劉斌超，鮑蕊,*，隋福成

1.北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100083 2.航空工業(yè)沈陽飛機設計研究所，沈陽 110034

自19世紀中期W?hler采用S-N曲線表征鋼的疲勞壽命以來，疲勞領域便傾向于采用循環(huán)載荷的幅值或變程作為表征參量，例如低周疲勞Coffin-Manson關系式[1-2]建立了疲勞壽命與總應變幅間的關系，以及Paris公式[3]中采用應力強度因子變程來表征疲勞裂紋擴展速率等。盡管載荷幅值或變程是決定疲勞過程的主要力學參量，平均應力或應力比對于疲勞過程也具有顯著影響[4]。其中，平均應力對疲勞壽命的影響早在19世紀末便由Gerber和Goodman進行了研究，迄今為止相關學者已提出大量計及平均應力效應的模型，讀者可參考綜述文獻[5]。

在平均應力對疲勞壽命的影響方面，目前應用較為廣泛的模型主要可分為2大類。本文將第1類模型稱為等壽命線模型，包括Goodman模型、Gerber模型、Soderberg模型等[6]；該類模型普遍提出較早，主要是通過對試驗數(shù)據作圖擬合得到，本質上是一種宏觀唯像描述模型，因此準確度和適用性都將受到一定限制。本文將第2類稱為等效驅動力模型，以Walker模型[7]和Smith-Watson-Topper(SWT)模型[8]等為典型代表；該類模型的特點是將某種力學組合參量視作疲勞驅動力，與第1類模型相比其力學背景更堅實，預測結果更為準確，適用范圍也更加廣泛。Dowling等[9]研究了Goodman模型、Morrow模型、Walker模型以及 SWT模型對28種金屬材料(18種鋼、9種鋁合金以及1種鈦合金)疲勞壽命的適用情況，發(fā)現(xiàn)Walker模型的準確度是最高的。目前，中國飛機結構材料力學性能手冊[10]以及強度校核方法中仍采用Goodman模型，而美國軍用手冊[11]已經采用Walker模型，德國材料性能手冊[12]采用的也類似于Walker模型。

更精準的平均應力模型能夠以更小的驗證實驗保證更高的結構可靠性，其對于飛機安全性和經濟性的意義不言而喻；另一方面，目前飛機結構疲勞校核方法，如名義應力法、局部應力應變法、細節(jié)疲勞額定值(DFR)法等，都需要直接或間接使用平均應力模型[13]。因此，盡管平均應力效應是疲勞領域中相對傳統(tǒng)且基礎的內容，但研究人員一直致力于建立預測更準確、應用更廣泛、使用更方便的平均應力模型。近年來，相關研究傾向于在等效驅動力模型的基礎上進行修正[14]，例如將模型中的等效驅動力參量從應力更變?yōu)閼兒湍芰康龋渌枷氡举|在于承認了等效驅動力模型的發(fā)展邏輯，將被動擬合試驗數(shù)據的思路轉變?yōu)橹鲃訉ふ移隍寗恿Φ乃悸穂15]。

本文在2類平均應力模型的基礎上，針對其中優(yōu)缺點，提出一種以等效應變?yōu)槠隍寗恿Φ钠骄鶓δＰ?，并以材料性能手冊中幾種常用結構金屬的試驗數(shù)據作為驗證。結果初步表明，本文所提出的模型對單軸恒幅疲勞壽命的預測較為準確、適用范圍更為廣泛、計算相對方便；同時模型中的材料力學性能參數(shù)均通過基本試驗得到，不需要額外增加試驗量；需要擬合的參數(shù)僅有一個，具有較為明確的物理意義，且提出了一種簡便的獲取方法，進一步減小了試驗工作量。本文內容能夠為材料性能手冊以及飛機結構疲勞校核方法中有關平均應力效應的部分提供指導。

1 兩類平均應力模型的評述

1.1 等壽命線模型

通過試驗得到S-N曲線并插值后，在Sm-Sa或Smin-Smax平面上將等壽命點連接起來就得到了等壽命線。研究人員對大量試驗數(shù)據進行作圖之后，提出了若干描述等壽命線的唯像模型，其中應用最為廣泛的包括

Goodman模型[16]：

(1)

Gerber模型[17]：

(2)

Soderberg模型[18]：

(3)

式中：σa是循環(huán)應力幅值；σm是循環(huán)應力均值；σb是材料抗拉強度；σy是材料屈服強度；σ-1是等壽命情況下對稱循環(huán)應力比R=-1時的應力幅值。上述3種模型在等壽命圖上的示意圖如圖1所示。此外，在一些具體的工程方法如DFR法中，也采用了類似于Goodman模型的等壽命線，只是與橫軸的交點處于σy和σb之間的某個數(shù)。

圖1 3種等壽命線類平均應力模型的示意

從上述3個模型的時代背景來看，當時處理疲勞問題的主要手段是S-N曲線，即認為應力幅值是主要的控制參量、而將平均應力看作是次要的影響參量。因此，上述3個模型的內在邏輯是在采用應力幅表征疲勞壽命的基礎上加上平均應力的修正，而基本方法是將循環(huán)應力參量歸一化，其中應力幅值對應力比R=-1時的應力幅值歸一化，而應力均值對材料性能參數(shù)σb或σy歸一化。

然而從現(xiàn)在的理解來看，將力學因素割裂開來考慮將遇到邏輯上的矛盾。在不考慮溫度和腐蝕等環(huán)境影響的情況下，疲勞在機理上是一個力學因素和材料因素相互作用的過程，其中力學因素應能表征外載荷引起變形和斷裂的程度，而材料因素則應能表征材料本身對于變形和斷裂的抗性。對于單軸恒幅疲勞來說，循環(huán)應力既可用幅值和均值來表征，也可用最大值和最小值來表征，還可用最大值與應力比來表征；這3種組合方式是同一物理問題的不同數(shù)學表達形式，應當能夠完整且等價地表征單軸恒幅疲勞的力學因素。但對于上述等壽命線模型來說，其歸一化的思路并不支持這種數(shù)學表達式之間的等價轉換，其根本原因在于上述3種等壽命線模型無法提取一個力學參量來代表疲勞驅動力，自然也就難以統(tǒng)一表征疲勞中力學因素的影響；同時，上述等壽命線模型中也沒有體現(xiàn)出材料因素的影響，也就更加無法解耦疲勞問題中力學因素和材料因素之間復雜的交互作用。因此，以上3種等壽命線模型本質上只是對試驗數(shù)據的唯像擬合，僅能作為工程上強度校核的快速粗略判據，而不具備從學術上解釋平均應力效應的潛力。

進一步從適用性角度來說，等壽命線模型的適用范圍是有限的；這里的適用范圍不只是指應力比范圍有限，更重要的是指壽命范圍有限。當壽命落在壽命循環(huán)數(shù)較小的低周疲勞區(qū)或最大應力超過屈服強度的高平均應力區(qū)時，應力已無法有效表征壽命循環(huán)數(shù)，因此上述等壽命線模型僅適用于壽命循環(huán)數(shù)較大的高周疲勞區(qū)。例如，民機DFR法循環(huán)數(shù)基準值取為N=105，而DFR法的循環(huán)數(shù)適用范圍一般規(guī)定為N=104～106，雖然對飛機結構材料來說足夠了，但對于對數(shù)坐標系下的作圖范圍來說是比較狹小的。正因如此，目前國外學者普遍認為等壽命線模型僅能用于描述平均應力對疲勞極限的影響(對應循環(huán)數(shù)約在N=107左右)；雖然工程上一些方法仍采用等壽命線模型計及平均應力影響，但學術界對于其在N<106時平均應力影響的描述能力是少有承認的[12,19]。此外，由于缺乏材料參數(shù)，上述3種等壽命線無法描述不同材料對平均應力的敏感程度上的差異，在實際應用中會發(fā)生有一些材料對Goodman模型符合較好而另一些材料對Soderberg模型符合較好的情況，導致模型的可靠性不足。

1.2 等效驅動力模型

1970年，Walker[7]提出采用等效應力的概念來考慮平均應力效應：

(4)

式中:σeq為等效應力；σmax為循環(huán)應力最大值；γ為材料參數(shù)，有文獻稱為平均應力敏感系數(shù)，而作者認為更準確的說法應該是幅值敏感系數(shù)。值得注意的是，國內更為熟知的Walker模型是計及平均應力對疲勞裂紋擴展速率的影響，其形式與式(4)十分類似；本文將在第4節(jié)對二者進行討論。

對于大多數(shù)飛機結構金屬來說，幅值敏感系數(shù)γ取值在0.5附近；當取γ=0.5時，Walker模型即為應力形式的SWT模型[8]：

(5)

為適應低周疲勞區(qū)，可將式(5)中的應力幅值替換為應變幅：

(6)

式中：D為SWT疲勞損傷參量，目前被廣泛承認并采用為疲勞驅動力或疲勞損傷的表征參量；Δε為應變變程。此外，由于D的量綱是應變能密度，式(6)還被視作能夠體現(xiàn)一個循環(huán)中應變能密度的作用。

與等壽命線模型相比，等效驅動力模型的特點在于采用了一個等效參量作為疲勞驅動力，這意味著其能夠與破壞準則聯(lián)系起來。具體來說，力學的破壞準則一般取最大受力狀態(tài)，而疲勞領域則多取應力幅值，等效驅動力模型則能很好地將二者加以考慮；此外，等效驅動力模型還引入了一個材料參數(shù)來反映不同材料對于平均應力的敏感性，雖然多引入了一個參數(shù)，但具備明確的物理意義，且已經得到了試驗的支持[9]。因此，等效驅動力的本質在于尋找能夠充分描述疲勞中力學因素的參量、并試圖解耦疲勞中的力學因素與材料因素；換言之，盡管目標都是計及平均應力對疲勞壽命的影響，但等壽命線模型和等效驅動力模型的內在邏輯是完全不同的，因此所呈現(xiàn)出來的效果也是不同的。

將式(4)作等壽命圖，示意圖如圖2(a)所示。當取γ=0時，式中幅值項消失，等效驅動力完全等同于應力最大值，此時對應于某個壽命值的等壽命線是一條斜率為-1的直線；這種情況在金屬中很少見，但卻很符合對缺陷敏感的脆性材料，如脆性陶瓷[20]等。當取γ=1時，式(4)中峰值項消失，等效驅動力完全等同于應力幅值，對應于某個壽命值的等壽命線是一條水平線。當取0<γ<1時，對應于某個壽命值的等壽命線是一條凹曲線，這與試驗得到的高周疲勞壽命區(qū)等壽命線是基本一致的。進一步地，對一種材料來說γ是定值，取某特定值(以γ=0.5為例)對若干疲勞壽命值作等壽命圖，示意圖如圖2(b)所示，圖中每個σ-1即對應一個疲勞壽命值。可以看出各條等壽命線不會與橫軸相交，不符合試驗結果；這是因為式(4)僅能適用于彈性階段，而且也沒有融入斷裂準則。此外，Walker模型在平均應力朝負方向運動時趨于無限應力幅，這顯然與實際情況是不相符的，因此一般認為Walker模型僅在平均應力為正的情況下適用，在平均應力為負的情況適用性比較有限。

圖2 Walker模型中參數(shù)影響的示意圖

由于SWT模型的準確性、適用性和方便性已足夠滿足一般使用需求，隨后的等效驅動力模型主要是對SWT模型的小幅修正[21]，主要的修正思路有二。

第1種修正思路是將SWT模型中的應力和應變替換為應變能密度，例如Benedetti等[22]提出了一個等效應變能密度的模型：

β(R)·Wp,max

(7)

式中：ΔWe和We,max分別為循環(huán)彈性應變能密度以及最大彈性應變能密度；ΔWp和Wp,max分別為循環(huán)塑性應變能密度以及最大塑性應變能密度，δ(R)和β(R)為修正系數(shù)?？梢钥闯觯?7)的計算是繁瑣的，同時還額外引入了2個物理意義并不明晰的修正系數(shù)；此外，能量一般被視作與現(xiàn)象直接相關的物理量，因此式(7)對能量的“修正”和“等效”在邏輯上是有矛盾的。

第2種修正思路是充分體現(xiàn)塑性變形在疲勞過程中的作用，例如Lorenzo和Laird[23]曾建議將SWT疲勞參量修正為

(8)

式中：Δεp/2為塑性應變幅；顯然，該式對于塑性變形很小的情況應用將會比較困難。而Ince和Glinka[19]則建議采用等效應變的形式，并將總應變拆分成彈性部分和塑性部分：

(9)

此外，還有研究人員嘗試將SWT模型應用到多軸疲勞的研究中[24-25]。隨著疲勞學科的進一步發(fā)展，以及對飛機和航空航天器進一步的減重要求，對更準確和更便捷的平均應力模型的需求將更為迫切。

2 一種引入材料循環(huán)本構的平均應力模型

2.1 平均應力模型應具備的特點

由以上對2種平均應力模型的評述中可以看出，一個準確度高、適用性廣的平均應力模型應當具備以下特點：① 疲勞與材料的局部變形密切相關，因此平均應力模型中應能表征出結構或材料危險點處的局部變形；② 平均應力模型應能表征不同材料對平均應力的敏感程度；③ 平均應力模型應能夠體現(xiàn)出其在塑性階段和彈性階段的影響不同；④ 平均應力模型應能適用于更廣泛的應力比范圍和壽命值范圍；⑤ 應采用盡量少的材料擬合參量，且所采用的參量應能通過較小試驗量得到。

2.2 引入材料循環(huán)本構的平均應力模型

本部分提出一種新的平均應力模型，其表達式為

(10)

(11)

式中：K′為循環(huán)強度系數(shù)；n′為循環(huán)硬化系數(shù)；E為彈性模量。即，式(10)中的各應變量可寫為

(12)

進一步，設x=σm即平均應力，y=σa>0為應力幅，將式(10)改寫為便于求解的數(shù)學形式，則本文模型所對應的等壽命線方程為

Δεeq=

(13)

其中，根據本文模型，Δεeq=C在給定疲勞壽命值時為常數(shù)，可通過某一應力比下的應力/應變-壽命曲線得到。

本文模型最大特點是在采用等效應變作為疲勞驅動力的同時，引入了材料穩(wěn)態(tài)循環(huán)本構關系。根據目前對疲勞的理解，疲勞是一個由結構材料變形引起的漸進的、局部的、永久的變化過程，而應變比應力能夠更直接地表征變形，尤其是當塑性比較明顯的時候；為獲取循環(huán)加載過程中的材料局部變形，則自然需要引入材料循環(huán)本構關系。后續(xù)將看到，引入材料循環(huán)本構較大地拓展了模型的適用范圍。

本文模型的另一個特點在于采用的是最大變形對應的塑性應變，而沒有采用循環(huán)塑性應變幅或塑性應變變程。若采用循環(huán)塑性應變變程，式(13)也可寫為

(14)

在后續(xù)的參數(shù)影響部分將看到，式(13)與式(14)在一般常用的適用范圍內是重合的，而在靜力破壞點附近以及負平均應力區(qū)域的差異較大，且式(13)更符合真實情況。

2.3 本文模型求等壽命線的流程

根據上述模型求解等壽命線的流程如圖3所示。圖中：ε′f為疲勞延性系數(shù)；b為疲勞強度指數(shù)；

圖3 以本文模型求解等壽命線的流程圖

c為疲勞延性指數(shù)；σa=f(lgN)為應力比R=-1時的S-N曲線。此外，在已知某個應力比下應力/應變-壽命曲線的情況下，本文模型也可用于求解任一恒幅循環(huán)載荷下的疲勞壽命，即將式(13)或式(14)等式兩邊已知性互換，仍可按圖3求解，故不贅述。

3 模型驗證

3.1 材料參數(shù)

本文著重討論幾種常用的飛機結構金屬材料，具體包括鋁合金2024-T3、鋁合金7075-T7451、鈦合金Ti-6Al-4V、鋼300M等。此外，由于后續(xù)還將討論γ的取值與疲勞裂紋擴展速率Walker關系式參數(shù)之間的關系，因此相關參數(shù)也一并給出，如表1所示[10,11,26]。其中，γ1為相關材料通過S-N曲線數(shù)據擬合得到的值；γ2為相關材料通過疲勞裂紋擴展速率曲線數(shù)據得到的值，其具體意義將在第4節(jié)中說明。

表1 材料性能參數(shù)[10,11,26]

3.2 等壽命線形狀的討論

本節(jié)以鋁合金2024-T3的材料參數(shù)為例，來說明等壽命線的形狀分別隨給定壽命值和幅值敏感系數(shù)γ的變化規(guī)律，并與材料手冊的結果進行初步的對比驗證。應當指出的是，手冊上的試驗所得等壽命線是對試驗載荷與壽命值2個變量進行插值擬合后得到的，在2次插值過程中可能引入了較大誤差，因此本部分的工作僅包括參數(shù)研究和形狀的定性對比，而不涉及具體數(shù)值對比。圖4[26]給出了2024-T3在σm≥0范圍的等壽命線試驗結果作為后續(xù)驗證的參考。

首先給定壽命值N(等同于給定對稱循環(huán)情況下的應力幅值σ-1)以研究幅值敏感系數(shù)γ的參數(shù)影響。圖5給出了σ-1=150 MPa時的若干條不同γ值的等壽命線，并與虛線所示的Walker模型進行了對比。結果表明，在正平均應力區(qū)域，曲線整體隨γ的變大逐漸由凹變凸；在負平均應力區(qū)域，隨γ的變大，原有的極值點逐漸消失并在左側出現(xiàn)一個逐漸顯著的新極值點。圖5還表明了模型預測的等壽命線的形狀在σm≥0范圍與圖4試驗結果符合良好，實際上參考其他文獻[27-28]可知，在σm<0范圍時也與目前的工程模型符合良好，相關定性分析詳見第3.4節(jié)內容。此外還可從圖5看出，對應同一參數(shù)取值的實線和虛線在常用范圍內是重合的，即本文模型與Walker模型在常用范圍等效，且γ值越小重合范圍越廣泛。這是因為，常用范圍內塑性應變很小，而式(13)在彈性階段可退化至Walker模型；而γ值越小一般意味著材料越偏脆性，同樣代表著塑性的影響更小，因此使得重合范圍更大。然而，Walker模型在σm<0和σmax>σy范圍的預測明顯偏離實際。

其次給定幅值敏感系數(shù)γ以研究壽命值N(以σ-1代表)的影響。圖6給出了γ=0.5時的若干條不同σ-1值的等壽命線，并與虛線所示的Walker模型進行了對比。結果表明，在正平均應力區(qū)域，曲線整體的凹性隨著σ-1變大逐漸減弱，這與圖4中的趨勢是相符的。在負平均應力區(qū)域，局部極值點由1個變?yōu)?個，兩極值點對應的應力幅均隨σ-1變大而升高，但右側極值點的變化比左側極值點更為顯著。此外，從圖中可以發(fā)現(xiàn)各條等壽命線與橫軸的交點并不相同，而是散布在抗拉強度附近、且彼此之間有一段很小的距離；雖然一般認為交點應該代表抗拉強度因此理應重合為一點，但實際上試驗所得結果也是散布在屈服強度到抗拉強度附近、且彼此之間存在一小段距離的，這也是Soderberg模型選擇用屈服強度替換Goodman模型橫軸交點的依據。實際上從等壽命線的概念上來說，2條對應不同壽命值的等壽命線不應相交，否則2條線上的所有點都對應了同一個壽命值，存在邏輯悖論。

圖4 鋁合金2024-T3的典型等壽命線[26]

圖5 給定對稱循環(huán)應力幅值情況下，幅值敏感系數(shù)對模型預測等壽命線形狀的影響

圖7給出了式(13)和式(14)的預測結果以觀察二者差異?？梢钥闯觯瑑墒皆诮^大部分區(qū)域是幾乎重合的，僅在黑色圓圈所示處即σm數(shù)值很大時有所差異(在σm<0區(qū)域同理)；而在σ-1和γ較大時，二者的差異也越大。然而，式(14)預測的等壽命線與x=σm軸沒有交點，而式(13)則更接近圖4所示的實際情況，即采用最大變形對應的塑性應變能夠更好地描述近破壞區(qū)域的等壽命線形狀；這是因為，式(13)采用的最大變形塑性應變可以視作一個類似于斷裂延伸率的斷裂準則，如此自然能夠更好地描述斷裂點附近的行為，而式(13)采用的塑性應變變程則不具備這一能力。因此，作者推薦使用式(13)來描述平均應力的影響。

圖7 式(13)和式(14)預測結果的對比

值得指出的是，若沿著該思路進一步推理，則應得出“塑性應變最大值比塑性應變幅值能更好地表征疲勞損傷”的推論，但該推論與目前對低周疲勞的理解是有所出入的，需要額外的相關試驗或理論進行驗證。

從本部分內容可以看出，本文模型能夠較好地定性預測等壽命線形狀及變化，具備一定的應用的潛力。

3.3 其他應力比壽命值的預測

一個好的平均應力模型不僅應該能夠用來校核某個循環(huán)載荷在給定壽命值條件下是否安全，還應該在已知某應力比下S-N曲線時能夠比較準確地預測出等壽命線以及其他應力比下的S-N曲線。相比于將試驗數(shù)據進行2次插值擬合后才能得到等壽命線，S-N曲線僅需要進行1次插值擬合，因此引入的誤差更小；另一方面，由于等壽命線工作量很大，故而一般手冊上給出等壽命線的材料種類有限或不給出。鑒于此，本部分將以某一應力比下的S-N曲線作為已知，并用所提出的模型對其他應力比的S-N曲線或給定恒幅循環(huán)載荷對應的疲勞壽命值作預測，最后與材料手冊上給出的S-N曲線進行對比驗證；其中，本部分使用的γ值從MIL-HDBK[11]摘取，見表1中的γ1；若表中γ取值為一個范圍，則取范圍的中值。

首先仍給出鋁合金2024-T3的情況，以應力比為-1的S-N曲線作為已知，應用本文模型對其他應力比的壽命值進行預測，如圖8(a)所示?？梢钥闯?，即便是應力比與參考應力比R=-1相差最大(即R=0.5)的情況下，其預測的壽命值也全部落在一倍分散帶之內；而對同一應力比情況來說，預測點的走勢平行于對稱軸，因此能夠保證良好的預測穩(wěn)定性。作為對比，圖8(b)給出了Goodman模型在相同情況下的預測情況?？梢钥闯觯攽Ρ扰c參考值的差距逐漸增加時，預測值將明顯偏離試驗結果；在同一應力比情況下，壽命值越小的情況下偏離越明顯。因此，本文模型顯著優(yōu)于Goodman模型；而圖中試驗數(shù)據范圍基本落在本文模型與Walker模型的重合區(qū)域，因此Walker模型對圖8數(shù)據的預測能力與本文模型基本一致。

根據圖6，在σm>0區(qū)域，本文模型與Walker模型的差異只有在最大應力接近或超越屈服應力的區(qū)域時比較明顯；然而一般來說，應力疲勞試驗不會做到這么高的應力，而應變疲勞試驗則只進行對稱循環(huán)加載，所以難以像圖8一樣通過大量試驗數(shù)據來體現(xiàn)二者的差異。這里以鋁合金2024-T3在參考應力比R=-1時的S-N曲線為基準，預測應力比R=0.02和R=0.5時下最大應力超過屈服應力部分的S-N曲線，并與試驗點數(shù)據進行對比，如圖9所示?？梢钥吹剑鶕咧軈^(qū)域試驗數(shù)據點擬合線對高應力區(qū)域的外推是偏于危險的；而本文模型能更好地描述S-N曲線在高應力時斜率減緩的現(xiàn)象，且與試驗數(shù)據點的趨勢更加吻合。值得指出的是，在高應力區(qū)域，應采用對稱循環(huán)下的低周數(shù)據進行預測，這也是選擇參考應力比R=-1時的S-N曲線的原因之一；然而由于導致缺乏其他應力比高應力下的疲勞壽命值，因此這里僅能定性討論S-N曲線在高應力時斜率減緩、各應力比S-N曲線趨于相近或重合的現(xiàn)象。此外，由于需要采用對稱循環(huán)下的試驗數(shù)據作為已知參考值，因此對對稱循環(huán)下試驗所得疲勞壽命數(shù)據的擬合準確度至關重要。

圖8 其他應力比下疲勞壽命值的預測結果與試驗數(shù)據的對比

圖9 本文模型對最大應力較高的疲勞壽命值的預測結果和與試驗數(shù)據的對比

同理，以參考應力比R=-1時的S-N曲線為基準對其他幾種常見結構金屬材料進行驗證，結果依次列于圖10中?？梢钥闯?，預測結果在中高周區(qū)域與試驗擬合值均符合良好，而在高應力時比試驗擬合外推值更保守的特點也得以體現(xiàn)。

圖10 本文模型對其他幾種常用結構金屬在不同應力比下疲勞壽命值的預測結果及其與試驗數(shù)據的對比

3.4 負平均應力區(qū)域的驗證

盡管關于平均應力對材料疲勞壽命的影響已經研究了近一個世紀，也有諸多研究者提出了大量的方法修正平均應力疲勞強度或疲勞壽命的影響，但現(xiàn)有的大部分研究工作都集中在研究拉伸平均應力的影響，對于壓縮平均應力影響的研究較少。1960年左右，有一些研究者對負平均應力情況下的壓縮平均應力的影響進行了早期的實驗工作，但由于試件的分散性，所取得的成果有限；此外，一般在設計中所關注的主要是拉伸平均應力的影響，文獻中很少有較大負應力比情況下的數(shù)據。

目前工程上關于負平均應力影響的考慮方式，主要是在材料不發(fā)生屈服的條件下由正應力比區(qū)域等壽命線進行外推。有研究者[27-28]提出了如圖11所示的2種分段模型，二者的區(qū)別在于負平均應力區(qū)域等壽命線是正平均應力區(qū)域等壽命線的外延線還是水平線。必須指出的是，無論是外延線模型還是水平線模型，這種類推本質上都是對正平均應力區(qū)域試驗數(shù)據點的外推，或對少量拉-壓疲勞和壓-壓疲勞試驗數(shù)據點的唯像擬合，缺乏堅實的理論基礎，因此僅應該視作工程方法。對比圖5～圖7中的曲線，可以看出本文模型所預測的等壽命線形狀與圖11均較為符合，而本文模型的優(yōu)勢在于無須將整條等壽命線分段，這正是由于在模型中考慮了材料循環(huán)本構的緣故。

圖11 目前考慮負平均應力影響的2種工程方法

特別地，文獻[28]中還提供了少量鑄鐵、鋼和高強度鋁合金的試驗數(shù)據，摘錄如圖12所示；遺憾的是，文獻中并沒有提供材料的循環(huán)本構相關信息，因而在此仍只能作定性分析?？梢钥闯?，文獻中的模型線走向非常復雜，尤其是對于圖12(c)中的高強度鋁合金而言，導致作線方法嚴重取決于材料種類性能，難言是一個力學模型；而相比于圖12中的工程方法，本文模型更能夠靈活地定性描述試驗數(shù)據點，見圖5～圖7，即較好地解耦了材料因素和力學因素的交互影響。另一處值得注意的是圖12(a)中的鑄鐵試驗數(shù)據點，由于鑄鐵顯著的拉壓不對稱特征，文獻中不得不引入一個新的參量m0來描述；而本文模型由于引入了材料的循環(huán)本構，因此理論上說能夠無須引入拉壓不對稱參數(shù)而直接描述等壽命線。當然，對本文模型的定量驗證還需要后續(xù)更多試驗的驗證。

圖12 文獻[28]中的試驗數(shù)據點及模型線

由于試驗條件的限制，本文模型在負平均應力區(qū)域的驗證只能限于定性的分析，但也能從中看出本文模型在描述等壽命線形狀上具有明顯優(yōu)勢，側面反映出本文模型一定程度上抓住了平均應力影響中的主要力學因素。此外，與現(xiàn)有工程方法相比，本文模型無須多次分段和復雜的作圖過程，操作簡單明了，且定性上具備對不同材料的廣泛適用性。因此，本文模型在預測負平均應力區(qū)域等壽命線方面也具有積極意義。

4 幅值敏感系數(shù)的獲取方式

4.1 對幅值敏感系數(shù)的定性討論

如前文所述，幅值敏感系數(shù)γ顯然取決于材料：材料的塑性越好γ值越大，反之則γ值越小。從材料晶體學的角度來說，塑性直接標志著材料容忍位錯與滑移的能力，而容忍位錯與滑移的能力又直接決定了材料的疲勞性能；另一方面，目前普遍認為塑性能夠松弛平均應力的作用，使得材料疲勞性能更大程度地取決于應力幅值，而對平均應力(或最大應力)不那么敏感，則其幅值敏感系數(shù)γ應當越大。從這個角度來說，幅值敏感系數(shù)γ或許能夠作為一個表征材料位錯與滑移特性的宏觀參量。

進一步地，如果幅值敏感系數(shù)γ一定程度上表征了材料位錯與滑移特性，那么影響材料位錯與滑移特性的因素也將影響γ的取值，例如材料成分、熱處理工藝和工作溫度等。對于材料成分來說，不同成分在材料體系中的作用極為復雜，既可能促進也可能阻礙位錯與滑移，甚至有的第二相粒子會成為潛在裂紋源；因此，成分相對確定的同類材料γ值的分散性較小，例如不同牌號鋁合金的γ一般落在0.5～0.6范圍內，而不同牌號鋼的γ卻在0.3～0.8這個更廣的范圍取值。對于熱處理工藝來說，不同熱處理工藝后的材料微觀組織結構存在一定差異，也會對位錯和滑移的相關特性造成影響，進而使γ取值發(fā)生變化。對于工作溫度來說，一般溫度越高滑移系越容易被激活，間接提高了材料塑性性能，使得材料降低對平均應力的敏感性；因此，溫度處于一定范圍內時，提高工作溫度一般會使得γ取值增大。上述變化規(guī)律均可在相關文獻[9,21]和材料手冊[11]中得到驗證。

總之，幅值敏感系數(shù)γ能夠初步表征材料的位錯與滑移特性，與其他額外引入的參量相比更具理論基礎，而非只是單純的擬合參量。從前文中也可以發(fā)現(xiàn)，γ的不同取值能夠描述出不同材料的多種等壽命線形狀，與材料的循環(huán)本構關系一起較好地解耦了材料因素與力學因素的影響。因此，較之于等壽命線模型，額外引入幅值敏感系數(shù)γ是有其積極意義的。

4.2 幅值敏感系數(shù)的獲取方式

應當指出，一個平均應力模型不僅應當預測準確，還應當使用方便。一方面，模型應當是容易計算的；而本文模型雖然涉及超越方程，但利用現(xiàn)代計算機和簡單的二分法就能快速求解。另一方面，模型中的參數(shù)應當是容易獲得的；本文模型中涉及到的參數(shù)包括彈性模量E，材料穩(wěn)態(tài)循環(huán)本構關系(K′,n)，某特定應力比下的S-N曲線或ε-N曲線，以及材料的幅值敏感系數(shù)γ。參數(shù)看似很多，但大多都能通過基本材料試驗得到，尤其對于飛機結構金屬來說相關參數(shù)很容易就能查到、或者相關試驗是必做的，因此并不存在參數(shù)方面的問題。

唯一需要大量試驗來確定的參數(shù)是材料的幅值敏感系數(shù)γ。在美國軍用手冊中，γ主要通過若干應力比的S-N曲線數(shù)據擬合得到，這種獲取方式至少有2個方面的不足。首先，獲得每個應力比下的S-N曲線所需進行的試驗量是巨大的，更不必說多個應力比情況；此外，材料的S-N曲線存在很大的分散性，這將給參數(shù)擬合帶來困難或引入誤差。正因如此，學術研究中一般直接采用SWT模型(即γ=0.5)作為近似，該γ值對大多數(shù)常用結構金屬尤其是鋁合金的描述效果是令人滿意的。

本文嘗試給出一種工作量更小、可靠性更高的獲取方法，適用于本文模型以及Walker模型；其思路是以疲勞裂紋擴展速率Walker關系式的參數(shù)擬合代替γ的擬合。在描述應力比對疲勞裂紋擴展速率的影響時，常用Walker關系式[13]

C[(Kmax)1-m(ΔK)m]n

(15)

式中：a為裂紋長度；K為應力強度因子；C、m、n為材料參數(shù)。

可以看到，式(15)也是采用等效驅動力的形式來考慮應力比的影響。對于宏觀均質各向同性材料，有

(16)

在線彈性范圍內，有

Keq=(Kmax)1-m(ΔK)m～

(17)

式中：Y(a)為幾何修正因子。

因此在線彈性范圍內，疲勞裂紋擴展速率Walker關系式中的參數(shù)m與疲勞壽命Walker模型中的參數(shù)γ應當是等效的。從疲勞機理來看，宏觀疲勞裂紋萌生與擴展是疲勞的2個階段，其力學機制都是疲勞，其材料學機制都是位錯與滑移；二者的底層物理機制是相同或相近的，只不過二者的宏觀表現(xiàn)不同，因此2個階段力學因素的宏觀影響也應當是相近的。

采用疲勞裂紋擴展速率Walker關系式擬合獲得γ值有2個方面的好處。首先，疲勞裂紋擴展試驗耗時相比于疲勞壽命試驗來說大大降低。此外，由于具備線彈性斷裂力學的理論基礎，疲勞裂紋擴展速率分散性小、數(shù)據穩(wěn)定，所擬合的參數(shù)可靠性更高；而分散性小的特點也可進一步減少試驗件數(shù)量，從而降低試驗量。尤其對于數(shù)據或數(shù)據置信度不足的新材料來說，這些特點對工程快速設計和應用是具備一定吸引力的。

表1中給出了相關材料通過S-N曲線數(shù)據和疲勞裂紋擴展速率曲線數(shù)據2種方式擬合的γ值，可以看出γ1和γ2的差別是很小的，初步說明了這種獲取方法的可行性。而在準確度相差不大的情況下，本文提出的獲取方法由于較小的工作量將更具優(yōu)勢。必須指出的是，本文更多地是從參數(shù)研究的意義上初步地說明這種幅值敏感系數(shù)獲取方式的可行性，其理論背景還有待進一步驗證。

同時還應指出，作者在模型驗證過程中發(fā)現(xiàn)一些材料手冊中材料性能參數(shù)不全面，不得不從其他材料手冊尋找所缺性能參數(shù)，因此數(shù)據的可靠性會受到材料熱處理、表面處理、試驗條件等細節(jié)差異的影響；此外，一些材料手冊中數(shù)據擬合的過程是相對粗糙的，例如年代久遠的手冊限于當時條件只能依靠目視對試驗所得數(shù)據作擬合線，如此擬合得到的參數(shù)可靠性較低，若直接代入模型可能會造成很大誤差。在材料發(fā)展迅速而飛機結構使用需求不斷提升的背景下，材料種類豐富、性能參數(shù)全面、試驗嚴謹可靠、數(shù)據更新及時的材料性能手冊作為工程實踐的基礎，是十分必要的。

5 討 論

本文首先簡要評述了目前計量應力比對疲勞壽命影響的2大類及近年進展，并分析了其各自的可取和不足之處。接著，根據總結出的優(yōu)缺點以及平均應力模型應該具備的特點，本文提出了一種新的考慮材料循環(huán)本構的平均應力模型，在不顯著增加計算量和擬合參量的情況下，定性上能夠更好地描述試驗所得等壽命線的形狀，定量上能夠更好地預測更廣應力比范圍的疲勞壽命值。最后，本文嘗試提出一種新的參數(shù)擬合方法，能夠進一步減少試驗工作量并提高擬合參數(shù)的可靠性。

對照2.1節(jié)中的5個特點，本文所提出的模型自然滿足①②條，而第③條可由式(9)的工作得到驗證。對第④條來說，本文主要采用材料性能手冊上幾種常用材料的試驗數(shù)據進行驗證，同時輔以模型等壽命線與試驗等壽命線二者的形狀對比進行分析。對第⑤條來說，由于模型采用的大部分都是材料性能手冊的必備內容，因此試驗工作量相比此前其他等效驅動力模型并無顯著增加；同時，由于本文模型采用力學參量的變程而非幅值，因此能夠通過疲勞裂紋擴展速率Walker關系式進行參數(shù)擬合，進一步減小了獲得γ值的試驗工作量。

值得指出的是，本文限于篇幅僅對幾種常用的飛機結構金屬材料進行了驗證，模型更廣泛的適用性還需要進一步地試驗；此外，由于負平均應力情況的疲勞壽命試驗數(shù)據較少，因此模型驗證更多地是定性層面，在定量驗證方面還需要更多的試驗數(shù)據支持。最后，一些與目前理解不完全一致的推論(例如“塑性應變最大值比塑性應變幅值能更好地表征疲勞損傷”)或尚未得到驗證的假設(例如“疲勞裂紋擴展速率和疲勞壽命中的平均應力影響是等效的”)還需要更深入的研究。

總的來說，本文所提出的平均應力模型和此前其他平均應力模型相比，準確性更好、適用性更廣，尤其在定性描述等壽命線形狀方面具有獨特優(yōu)勢。因此，本文所提出的平均應力模型有潛力為材料性能手冊的編纂提供支持，并為涉及平均應力影響的工程方法提供改進方向。

6 結 論

1)在考慮平均應力對恒幅載荷單軸疲勞壽命的影響時，引入材料的循環(huán)本構能夠得到更好的效果。

2)提出了一個引入材料循環(huán)本構的平均應力模型，通過模型參數(shù)研究以及預測結果與試驗結果的對比，表明該模型能夠較好描述等壽命線，且適用于更廣的壽命值范圍和應力比范圍。

3)模型本身僅需要材料循環(huán)本構參數(shù)以及一個擬合得到的材料參數(shù)，且進一步對擬合參數(shù)提出了一種新的獲取方法，能夠在保證數(shù)據擬合可靠度的前提下減小試驗工作量。