郭甲，龐兆君，岳帥，杜忠華

南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，南京 210094

在人類掌握太空發(fā)射技術(shù)后，各個國家已經(jīng)向太空中發(fā)射了數(shù)以萬計的航天器，這些航天器在失效后成為空間碎片。這些空間碎片若與正常工作的航天器發(fā)生碰撞，將對航天器安全和宇航員的生命產(chǎn)生致命威脅[1]。為清理空間碎片，各國提出了相應(yīng)的空間碎片主動清除計劃，其中“捕獲+離軌”式清除方案被普遍接受[2-3]。近些年來，空間系繩捕獲系統(tǒng)是“捕獲+離軌”式方案近些年來研究的熱點?？臻g系繩捕獲系統(tǒng)一般由太空拖船、系繩、末端捕獲裝置構(gòu)成。末端捕獲裝置捕獲到目標(biāo)后，太空拖船與目標(biāo)由系繩連接，組成繩系組合體。之后太空拖船進行機動，拖曳目標(biāo)至墳?zāi)管壍劳瓿煽臻g碎片清除任務(wù)[4]。

國內(nèi)外學(xué)者針對拖曳離軌過程中的主要問題進行了大量的研究。在離軌策略方面，鐘睿和徐世杰[5]利用直接配置算法研究了繩系組合體的霍曼轉(zhuǎn)移方法，Liu等[6]在霍曼轉(zhuǎn)移使用兩次脈沖推力機動的基礎(chǔ)上，研究了利用重力梯度輔助完成拖曳離軌的可能性，并給出了具體的實施方式。但是使用脈沖轉(zhuǎn)移方法對于系繩較短的繩系組合體并不適用，因為軌道根數(shù)在短時間內(nèi)發(fā)生大尺度的變化會導(dǎo)致系繩的劇烈振動。Liang等[7]提出了使用小推力離軌的方法并建立了失效衛(wèi)星的轉(zhuǎn)移動力學(xué)方程。李超兵等[8]針對脈沖式推力研究了一種基于軌道根數(shù)約束的空間變軌最優(yōu)制導(dǎo)方法。Cho和Mcclamroch[9]最早提出了繩系組合體的最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移方法，以徑向推力和橫向推力的平方和最小化為目標(biāo)，設(shè)計了2個圓形軌道間的轉(zhuǎn)移路徑。文獻[10-11]研究了一種基于連續(xù)常值推力的時間-能量最優(yōu)的離軌方式，并考慮了繩系組合體軌道機動過程中控制量飽和對系統(tǒng)穩(wěn)定的影響。楊樂平等[12]總結(jié)稱，推力模式除了脈沖推力、連續(xù)推力外，常見的還有繼電型推力模式，但目前在繩系組合體領(lǐng)域?qū)^電型推力模式的研究并不多。

在離軌過程中，太空拖船的推力并不總是沿著系繩方向，并會導(dǎo)致系繩的擺動。劉海濤[13]指出，當(dāng)太空拖船與目標(biāo)徑向方向速度有差值時，繩系組合體會劇烈擺動，導(dǎo)致任務(wù)失敗。文獻[14-15]研究了離軌過程中系繩擺動特性與其他物理量的耦合關(guān)系。文獻[16-17]將繩系組合體的面內(nèi)擺動處理為欠驅(qū)動系統(tǒng)，并利用以系繩張力作為控制輸入的滑?？刂破鱽硎箶[動趨于穩(wěn)定。王秉亨等[18]研究了張力受限條件下的高階滑模控制器以實現(xiàn)繩系組合體的穩(wěn)定。王班等[19]對無系繩收放控制的繩系組合體橫向擺動與縱向振動的耦合進行了分析，并提出了一種雙閉環(huán)振動控制策略。劉新建和鄭杰勻[20]研究了無卷揚機構(gòu)時，使用脈沖噴氣抑制繩系組合體擺動的可能性。黃靜等[21]針對電動力繩設(shè)計了在展開階段抑制系繩擺動的控制策略。上述文獻表明為了降低拖曳離軌的風(fēng)險，離軌策略的設(shè)計需要考慮對系繩擺角的抑制。

連續(xù)推力在繩系組合體拖曳的理論研究中得到了廣泛應(yīng)用，但實際中需要考慮更多限制因素。其中連續(xù)變推力設(shè)計復(fù)雜，工程實現(xiàn)困難。連續(xù)常值推力多通過電推進發(fā)動機實現(xiàn)，但因推力過小，導(dǎo)致其實現(xiàn)離軌目標(biāo)需要漫長的時間。工程實際中更多使用繼電式推力，因其符合脈沖調(diào)寬式推力器的工作方式，且可實現(xiàn)與連續(xù)推力近似的效果[22]。

為了使拖曳離軌功能更加方便地在工程中實現(xiàn)，本文提出一種繩系組合體的繼電型推力拖曳離軌策略。首先，為了解決發(fā)動機開機對系繩造成沖擊與關(guān)機時系繩反彈的問題，設(shè)計一種無需電機驅(qū)動的卷揚機構(gòu)。由于此卷揚機構(gòu)是被動式的，無法主動調(diào)整系繩張力來抑制面內(nèi)擺角，所以利用太空拖船的徑向推力來抑制面內(nèi)擺角，考慮到實際中徑向推力發(fā)動機能夠提供的推力有限，設(shè)計輸入受限的滑?？刂破魃煽刂浦噶睿笤賹⑵滢D(zhuǎn)化為繼電式推力，以便于工程實現(xiàn)。

1 繩系組合體動力學(xué)分析

1.1 繩系組合體離軌動力學(xué)模型

為了描述拖船與目標(biāo)之間的相對運動，需要引入2個坐標(biāo)系：

1)慣性坐標(biāo)系OE-XYZ：即地心赤道慣性坐標(biāo)系，其原點在地心，X軸指向春分點；Z軸垂直于赤道面指向北極；Y軸由右手定則確定。

2)組合體質(zhì)心軌道系O-xyz：其原點位于系統(tǒng)質(zhì)心O，x軸由地心指向組合體質(zhì)心；y軸在軌道平面內(nèi)與x軸垂直，沿運動方向為正；z軸垂直于軌道平面，與x、y構(gòu)成右手系。

將坐標(biāo)系O-xyz繞軸順時針旋轉(zhuǎn)γ角，再繞軸逆時針旋轉(zhuǎn)φ角，y軸將與太空拖船和目標(biāo)的連線方向重合。將γ記為面內(nèi)擺角，φ記為面外擺角(圖1)。為了便于描述，將太空拖船編號c，目標(biāo)編號b，作為參數(shù)的下標(biāo)使用。

記rc、rb分別是太空拖船和目標(biāo)的絕對位置矢量，在慣性坐標(biāo)系OE-XYX中，二者的軌道動力學(xué)方程分別為

(1)

(2)

式中：μ為地球引力常數(shù)；Fc為太空拖船發(fā)動機提供的控制力矢量；T為系繩上的張力矢量，方向由目標(biāo)指向太空拖船；mc為太空拖船質(zhì)量；mb為目標(biāo)質(zhì)量。

太空拖船與目標(biāo)之間的相對位置矢量記為de=rb-rc，則聯(lián)立式(1)、式(2)可以得到

(3)

式(3)為太空拖船與目標(biāo)相對運動動力學(xué)方程在慣性系OE-XYZ中的表達式。為得到精確相對運動方程，將其轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系O-xyz中，則可以得到非線性相對運動動力學(xué)模型的矢量形式：

(4)

式中：ω為繩系組合體的軌道角速度矢量。

d=[x,y,z]T

(5)

(6)

(7)

(8)

Fc=[Fx,Fy,Fz]T

(9)

T=[Tx,Ty,Tz]T

(10)

rc=[r-ηbx,-ηby,-ηbz]T

(11)

rb=[r+ηcx,ηcy,ηcz]T

(12)

將式(5)～式(12)代入式(4)，可得

(13)

(14)

式中：a為軌道長半軸；e為偏心率；i為軌道傾角；Ω為升交點赤經(jīng)；Ψ為近地點幅角；θ為真近點角。改進春分點軌道根數(shù)動力學(xué)方程如下：

(15)

(16)

1.2 系繩張力求解

不同于現(xiàn)有的利用電機收放系繩來控制張力的主動式卷揚機構(gòu)，設(shè)計如圖2所示被動式卷揚機構(gòu)，系繩的張力由此卷揚機構(gòu)確定。當(dāng)太空拖船與目標(biāo)之間的距離增加，系繩被拉出，儲線筒正轉(zhuǎn)，通過儲線筒齒輪及渦卷發(fā)條盒齒輪帶動渦卷發(fā)條盒正轉(zhuǎn)，放置在渦卷發(fā)條盒內(nèi)部的渦卷發(fā)條被上緊。當(dāng)太空拖船與目標(biāo)之間的距離減小，渦卷發(fā)條被釋放并帶動渦卷發(fā)條盒反轉(zhuǎn)，進而帶動儲線筒反轉(zhuǎn)，系繩被回收。通過系繩被拉出與被回收的過程，系繩上的張力得以保持，而張力的大小與渦卷發(fā)條的特性以及儲線筒齒輪與渦卷發(fā)條盒齒輪的傳動比有關(guān)。因為系繩自身的彈性模量遠遠大于渦卷發(fā)條，因此，可忽略離軌過程中系繩自身的變形。渦卷發(fā)條會對太空拖船產(chǎn)生反作用力，但其產(chǎn)生的扭矩較小，可利用太空拖船上的動量輪進行抵消。

圖2 被動式卷揚機構(gòu)

根據(jù)機械設(shè)計手冊[23]，渦卷發(fā)條的工作特性如圖3所示。渦卷發(fā)條放入發(fā)條盒并完全放松時的圈數(shù)用ns表示。曲線CIJ表示渦卷發(fā)條輸出力矩與發(fā)條彈簧圈數(shù)(發(fā)條盒轉(zhuǎn)數(shù))的關(guān)系。曲線CI段(其轉(zhuǎn)數(shù)用n0表示)力矩變化大，不能利用。直線BN是發(fā)條的理論力矩曲線。當(dāng)發(fā)條外端固定方式為襯片固定時，輸出力矩為理論力矩的90%～95%。由于二者差距較小，因此使用理論力矩曲線對扭矩與圈數(shù)的關(guān)系進行簡化，此時渦卷發(fā)條輸出的扭矩M與被上緊的圈數(shù)n成正比，二者關(guān)系可以表示為

圖3 渦卷發(fā)條工作特性[23]

M=β1n+M0

(17)

式中：M0為渦卷發(fā)條預(yù)緊扭矩；β1為一大于0的常數(shù)，由渦卷發(fā)條材料及加工工藝確定。

渦卷發(fā)條輸出的扭矩經(jīng)過齒輪傳動傳遞到儲線筒上，且渦卷發(fā)條輸出的扭矩與儲線筒上的扭矩大小比值為z2/z1，其中z1為儲線筒齒輪齒數(shù)，z2為渦卷發(fā)條盒齒輪齒數(shù)。儲線筒上的扭矩除以儲線筒的半徑R為系繩上的張力。由此可以推出系繩上張力T與被上緊的圈數(shù)n的關(guān)系為

(18)

為了減小拖船與目標(biāo)碰撞的可能性，當(dāng)系繩被完全回收時，拖船與目標(biāo)間需留有安全距離ds，即拖船與目標(biāo)距離d為被拉出系繩長度L與安全距離ds之和。由此可以計算得到d與渦卷發(fā)條被上緊的圈數(shù)n的關(guān)系為

(19)

進而可以推出系繩張力與拖船與目標(biāo)之間距離d的關(guān)系式為

(20)

T=β2(d-ds)+f0d>ds

(21)

當(dāng)d

T=0d

(22)

2 繩系組合體控制策略

2.1 繩系組合體離軌控制策略

太空拖船的發(fā)動機提供的切向推力對應(yīng)動力學(xué)模型中的Fy，其采取繼電式推力模式，其推力大小恒定，每次開機時間長短可調(diào)，如圖4所示。

圖4 繼電式推力模式

圖5 切向推力軌跡

設(shè)切向推力發(fā)動機狀態(tài)為u(t)，當(dāng)u(t)=1時，切向推力發(fā)動機開機；當(dāng)u(t)=0時，切向推力發(fā)動機關(guān)機。為實現(xiàn)上述帶差動間隙的Bang-Bang

控制策略，需要發(fā)動機在不同情況下的狀態(tài)為

(23)

需要注意的是當(dāng)發(fā)動機關(guān)機停止作用后，飛行器與目標(biāo)之間距離不會立即減小。太空拖船在系繩張力的作用下開始減速，目標(biāo)在系繩張力作用下繼續(xù)加速，但因發(fā)動機關(guān)機時太空拖船速度大于目標(biāo)速度，故太空拖船需要減速一段時間后速度才會小于目標(biāo)速度。在這段時間內(nèi)，二者之間距離仍是增加的，系繩需空出一段安全長度作為這段時間的緩沖。同理，當(dāng)發(fā)動機開啟后，二者距離不會立即增加，而是繼續(xù)經(jīng)過一段時間的距離減小后才開始增加，所以也需要一段系繩作為緩沖。

2.2 面內(nèi)擺角抑制控制策略

繩系組合體離軌過程中，期望面內(nèi)擺角為0 rad。根據(jù)文獻[11]，初始擺動速度不為0 rad/s時，實際離軌過程中面內(nèi)擺角會在0 rad附近波動。若擺動速度達到一定值，繩系組合體將不再穩(wěn)定。為了維持繩系組合體的穩(wěn)定，需要對面內(nèi)擺角進行抑制。因為被動式卷揚機構(gòu)無法主動調(diào)整張力來抑制面內(nèi)擺角，所以利用徑向推力進行面內(nèi)擺角的抑制?，F(xiàn)實中徑向的推力發(fā)動機能夠提供的推力有限，因此在設(shè)計控制器時必須要考慮“控制輸入飽和”的問題，否則會使得整個控制系統(tǒng)不穩(wěn)定[24]。本文首先利用控制輸入受限的滑?？刂破魃蛇B續(xù)變推力形式的控制指令，再將其轉(zhuǎn)化為繼電式推力指令以便于工程實現(xiàn)。

記Ix為組合體質(zhì)心軌道系O-xyz中x軸的基矢量，d′=[x,y,0]T為d在O-xyz坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)的投影，二者大小分別記和d′、Ix，則面內(nèi)擺角計算公式為

(24)

(25)

式(25)相較于式(13)多出的Fd項為考慮到實際徑向發(fā)動機推力存在誤差添加的擾動項，有|Fd|≤D?？刂戚斎霝镕x，控制目標(biāo)為q1→qd,q2→0。

徑向推力受發(fā)動機功率的限制，設(shè)Fxc為受限前的控制量，F(xiàn)x為受限后的控制量，徑向推力的最大值為Fxmax，ΔFx=Fx-Fxc，F(xiàn)x與Fxc的關(guān)系為

(26)

利用一個穩(wěn)定的自適應(yīng)輔助系統(tǒng)，可以實現(xiàn)控制輸入飽和的補償，設(shè)計輔助系統(tǒng)為

(27)

式中：λ1、λ2為補償項。為了保證t→∞時，λ1,λ2→0，需要k1>0,k2>0。

定義方向的誤差為

δ=q1-qd-λ1

(28)

則有

(29)

設(shè)滑模函數(shù)為

(30)

式中：k為大于0的常數(shù)。將式(25)～式(30)聯(lián)立可得

(31)

(32)

設(shè)計控制器為

k1(-k1λ1+λ2)+k2λ2-ξsgn(s)]

(33)

(34)

定義Lyapunov函數(shù)：

(35)

則有

(36)

圖6 推力轉(zhuǎn)化方式

孟云鶴和戴金海[22]通過理論推導(dǎo)得出結(jié)論：當(dāng)N足夠大時，上述2種推力模型相對位置控制作用的偏差為一階小量，而相對速度偏差至少是一階小量，說明在適當(dāng)劃分“控制小區(qū)間”的情況下，2種推力模型的控制作用在一階意義上等效，彼此之間可以相互轉(zhuǎn)換。

至此繩系組合體的控制策略完成，包括離軌控制策略與面內(nèi)擺角抑制控制策略。整個拖曳離軌策略控制律如圖7所示。

圖7 繩系組合體離軌控制策略

3 數(shù)值仿真校驗

3.1 仿真條件設(shè)置

繩系組合體初始軌道為地球靜止軌道(Geostationary Orbit, GEO),根據(jù)計算可得到改進春分點軌道根數(shù)如表1所示。

表1 改進春分點軌道根數(shù)初值

假設(shè)拖船與目標(biāo)之間的安全距離ds設(shè)為38 m。因渦卷發(fā)條需要預(yù)緊，預(yù)緊圈數(shù)對應(yīng)繩長為2 m，可得拖船與目標(biāo)之間的初始距離為40 m，則二者的初始相對坐標(biāo)為d=[0 m,-40 m,0 m]T。文獻[11]提到初始時刻太空拖船與目標(biāo)

設(shè)計卷揚機構(gòu)時，期望系繩上的張力取值范圍為[0.5 N,1 N]。同時期望系繩被完全拉出時太空拖船與目標(biāo)之間的距離不要超過100 m，所以設(shè)置卷繞在線筒上的系繩長度為50 m。由此可以確定系繩每被拉出1 m，系繩上的張力增加0.01 N，系繩上張力的表達式為

(37)

太空拖船徑向可提供的推力大小為±10 N，故控制輸入受限的滑?？刂破髦蠪xmax=10 N。設(shè)k1=10，k2=10，k=0.031，ξ=0.001，λ1、λ2初值為0。徑向的擾動力為

Fd=0.5sint

(38)

將滑模控制器生成的連續(xù)變推力轉(zhuǎn)換為繼電式推力時，時間區(qū)間的長度Δt為10 s。

3.2 仿真分析

徑向推力的控制指令經(jīng)歷了2次轉(zhuǎn)化才最終成為繩系組合體的真實輸入。第1次變化由控制輸入受限導(dǎo)致，如圖8(a)所示，前10 s內(nèi)限制前控制力Fxc超過10 N，則限制后控制輸入Fx為10 N，之后二者重合。

第2次變化是將受限后的連續(xù)推力Fx轉(zhuǎn)化為繼電式推力Fxb，如圖8(b)所示。受限連續(xù)推力初始大小為10 N，隨著時間增加，面內(nèi)擺角波動變小，控制力也趨向于0。繼電式推力在[-10 N,0 N,10 N]3種狀態(tài)中切換，連續(xù)推力在10 s區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生的沖量越多，繼電式推力在10 s區(qū)間內(nèi)作用的時間越長。

圖8 徑向推力前100 s變化曲線

圖9顯示了整個拖曳離軌過程中面內(nèi)擺角在無控制、受限連續(xù)推力、繼電式推力3種情況下的變化情況；圖10則顯示了在離軌過程前2 000 s內(nèi)面內(nèi)擺角的變化。

從圖9可以看出，在無控制條件下，繩系組合體面內(nèi)擺角在-1.5～1.5 rad范圍內(nèi)變化，現(xiàn)實中繩系組合體將會發(fā)生劇烈擺動。在施加控制力的條件下，可以將面內(nèi)擺角抑制在0 rad左右。

圖9 離軌全過程面內(nèi)擺角變化曲線

圖10顯示了繩系組合體從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)需要大概400 s的時間。400 s以后，結(jié)合圖9可以發(fā)現(xiàn)若使用受限連續(xù)推力，面內(nèi)擺角能夠維持在0 rad。若使用繼電型推力，面內(nèi)擺角在400 s之后會在一定范圍內(nèi)波動，但波動的范圍非常小，為-0.02～0.02 rad。

圖10 前2 000 s面內(nèi)擺角變化曲線

圖11為拖船與目標(biāo)之間距離的變化情況，圖12為拖曳過程中系繩張力的變化。因為被動式卷揚機構(gòu)中的渦卷發(fā)條提供的扭矩與轉(zhuǎn)動圈數(shù)成正比，而系繩張力與扭矩成正比，距離與轉(zhuǎn)動圈數(shù)成正比，所以系繩上的張力正比于拖船與目標(biāo)間的距離，二者變化圖形相似，如圖13所示。整個離軌過程中系繩張力的變化范圍為0.5～0.8 N，期間張力連續(xù)不突變，避免了發(fā)動機開關(guān)機對系繩的沖擊。同時張力不大于1 N，可以確保系繩不會斷裂。由于切向方向的繼電式推力以及被動式卷揚機構(gòu)的特性，拖船與目標(biāo)間的距離會發(fā)生大范圍的、近似周期性的變化，變化范圍為39～67 m。二者距離一直大于38 m，滿足離軌過程中拖船與目標(biāo)保持安全距離的要求。

圖11 拖船與目標(biāo)間距離的變化

圖12 系繩張力變化曲線

圖13 前2 000 s距離與系繩張力的關(guān)系

圖14(a)、圖14(b)分別為繩系組合體在整個離軌過程中拖船推力變化情況。二者皆為繼電式推力，x方向的推力Fxb在[-10 N,0 N,10 N]范圍內(nèi)切換，y方向的推力則僅有[0 N,50 N]兩種狀態(tài)。受面內(nèi)擺角變化影響，F(xiàn)xb與Fy在前400 s變化更加頻繁，圖形更加密集。圖14(c)顯示面內(nèi)擺角穩(wěn)定后，F(xiàn)y呈現(xiàn)出類似周期性的變化，一個周期約為490 s，每個周期內(nèi)開機時間約為10 s。

圖14 離軌過程的拖船推力變化

圖15為離軌全過程內(nèi)視圖。整個離軌過程耗時約12 h，離軌過程中繩系組合體的遠地點，軌道半徑，半長軸相較于GEO軌道半徑a0都在逐漸增加。經(jīng)歷約半個橢圓的飛行過程后，近地點提升了300 km，軌道半徑，遠地點，半長軸的提升則大于300 km，軌道的偏心率變?yōu)?.004 9。

圖15 離軌全過程內(nèi)視圖

4 結(jié) 論

為了方便空間繩系捕獲系統(tǒng)清理空間碎片任務(wù)的工程實現(xiàn)，提出一種繼電型推力離軌策略，其中離軌目標(biāo)與面內(nèi)擺角抑制皆通過繼電型推力實現(xiàn)。同時為了解決繼電式推力給組合體帶來沖擊的問題，設(shè)計了一種不同以往的被動式卷揚機構(gòu)。

通過仿真分析可以得到以下結(jié)論：

1)基于繼電式推力機動的衛(wèi)星拖曳離軌策略能夠滿足繩系組合體的離軌要求。在整個離軌過程中，系繩上的張力一直大于0且保持在一個較小的范圍內(nèi)，避免了系繩打結(jié)或斷裂的危險。同時，系繩張力連續(xù)，不會發(fā)生突變，避免了發(fā)動機開機對系繩的沖擊以及關(guān)機時系繩回彈帶來的風(fēng)險。

2)在太空拖船與目標(biāo)徑向方向具有一定速度差值的初始狀況下，若不對面內(nèi)擺角進行控制，繩系組合體將會劇烈擺動。在無法主動調(diào)整系繩張力且徑向推力有限的情況下，通過輸入受限的滑?？刂破骺刂铺胀洗膹较蛲屏梢杂行б种评K系組合體的面內(nèi)擺角。當(dāng)繩系組合體徑向受到擾動時，滑?？刂破饕脖憩F(xiàn)出了較好的魯棒性，消除了擾動力對面內(nèi)擺角的影響。

3)將抑制面內(nèi)擺角的連續(xù)推力轉(zhuǎn)化為繼電型推力后，仍可以實現(xiàn)面內(nèi)擺角的抑制，但相較于連續(xù)推力效果存在細微差距。使用連續(xù)推力可以使面內(nèi)擺角保持在0 rad，使用繼電型推力面內(nèi)擺角則會有±0.02 rad的微小波動。但繼電式推力在工程實際中更容易實現(xiàn)，相較于連續(xù)推力有其自身的優(yōu)勢。