系統(tǒng)能夠產(chǎn)生有界吸引子。

2.2 平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性

系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)可以通過下列方程求解得到:

在此平衡點(diǎn)處線性化處理,可得系統(tǒng)的Jacobi矩陣:

由Routh-Hurwitz 穩(wěn)定性判據(jù)可以得出系統(tǒng)在此平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定條件是:

在此平衡點(diǎn)處線性化處理,可得系統(tǒng)的Jacobi矩陣:

由Routh-Hurwitz 穩(wěn)定性判據(jù)可以得出系統(tǒng)在此平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定條件是:

即得到此時(shí)系統(tǒng)的平衡點(diǎn):

在此平衡點(diǎn)處線性化處理,可得系統(tǒng)的Jacobi矩陣:

由Routh-Hurwitz 穩(wěn)定性判據(jù)可以得出系統(tǒng)在此平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定條件是:

2.3 混沌特性

為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性,系統(tǒng)(5)中的參數(shù)a=3.5,b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03,參數(shù)k∈[5,11],步長為0.01,初始狀態(tài)(x0,y0,z0,w0)=(0.1,0.1,0,0.1),繪制其Lyapunov 指數(shù)譜及分岔圖,如圖3 所示。圖3(a)揭示了系統(tǒng)(5)進(jìn)入混沌的路徑,隨著參數(shù)k的增大,系統(tǒng)從周期態(tài)進(jìn)入混沌態(tài),在區(qū)間6.23 ≤k <7.08 和7.08 ≤k <7.27 內(nèi),系統(tǒng)產(chǎn)生雙渦卷與單渦卷混沌吸引子,通過反倍周期分岔進(jìn)入周期態(tài),隨后通過倍周期分岔進(jìn)入混沌態(tài),最后演化為周期態(tài)。根據(jù)圖3(b)的Lyapunov 指數(shù)譜可進(jìn)一步確定系統(tǒng)參數(shù)k對應(yīng)的動力學(xué)行為,如表1 所列,部分動力學(xué)行為對應(yīng)的吸引子相圖如圖4 所示。其中,圖4(a)為參數(shù)k=8 時(shí)的系統(tǒng)相圖,可見此時(shí)系統(tǒng)處于周期態(tài),圖4(b)為參數(shù)k=9.2 時(shí)的系統(tǒng)相圖,此時(shí)系統(tǒng)處于混沌態(tài),圖4(c)為參數(shù)k=9.5時(shí)的系統(tǒng)相圖,此時(shí)系統(tǒng)處于周期態(tài),圖4(d)為參數(shù)k=10.2 時(shí)的系統(tǒng)相圖,此時(shí)系統(tǒng)處于周期態(tài)。

圖3 當(dāng)a=3.5,b=45,c=5,d=4,m=0.1,n=0.03,初值為(0.1,0.1,0,0.1)時(shí),系統(tǒng)隨參數(shù)5

圖4 參數(shù)a=3.5,b=45,c=5,d=4,m=0.1,n=0.03 不變,初值為(0.1,0.1,0,0.1) 時(shí),不同參數(shù)k對應(yīng)的x-z 平面相圖Fig.4 When the parameters a=3.5,b=45,c=5,d=4,m=0.1,n=0.03,the initial value is(0.1,0.1,0,0.1),the x-z plane phase diagram when the value of k is different

表1 當(dāng)a=3.5,b=45,c=5,d=4,m=0.1,n=0.03,初值為(0.1,0.1,0,0.1),系統(tǒng)(5)隨參數(shù)5

2.4 分岔與共存現(xiàn)象

為進(jìn)一步分析憶阻混沌系統(tǒng)(5)隨著初始狀態(tài)的變化而呈現(xiàn)的分岔和共存現(xiàn)象,固定系統(tǒng)(5)的參數(shù)a=3.5,b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03不變,取參數(shù)a∈[1,6],初始狀態(tài)(x0,y0,z0,w0)分別選取(-0.1,-0.1,0,-0.1) 和(0.1,0.1,0,0.1),步長為0.005,其對應(yīng)的隨著參數(shù)a變化的Lyapunov 指數(shù)譜及分岔圖如圖5 所示,在圖5(a)中,初值為(0.1,0.1,0,0.1) 的分岔圖用紅色表示,初值為(-0.1,-0.1,0,-0.1) 的分岔圖用藍(lán)色表示。圖5(a)揭示了系統(tǒng)(5)進(jìn)入混沌的路徑,隨著參數(shù)a的不斷增大,系統(tǒng)通過倍周期分岔進(jìn)入混沌態(tài),會出現(xiàn)單渦卷、雙渦卷吸引子以及周期態(tài),最終演化為穩(wěn)定態(tài)。根據(jù)圖5(b)的Lyapunov 指數(shù)譜可進(jìn)一步確定系統(tǒng)參數(shù)a對應(yīng)的動力學(xué)行為。從圖5 不難看出,共存周期態(tài)主要發(fā)生在區(qū)間 (1,2.2],[2.49,2.54),[4.34,4.345)和 [ 5.04,+∞)。在a=1.8 附近時(shí)系統(tǒng)由周期1 演變?yōu)橹芷?,此時(shí)選取a=1.5,在x-w和z-w平面可以觀察到周期1 共存現(xiàn)象,如圖6 所示,在a=2 附近時(shí)系統(tǒng)由周期2 演變?yōu)橹芷?,此時(shí)選取a=1.9,在x-w和z-w平面觀察到周期2 共存現(xiàn)象,如圖7 所示,在a=2.2 附近時(shí)系統(tǒng)由周期4 演變?yōu)榛煦畿壍?此時(shí)選取a=2.1,在x-w和z-w平面觀察到周期4 共存現(xiàn)象,如圖8 所示,在a∈(2.2,5.04) 時(shí)系統(tǒng)會出現(xiàn)單渦卷、雙渦卷吸引子以及周期態(tài)現(xiàn)象,此時(shí)選取a=2.8,可以觀察到混沌吸引子的共存現(xiàn)象,如圖9 所示,在a >5.04 之后演變?yōu)榉€(wěn)定態(tài),選取a=5.5,可以觀察到穩(wěn)定態(tài)的共存現(xiàn)象,如圖10 所示。

圖5 參數(shù)b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03 不變,不同初始值時(shí),系統(tǒng)隨參數(shù)1

圖6 參數(shù)b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03 不變,參數(shù)a=1.5 時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)的周期1 共存現(xiàn)象,其中(藍(lán))初值為(0.1,0.1,0,0.1),(橙)初值為(-0.1,-0.1,0,-0.1)Fig.6 When the parameter are b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03,a=1.5,the coexistence of period attractor appear,in which the initial value of (blue) is (0.1,0.1,0,0.1),and the initial value of (orange) is (-0.1,-0.1,0,-0.1)

圖7 參數(shù)b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03 不變,參數(shù)a=1.9 時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)的周期2 共存現(xiàn)象,其中(藍(lán))初值為(0.1,0.1,0,0.1),(橙)初值為(-0.1,-0.1,0,-0.1)Fig.7 When the parameter are b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03,a=1.9,the coexistence of period two attractors appear,in which the initial value of (blue) is (0.1,0.1,0,0.1),and the initial value of (orange) is (-0.1,-0.1,0,-0.1)

圖8 參數(shù)b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03 不變,參數(shù)a=2.1 時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)的周期4 共存現(xiàn)象,其中(藍(lán))初值為(0.1,0.1,0,0.1),(橙)初值為(-0.1,-0.1,0,-0.1)Fig.8 When the parameter are b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03,a=2.1,the coexistence of period four attractors appear,in which the initial value of (blue) is (0.1,0.1,0,0.1),and the initial value of (orange) is (-0.1,-0.1,0,-0.1)

圖9 參數(shù)b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03 不變,參數(shù)a=2.8 時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)的混沌吸引子共存現(xiàn)象,其中(藍(lán))初值為(0.1,0.1,0,0.1),(橙)初值為(-0.1,-0.1,0,-0.1)Fig.9 When b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03 and a=2.8,the chaotic attractors coexist in the system.The initial values of (blue) is (0.1,0.1,0,0.1) and (orange) is (-0.1,-0.1,0,-0.1)

圖10 參數(shù)b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03 不變,參數(shù)a=5.5 時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象,其中(藍(lán))初值為(0.1,0.1,0,0.1),(橙)初值為(-0.1,-0.1,0,-0.1)Fig.10 When the parameter are b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03,a=5.5,the steady-state coexistence of the system occurs,in which the initial value of (blue) is (0.1,0.1,0.1),and (orange) is (-0.1,-0.1,0,-0.1)

3 憶阻混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)

由于硬件實(shí)驗(yàn)中很難給定不同期望值時(shí)憶阻器的初始條件,為驗(yàn)證系統(tǒng)(5)的理論分析與數(shù)值仿真和復(fù)雜動力學(xué)行為,采用Multisim 電路仿真實(shí)現(xiàn)了該憶阻混沌系統(tǒng)。圖11 為模擬仿真電路原理圖,該電路由四路模擬運(yùn)算電路組成,分別實(shí)現(xiàn)方程組(5)中狀態(tài)x,y,z和w的運(yùn)算。

圖11 Multisim 模擬仿真電路原理圖Fig.11 Schematic diagram of Multisim analog simulation circuit

通過四通道示波器得到的各相圖如圖12 所示,仿真結(jié)果與圖1 所示的Matlab 數(shù)值仿真得到的混沌吸引子相圖基本一致,從而驗(yàn)證了所提出的憶阻混沌系統(tǒng)的正確性。

圖12 混沌吸引子Multisim 模擬仿真結(jié)果圖Fig.12 Multisim simulation results of chaotic attractor

4 憶阻混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)完全同步

4.1 自適應(yīng)同步

取憶阻混沌系統(tǒng)(5)為驅(qū)動系統(tǒng),則響應(yīng)系統(tǒng)為:

設(shè)受控響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動系統(tǒng)間的狀態(tài)誤差為ex=x'-x,ey=y'-y,ez=z'-z,ew=w'-w,則由式(15)減去式(5)得到誤差系統(tǒng):

選取控制器ux,uy,uz和uw,使系統(tǒng)(16)零解漸近穩(wěn)定,則混沌系統(tǒng)(5)和(15)完全同步。選取控制器ux,uy,uz和uw如下:

選取Lyapunov 函數(shù)為:

對式(19)求導(dǎo),可得:

其中μ >0,η >0,當(dāng)滿足:

式(22)負(fù)半定。又因?yàn)槭?19)是正定且遞減的,所以誤差系統(tǒng)(18)零解一致穩(wěn)定。根據(jù)Barbalat's 推論,對任意初始條件均有ex(t),ey(t),ez(t),ew(t)∈L∞,即當(dāng)t→∞時(shí),ex(t),ey(t),ez(t),ew(t) →0,則誤差系統(tǒng)(18)零解漸近穩(wěn)定,從而系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(15)完全同步。因此有如下定理:

在控制參數(shù)以式(21)的形式變化的情況下,以控制形式(17)來控制響應(yīng)系統(tǒng)(15),則響應(yīng)系統(tǒng)(15)可與驅(qū)動系統(tǒng)(5)達(dá)到完全同步。

4.2 數(shù)值仿真

系統(tǒng)(5)中參數(shù)a=3.5,b=45,c=5,d=4,k=7,m=0.1,n=0.03,并設(shè)置驅(qū)動系統(tǒng)(5)初值為(x0,y0,z0,w0)=(0.1,0.1,0,0.1),響應(yīng)系統(tǒng)(15)初值為=(13.1,5.1,25,26.1),即初始誤差為(13,5,25,26),取步長為0.006,利用四維龍格-庫塔算法在Matlab 上進(jìn)行仿真,當(dāng)對響應(yīng)系統(tǒng)施加控制時(shí),兩系統(tǒng)狀態(tài)之間的誤差變化如圖13 所示,響應(yīng)系統(tǒng)中控制參數(shù)的變化如圖14 所示。

圖13 自適應(yīng)控制下的誤差曲線圖Fig.13 Error curves diagram under adaptive control

圖14 控制參數(shù)的變化曲線圖,其中(紅)為參數(shù)a,(藍(lán))為參數(shù)b,(綠)為參數(shù)c,(黑)為參數(shù)d,(青)為參數(shù)kFig.14 The change curves of control parameters,in which (red)is parameter a,(blue) is parameter b,(green) is parameter c,(black) is parameter d,(cyan) is parameter k

由圖13 可見,在自適應(yīng)控制下,初始誤差為(13,5,25,26) 的情況下,兩系統(tǒng)在t=5 附近達(dá)到同步。

5 結(jié)論

本文構(gòu)造了一個(gè)含有光滑三次型憶阻器的混沌系統(tǒng)。研究了該憶阻混沌系統(tǒng)隨參數(shù)和初始狀態(tài)變化的多種復(fù)雜動力學(xué)行為,數(shù)值仿真結(jié)果表明隨參數(shù)的改變,系統(tǒng)共有兩次進(jìn)入周期態(tài),且處于混沌狀態(tài)的范圍較大。隨初始狀態(tài)的變化,系統(tǒng)呈現(xiàn)周期共存、混沌吸引子共存以及分岔共存。為了驗(yàn)證系統(tǒng)的理論分析與數(shù)值仿真,用Multisim 進(jìn)行了電路仿真,仿真結(jié)果與數(shù)值仿真基本吻合,驗(yàn)證了該電路的有效性,同時(shí)也為憶阻器混沌電路設(shè)計(jì)和電路實(shí)現(xiàn)提供一種新的思路。根據(jù)已有的自適應(yīng)控制的理論分析和控制規(guī)則,設(shè)計(jì)了合適的自適應(yīng)控制器,實(shí)現(xiàn)了未知參數(shù)時(shí)憶阻混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步,同時(shí)還可辨識出系統(tǒng)的未知參數(shù),理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果證實(shí)了所提出方法的準(zhǔn)確性。設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器控制率連續(xù),且不受系統(tǒng)參數(shù)的限制便可實(shí)施控制,使其在實(shí)際工程中更易于應(yīng)用。由于硬件實(shí)驗(yàn)難以捕捉到混沌系統(tǒng)中多共存吸引子的異常動態(tài)行為,解決這一問題作為進(jìn)一步研究的課題。