彭大銘 ，肖伸平 ，周歡喜

（1.湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2.電傳動(dòng)控制與智能裝備湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 株洲 412007；3. 湖南宏動(dòng)光電有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410000）

0 引言

當(dāng)正弦基波電壓施加到非線(xiàn)性設(shè)備上時(shí)，設(shè)備所吸收電流的波形若與施加電壓的不同，電流則發(fā)生畸變，產(chǎn)生諧波。在現(xiàn)代電力系統(tǒng)中，隨著大量非線(xiàn)性負(fù)荷的投入運(yùn)行，越來(lái)越多的諧波涌入電網(wǎng)，使得電網(wǎng)中由諧波污染引起的電能質(zhì)量問(wèn)題越來(lái)越嚴(yán)重[1-2]。通常，為了治理諧波污染，精確估計(jì)諧波分量參數(shù)（如幅值和相角）是首要步驟。通常用于估計(jì)諧波分量的方法有快速傅里葉(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)變換、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及小波分析等。其中，F(xiàn)FT是應(yīng)用最廣泛的方法；但是實(shí)際應(yīng)用中很難實(shí)現(xiàn)同步采樣，而在非同步采樣下的FFT會(huì)出現(xiàn)頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，使得諧波檢測(cè)結(jié)果的精度很低，尤其是相位誤差較大，不能滿(mǎn)足諧波檢測(cè)的要求。解決這個(gè)問(wèn)題有兩種常用的方法：加窗插值算法和準(zhǔn)同步采樣算法[3-5]。常用的窗口函數(shù)有漢寧窗、布萊克曼窗口和Nutall窗等[6-9]。準(zhǔn)同步采樣算法也可被看作是一種窗函數(shù)算法，在非同步采樣條件下，它能達(dá)到接近同步采樣條件下的測(cè)量精度，但代價(jià)是需要更多的測(cè)量數(shù)據(jù)和時(shí)間。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法在諧波分析中的應(yīng)用目前仍處于發(fā)展階段[10-13]。前期，學(xué)者們討論了用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替模擬并聯(lián)諧波測(cè)量裝置中的帶通濾波器，然后構(gòu)造了一種特殊的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)時(shí)測(cè)量諧波，并分析了多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練方法和訓(xùn)練樣本的組成，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出的諧波測(cè)量方法的有效性。然而，多層前饋?zhàn)赃m應(yīng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程是不確定的，應(yīng)用前需要大量的訓(xùn)練；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元更多，計(jì)算量更大。后來(lái)，有學(xué)者提出將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與快速傅里葉變換模型相結(jié)合，成了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行諧波分析的主流用法。文獻(xiàn)[11]構(gòu)造了一種隱神經(jīng)元為正弦函數(shù)的BP（back propagation）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其推導(dǎo)了迭代步長(zhǎng)的選用范圍。在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[12]中應(yīng)用了基于隱藏神經(jīng)元的數(shù)量選擇迭代步長(zhǎng)。文獻(xiàn)[11-12]的方法都是基于理想基波頻率獲得的前提。然而在實(shí)際情況下，如電力環(huán)境中，電信號(hào)頻率處于波動(dòng)中，高精度的基波頻率是無(wú)法被直接獲取的。學(xué)者們還探索了使用其他的算法為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)確定初值，比如結(jié)合現(xiàn)代譜分析中的算法。文獻(xiàn)[13]提出了應(yīng)用快速TLS-ESPRIT(總體最小二乘法—旋轉(zhuǎn)矢量不變技術(shù))來(lái)獲取信號(hào)的頻率成分，并將其作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始值。這種方法更加完備，但在分析整次諧波上，精度有不少降低。

針對(duì)理想的基波頻率無(wú)法被直接獲取的問(wèn)題，同時(shí)為了保持神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在整次諧波分析中的高精度，本文提出一種將準(zhǔn)同步采樣算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法相結(jié)合的方法，即應(yīng)用準(zhǔn)同步采樣算法為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供高精度的基波頻率估計(jì)值，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行最速下降法的步長(zhǎng)尋優(yōu)，從而提高電力諧波分析的精度和速度。

1 準(zhǔn)同步采樣算法

準(zhǔn)同步采樣算法在頻率分析中已得到了廣泛的應(yīng)用，本文在準(zhǔn)同步采樣算法的基礎(chǔ)上，給出了通常情況下的準(zhǔn)同步窗系數(shù)的直接表達(dá)式。相較于傳統(tǒng)的遞歸方式，通過(guò)表達(dá)式直接求取準(zhǔn)同步窗系數(shù)更為快速。

1.1 采用同步采樣算法估計(jì)基波頻率

假設(shè)測(cè)量的信號(hào)為

式中：f——信號(hào)基波頻率；A0——直流分量；Am——諧波的幅度；φm——諧波的相位；m——諧波次數(shù)；M——最大諧波次數(shù)。

信號(hào)基波頻率，f=fNs+fΔ，其中fNs為將N個(gè)采樣作為一體所對(duì)應(yīng)的頻率（N為單次準(zhǔn)同步遞歸運(yùn)算的使用的數(shù)據(jù)量，N∈Z+，fNs=fs/N，fs是采樣頻率）；fΔ是頻偏。

式中：g=2, 3, …,n；i0——遞歸運(yùn)算的起點(diǎn)，i0=0, …,n(N-1)，i0=0意味著算法起點(diǎn)和采樣起點(diǎn)重合；T0——采樣的起點(diǎn)；n——遞歸次數(shù)，n∈Z+；TNs——N次采樣所需的時(shí)間，TNs=1/fNs。

圖1示出n=4時(shí)準(zhǔn)同步采樣算法的遞歸過(guò)程，其中，hi表示第i+1個(gè)采樣數(shù)據(jù)；F0,n表示F0α,n或F0β,n，兩者的計(jì)算過(guò)程是類(lèi)似的。

圖1 n=4時(shí)準(zhǔn)同步采樣算法遞歸過(guò)程Fig. 1 Iteration process based on the quasi synchronous sampling algorithm as n=4

展開(kāi)式(2)和式(3)，得到

式中：ηi——總加權(quán)系數(shù)，即準(zhǔn)同步窗系數(shù)，由于這里已經(jīng)確定復(fù)化梯形求積方式，所以ηi僅僅由n和N來(lái)確定。

在一些情況下，由于早已確定了n和N，可以提前計(jì)算ηi并儲(chǔ)備在計(jì)算機(jī)里。可以看出，如果能夠用簡(jiǎn)單的表達(dá)式求取，則可通過(guò)式(4)直接求得F0α,n或F0β,n，這相比通過(guò)式(2)和式(3)的遞推方法求取無(wú)疑將節(jié)省不少計(jì)算時(shí)間。后文將推導(dǎo)準(zhǔn)同步窗系數(shù)的表達(dá)式，在此先介紹用準(zhǔn)同步算法計(jì)算基波頻率的方法。

假設(shè)同一批采樣數(shù)據(jù)的兩組遞歸運(yùn)算的起點(diǎn)不同，它們與采樣起點(diǎn)之間的時(shí)間間隔分別為0和t0，兩組遞歸運(yùn)算的結(jié)果分別記作Fα,n(0)和Fβ,n(0)，F(xiàn)α,n(t0)和Fβ,n(t0)，那么當(dāng)滿(mǎn)足一些通常符合的基本條件[5]且n較大時(shí)（如n=3或4），有

由于t0已知，所以可以由式(5)估算出頻偏fΔ，并通過(guò)式(6)計(jì)算出基波頻率：

1.2 準(zhǔn)同步窗系數(shù)直接表達(dá)式

對(duì)于不同的n和N值，準(zhǔn)同步窗系數(shù)是不一樣的。首先論證準(zhǔn)同步窗系數(shù)的序列是對(duì)稱(chēng)的，即ηj=ηn(N-1)-j，j=0, 1, …,n(N-1)。顯然，當(dāng)n=1 時(shí)，可以得到

當(dāng)n=1時(shí)，窗系數(shù)的序列是對(duì)稱(chēng)的。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，窗口系數(shù)序列也是對(duì)稱(chēng)的，并令

這里使用符號(hào)a表示n=1時(shí)的窗系數(shù)，則

當(dāng)n=k+1時(shí)，令

通過(guò)式(2)～式(4)和式(8)，可以得到

結(jié)合式(9)和式(11)，可以推斷出

至此，也就論證了窗系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性；同時(shí)借由式(11)，可以由n=1的窗系數(shù)表達(dá)式依次推出n取各個(gè)整數(shù)的窗系數(shù)表達(dá)式。但由于通常取n等于3或4，而n的取值越高意味著算法精度越高，所以接下來(lái)只給出n=4時(shí)的窗函數(shù)系數(shù)表達(dá)式：

其中：

通過(guò)窗系數(shù)表達(dá)式,在n=4時(shí)，計(jì)算窗系數(shù)序列需要進(jìn)行[7(N-1)+1]次加法和[5(N-1)+2]次乘法計(jì)算；但按照傳統(tǒng)的遞歸方法[14]，則需要進(jìn)行(4.5N2-1.5N)次加法計(jì)算。實(shí)際采樣時(shí)，采樣頻率一般為信號(hào)基波頻率的幾十倍，而N的取值為采樣頻率對(duì)基波頻率的倍數(shù)的臨近值，故一般情況通過(guò)表達(dá)式直接求取的方法較大程度地減少了準(zhǔn)同步窗系數(shù)的計(jì)算量。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和步長(zhǎng)尋優(yōu)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)諧波分析算法通常是通過(guò)構(gòu)造一種等同F(xiàn)FT模型的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)迭代計(jì)算諧波成分；而在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的迭代計(jì)算中，步長(zhǎng)的選擇是一個(gè)影響迭代速度和迭代能否實(shí)現(xiàn)的要點(diǎn)。

2.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

式(1)所示測(cè)量信號(hào)可以被改寫(xiě)為

式中：A0為直流分量；Am為諧波幅值，Bm=Amcosφm，Cm=Amcosφm。

在已知Bm和Cm的情況下，可以根據(jù)式(16)和式(17)分別計(jì)算諧波的幅度和相位：

2.1.1 建模

基于式(15)，可以構(gòu)造一個(gè)以三角函數(shù)作為隱藏層的激活函數(shù)，其輸入為時(shí)間、權(quán)重對(duì)應(yīng)于幅值的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（也可視作一種FFT模型），如圖2所示。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig. 2 Neural network model

wm(m=1, 2, …, 2M)是隱藏層和輸出層神經(jīng)元之間的相應(yīng)權(quán)重，即后級(jí)權(quán)重。輸入到隱藏神經(jīng)元的前級(jí)權(quán)重都被固定為1。t是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，表示為時(shí)間，對(duì)應(yīng)于采樣時(shí)間點(diǎn)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型輸出表示如下：

式中：pm——隱藏層神經(jīng)元的激活函數(shù)。

2.1.2 確定迭代方向

與常用的監(jiān)督型網(wǎng)絡(luò)不同，這里神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不需要學(xué)習(xí)就能使用，并且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)迭代滿(mǎn)足收斂條件后最終形成的后級(jí)權(quán)重是用來(lái)計(jì)算諧波幅值和相角的。

2.2 最優(yōu)步長(zhǎng)

3 算法步驟

基于以上算法理論，對(duì)算法步驟進(jìn)行詳細(xì)介紹，其算法流程如圖3所示。

圖3 算法流程Fig. 3 Algorithm flow

第一步：設(shè)置采樣頻率fs，單次準(zhǔn)同步遞歸運(yùn)算所用的數(shù)據(jù)量N和遞歸次數(shù)n。

第二步：連續(xù)采樣獲取[n(N-1)+1+N]個(gè)數(shù)據(jù)。按式(13)和式(14)計(jì)算準(zhǔn)同步窗系數(shù)。按式(4)，用前[n(N-1)+1]個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算Fα,n(0)和Fβ,n(0)，用后[n(N-1)+1]個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算Fα,n(t0)和Fβ,n(t0)，此時(shí)t0等于N倍單個(gè)采樣的時(shí)間。

第三步：用式(5)和式(6)估算基波頻率值。

第四步：設(shè)M′=20，即神經(jīng)元個(gè)數(shù)為40，并利用第三步估計(jì)的基波頻率f′構(gòu)造神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

第五步：計(jì)算式(19)中定義的誤差E。如果滿(mǎn)足E小于誤差容限、迭代后誤差變化值小于設(shè)定值或d大于最大迭代次數(shù)，則進(jìn)入第八步。

第六步：計(jì)算最優(yōu)迭代步長(zhǎng)，更新加權(quán)向量。

第七步：d=d+1，回到第五步。

第八步：利用最終得到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)后級(jí)權(quán)向量，通過(guò)式(16)和式(17)計(jì)算各次諧波的幅值和相位。

第九步：計(jì)算結(jié)束。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文所提算法的有效性，將其與FFT算法[9]進(jìn)行對(duì)比，并進(jìn)行不同基波頻率下檢測(cè)誤差實(shí)驗(yàn)和不同強(qiáng)度白噪聲下的檢測(cè)誤差實(shí)驗(yàn)，參考的標(biāo)準(zhǔn)為GB/T 14549—1993《電能質(zhì)量 公用電網(wǎng)諧波》。

仿真時(shí)，算法設(shè)置參數(shù)如下：檢測(cè)的最大諧波次數(shù)M′=20，N=51，n=4，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)后級(jí)部分權(quán)重初始化全為1；采樣頻率固定為2 560 Hz，實(shí)驗(yàn)均在非同步采樣條件下進(jìn)行，采樣點(diǎn)數(shù)均為252。

4.1 誤差對(duì)比實(shí)驗(yàn)

對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，采用的測(cè)試信號(hào)模型為

式中：f——基波頻率，f=50.1 Hz；Ai——諧波的幅值；φi——諧波的相角。

具體的諧波幅值和相角如表1所示。

表1 測(cè)試信號(hào)1諧波成分Tab. 1 Harmonic component of the first test signal

本文采用不同的算法對(duì)仿真諧波信號(hào)進(jìn)行分析，其結(jié)果如表2～表4所示?？梢钥闯?，本文算法具有較高的測(cè)量精度。

表2 不同算法的基波頻率相對(duì)誤差Tab. 2 Fundamental frequency relative errors of different algorithms

表3 不同算法下幅值相對(duì)誤差Tab. 3 Relative errors of amplitude as with different algorithms

表4 不同算法的相角相對(duì)誤差Tab. 4 Relative errors of phase as with different algorithm

圖4示出不同算法的誤差迭代圖?？梢钥闯觯撍惴ǖ啻螘r(shí)均方誤差便已極小 ，而要達(dá)到同樣的效果，傳統(tǒng)的方法[12]需經(jīng)過(guò)上百次迭代。

圖4 隨迭代變化的均方誤差Fig. 4 Mean square error via iteration

從對(duì)比結(jié)果可以看出，本文算法的整次諧波分析精度非常接近于傳統(tǒng)的基于理想基波頻率的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)諧波分析精度（精度等級(jí)可達(dá)1×10-12），且本文算法通過(guò)最優(yōu)步長(zhǎng)的確定，極大地改善了迭代速度。

4.2 不同頻率下的實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文算法的可靠性，在基頻波動(dòng)范圍[49.9 Hz, 50.5 Hz]內(nèi)進(jìn)行諧波分析實(shí)驗(yàn)，諧波信號(hào)模型仍然使用表1中的數(shù)據(jù)，算法初始設(shè)置不變。頻率每變化0.1 Hz，分析一次諧波信號(hào)。不同基波頻率下的諧波分析結(jié)果如圖5～圖7所示。在算法的迭代次數(shù)方面，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)均在20次迭代內(nèi)滿(mǎn)足迭代終止條件。由圖5～圖7可知，在上述基波頻率波動(dòng)范圍內(nèi)，幅值相對(duì)誤差基本在3×10-8%以?xún)?nèi)，相角相對(duì)誤差基本在5×10-6%以?xún)?nèi)。值得注意的是，算法在基波頻率附近，愈靠近50.2 Hz，精度愈高。這是由于采用了準(zhǔn)同步采樣算法，根據(jù)算法的初始設(shè)置，可以計(jì)算得到本文初始定義的fNs約為50.196 Hz，而準(zhǔn)同步算法的精度一般會(huì)隨著fNs靠近基波頻率而提高，所以會(huì)呈現(xiàn)如此的結(jié)果。在實(shí)際應(yīng)用中，可通過(guò)簡(jiǎn)單的測(cè)量設(shè)備測(cè)量獲得低精度的基波頻率作為參考量；而在一些基波頻率變動(dòng)范圍很小的電力環(huán)境中，N和n的選擇可以固定不變，這使得準(zhǔn)同步窗系數(shù)可以提前計(jì)算，進(jìn)一步改善了算法的實(shí)時(shí)性。

圖5 基波頻率相對(duì)誤差Fig. 5 Relative error of the fundamental frequency

4.3 白噪聲影響

在實(shí)踐中，諧波信號(hào)分析也經(jīng)常受到白噪聲的影響。為了驗(yàn)證算法的抗干擾性能，本文進(jìn)行了不同的信噪比（SNR）的仿真分析，諧波信號(hào)模型遵循表5中的數(shù)據(jù)，基波頻率為50.29 Hz,算法的初始設(shè)置不進(jìn)行更改，其檢測(cè)結(jié)果如表6所示。從結(jié)果可以看出，本文算法在中等強(qiáng)度的白噪聲下，仍保持一定的精度；而在算法的迭代次數(shù)方面，不同噪聲強(qiáng)度下，均在10余次迭代后滿(mǎn)足迭代終止條件。

表5 測(cè)試信號(hào)2諧波成分Tab. 5 Harmonic components of the second test signal

表6 白噪聲影響下的幅值相對(duì)誤差Tab. 6 Relative error of amplitude under the influence of white noise

5 結(jié)語(yǔ)

在準(zhǔn)同步采樣算法的基礎(chǔ)上，本文首先推導(dǎo)了通常情況下準(zhǔn)同步窗系數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，以?xún)?yōu)化準(zhǔn)同步采樣算法的速度；然后以采用準(zhǔn)同步采樣算法估計(jì)的基波頻率為基礎(chǔ)，構(gòu)建起神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)諧波分析模型，確定了最速下降方向上的適應(yīng)性最優(yōu)步長(zhǎng)，并論證了該步長(zhǎng)會(huì)使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂于全局最小值。多組非同步采樣條件下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法精度極高，且迭代速度有了顯著的改善。本文算法適用于整次諧波分析，卻無(wú)法檢測(cè)間諧波，這是下一步工作研究方向。